מציאת נתון חסר מתוך הממוצע

מבוא

לעיתים יודעים את הממוצע אך חסר אחד הנתונים — למשל, יודעים את השכר הממוצע במחלקה ואת רוב המשכורות, ורוצים לחשב את המשכורת החסרה. בעזרת שינוי נושא הנוסחה אפשר "להפוך" את נוסחת הממוצע ולבודד את הנעלם. כשהנתונים מגיעים מטבלת שכיחויות או מיחס באחוזים, נקבל לעיתים משוואה עם שבר שבה הנעלם במונה או במכנה — וגם אותה נדע לפתור.

מטרות השיעור

למצוא נתון חסר בהינתן הממוצע, בעזרת שינוי נושא הנוסחה
לפתור משוואת ממוצע משוקלל כשהנעלם מופיע במונה ובמכנה
לבודד נעלם המופיע במכנה של יחס או שבר
למצוא ממוצע של קבוצה אחת בהינתן הממוצע המשוקלל והממוצע של הקבוצה האחרת

הרעיון המרכזי

שינוי נושא הנוסחה במדדי מרכז

מנוסחת הממוצע $\overset{x}{ˉ} = \frac{סכום}{n}$ נובע ש:

סכום = \overset{x}{ˉ} \cdot n \Rightarrow נתון חסר = \overset{x}{ˉ} \cdot n - סכום הידועים

הנעלם במונה ובמכנה (טבלת שכיחויות): אם השכיחות החסרה היא x, כותבים את משוואת הממוצע וכופלים את שני האגפים במכנה כדי להיפטר מהשבר, ואז פותרים משוואה ממעלה ראשונה.

הנעלם במכנה (יחס/אחוז): ממשוואה כמו $\frac{a}{x} = p$ כופלים ב-x ומחלקים ב-p: $x = \frac{a}{p}$ .

ממוצע משוקלל עם קבוצה חסרה: מציבים את הממוצע הכולל בנוסחה ופותרים עבור הממוצע (או הסכום) של הקבוצה החסרה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: משכורת חסרה בהינתן הממוצע

המשכורת הממוצעת של 5 עובדים היא 7000 ש"ח. ארבע מהן: 6000, 6500, 7500, 8000. מצאו את החמישית.

x = \overset{x}{ˉ} \cdot n - סכום הידועות = 7000 \cdot 5 - 28000 = 7000

שלב 1 — סכום כולל

7000 \times 5 = 35000

דוגמה 2: שכיחות חסרה — הנעלם במונה ובמכנה

שכר 3000 ש"ח — x עובדים, 4000 ש"ח — 10 עובדים, 5000 ש"ח — 5 עובדים. הממוצע 4000. מצאו את x.

\frac{3000 x + 65000}{x + 15} = 4000 \Rightarrow 3000 x + 65000 = 4000 x + 60000 \Rightarrow x = 5

בדיקה: $\frac{3000 \cdot 5 + 65000}{20} = \frac{80000}{20} = 4000$ ✓

שלב 1 — כותבים את משוואת הממוצע

\frac{3000x + 4000 \cdot 10 + 5000 \cdot 5}{x + 10 + 5} = 4000

דוגמה 3: הנעלם במכנה — הוצאה כוללת מיחס באחוז

144 ש"ח הם 6% מההוצאה החודשית על תחבורה. מהי ההוצאה הכוללת?

0.06 x = 144 \Rightarrow x = \frac{144}{0.06} = 2400

בדיקה: $0.06 \cdot 2400 = 144$ ✓

שלב 1 — מנסחים משוואה

0.06 \cdot x = 144 (

כלומר

\frac{144}{x} = 0.06)

דוגמה 4: ממוצע של קבוצה חסרה (ממוצע משוקלל)

סניף א': 10 עובדים, ממוצע 8000. ממוצע כל 40 העובדים 11000. בסניף ב' 30 עובדים. מהו הממוצע בסניף ב'?

\frac{10 \cdot 8000 + 30 y}{40} = 11000 \Rightarrow 30 y = 360000 \Rightarrow y = 12000

שלב 