אחוזים ומערכות משוואות בהקשר

מבוא

מטרות השיעור

לחשב הנחה, תוספת ומע"מ באמצעות אחוזים
להבדיל בין גודל ההנחה לבין המחיר לאחר ההנחה
לתרגם שאלה מילולית בקנייה ומכירה למערכת של שתי משוואות ליניאריות בשני נעלמים
לפתור מערכת בשיטת ההצבה או בשיטת השוואת מקדמים, ולבדוק את הפתרון

הרעיון המרכזי

אחוזים במחירים

אחוז כשבר עשרוני: $15% = 0.15$ ; $25% = 0.25$ ; $17% = 0.17$
גודל ההנחה / התוספת: האחוז כפול המחיר. למשל 15% מ-200: $0.15 \cdot 200 = 30$
מחיר לאחר הנחה של p אחוזים: משלמים $(100 - p) %$ מהמחיר. לאחר 25% הנחה: כפל ב-0.75
מחיר לאחר תוספת / מע"מ של p אחוזים: כפל ב- $(1 + \frac{p}{100})$ . מע"מ 17%: כפל ב-1.17

מערכת של שתי משוואות ליניאריות

כשבמצב יש שני דברים לא ידועים (שני מחירים), מגדירים שני נעלמים ובונים שתי משוואות:

הגדרת נעלמים — למשל x מחיר פריט א', y מחיר פריט ב'.
בניית שתי משוואות — משוואה אחת לכל קנייה (מספר הפריטים כפול המחיר = הסכום).
פתרון — בשיטת ההצבה (מבודדים נעלם אחד) או בשיטת השוואת מקדמים (מכפילים ומחסרים).
בדיקה — מציבים את שני הערכים בשתי המשוואות המקוריות.

השנה פותרים רק מערכות ליניאריות — שאלות המובילות למשוואות ממעלה שנייה ילמדו בכיתה י"א.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גודל הנחה לעומת מחיר סופי

חולצה ב-200 ש"ח עם הנחה 15%. מה גודל ההנחה ומה המחיר לתשלום?

$0.15 \cdot 200 = 30$ ; 200 - 30 = 170

שלב 1 — אחוז לשבר

15\% = 0.15

דוגמה 2: מחיר לאחר הנחה (כפל ישיר)

מעיל ב-240 ש"ח עם הנחה 25%. מה המחיר לתשלום?

0.75 \cdot 240 = 180

שלב 1 — כמה אחוז משלמים

100\% - 25\% = 75\%

תשובה מספרית

מעיל עולה 240 ש"ח. בחנות מציעים עליו הנחה של 25%. מהו המחיר לתשלום לאחר ההנחה (בש"ח)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מע"מ (תוספת באחוזים)

רהיט ב-800 ש"ח לפני מע"מ. מע"מ 17%. מה המחיר כולל מע"מ?

800 \cdot 1.17 = 936

שלב 1 — גודל המע"מ

0.17 \cdot 800 = 136

ש"ח

דוגמה 4: מערכת משוואות בשיטת ההצבה

3 קפה ו-2 תה $= 62$ ש"ח; 1 קפה ו-4 תה $= 54$ ש"ח. מה מחיר כוס קפה?

3c + 2t = 62 ; $c + 4 t = 54 \Rightarrow c = 14, t = 10$

שלב 1 — מגדירים

c =

מחיר קפה

, t =

מחיר תה

בדיקה מהירה

x הוא מחיר מחברת ו-y הוא מחיר עט. שתי מחברות ושלושה עטים עולים 23 ש"ח, ומחברת אחת ושני עטים עולים 13 ש"ח. איזו מערכת משוואות מתאימה למצב?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בבית קפה, 3 כוסות קפה ו-2 כוסות תה עולות 62 ש"ח, וכוס קפה אחת ו-4 כוסות תה עולות 54 ש"ח. מהו מחירה של כוס קפה אחת (בש"ח)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: מערכת בשיטת השוואת מקדמים

2 מבוגר $+ 3$ ילד $= 230$ ש"ח; 3 מבוגר $+ 2$ ילד $= 245$ ש"ח. מה מחיר כרטיס מבוגר?

2a + 3c = 230 ; $3 a + 2 c = 245 \Rightarrow a = 55, c = 40$

שלב 1 — מגדירים

a =

כרטיס מבוגר

, c =

כרטיס ילד

תשובה מספרית

משפחה קנתה למוזיאון 2 כרטיסי מבוגר ו-3 כרטיסי ילד ושילמה 230 ש"ח. משפחה אחרת קנתה 3 כרטיסי מבוגר ו-2 כרטיסי ילד ושילמה 245 ש"ח. מהו מחירו של כרטיס מבוגר (בש"ח)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משאירים את גודל ההנחה כתשובה

הנחה של 60 ש"ח על מעיל ב-240 ש"ח נותנת מחיר של 240 - 60 = 180 ש"ח, לא 60 ש"ח.

למה זה קורה?

מחשבים את ההנחה אך לא מחסירים אותה מהמחיר.

איך מתקנים?

גודל ההנחה אינו המחיר הסופי. מחיר לתשלום = מחיר מקורי פחות ההנחה.

טעות נפוצה: כופלים באחוז ההנחה במקום במה שמשלמים

טעות: $0.25 \cdot 240 = 60$ (זו ההנחה, לא המחיר)

נכון: $0.75 \cdot 240 = 180$

למה זה קורה?

לאחר 25% הנחה מכפילים ב-0.25.

איך מתקנים?

לאחר הנחה של p אחוזים משלמים

(100 - p)

אחוזים. לאחר 25%: כפל ב-0.75.

טעות נפוצה: מגדירים נעלם אחד בלבד

מחיר קפה ומחיר תה הם שני נעלמים — צריך שתי משוואות כדי לפתור.

למה זה קורה?

כשיש שני מחירים לא ידועים, משוואה אחת אינה מספיקה.

איך מתקנים?

לשני דברים לא ידועים צריך שני נעלמים ושתי משוואות שונות.

טעות נפוצה: עוצרים בנעלם אחד

אם מצאתם t = 10, הציבו במשוואה c = 54 - 4t כדי לקבל c = 14.

למה זה קורה?

מוצאים את t ושוכחים לחשב את c (או להפך).

איך מתקנים?

לאחר שמצאתם נעלם אחד, הציבו אותו בחזרה כדי למצוא את השני, וענו על מה שנשאל.

טעות נפוצה: לא בודקים בשתי המשוואות

a = 55, c = 40: בדקו $2 \cdot 55 + 3 \cdot 40 = 230$ ✓ וגם $3 \cdot 55 + 2 \cdot 40 = 245$ ✓

למה זה קורה?

בודקים רק במשוואה אחת ומפספסים טעות.

איך מתקנים?

הפתרון חייב לקיים את שתי המשוואות המקוריות. הציבו בשתיהן.

סיכום

מה למדנו?

אחוזים במחירים:

גודל הנחה / תוספת = האחוז כפול המחיר
מחיר לאחר הנחה של p%: כפל ב-(100-p)/100
מחיר לאחר תוספת / מע"מ: כפל ב-1 + p/100

מערכת שתי משוואות: שני נעלמים ← שתי משוואות ← פתרון בהצבה או בהשוואת מקדמים ← בדיקה בשתי המשוואות.

זכרו: השנה רק מערכות ליניאריות, ותמיד ענו על המחיר שנשאל בש"ח.

עכשיו תוכלו לשלב אחוזים ומערכות משוואות בפתרון בעיות צרכניות אמיתיות!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על אחוזים ומערכות משוואות בהקשר!

אחוזים ומערכות משוואות בהקשר

אחוזים ומערכות משוואות בהקשר

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גודל הנחה לעומת מחיר סופי

חולצה ב-200 ש"ח עם הנחה 15%. מה גודל ההנחה ומה המחיר לתשלום?

דוגמה 2: מחיר לאחר הנחה (כפל ישיר)

מעיל ב-240 ש"ח עם הנחה 25%. מה המחיר לתשלום?

דוגמה 3: מע"מ (תוספת באחוזים)

רהיט ב-800 ש"ח לפני מע"מ. מע"מ 17%. מה המחיר כולל מע"מ?

דוגמה 4: מערכת משוואות בשיטת ההצבה

3 קפה ו-2 תה =62= 62=62 ש"ח; 1 קפה ו-4 תה =54= 54=54 ש"ח. מה מחיר כוס קפה?

דוגמה 5: מערכת בשיטת השוואת מקדמים

2 מבוגר +3+ 3+3 ילד =230= 230=230 ש"ח; 3 מבוגר +2+ 2+2 ילד =245= 245=245 ש"ח. מה מחיר כרטיס מבוגר?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משאירים את גודל ההנחה כתשובה

טעות נפוצה: כופלים באחוז ההנחה במקום במה שמשלמים

טעות נפוצה: מגדירים נעלם אחד בלבד

טעות נפוצה: עוצרים בנעלם אחד

טעות נפוצה: לא בודקים בשתי המשוואות

סיכום

תרגול נוסף

3 קפה ו-2 תה $= 62$ ש"ח; 1 קפה ו-4 תה $= 54$ ש"ח. מה מחיר כוס קפה?

2 מבוגר $+ 3$ ילד $= 230$ ש"ח; 3 מבוגר $+ 2$ ילד $= 245$ ש"ח. מה מחיר כרטיס מבוגר?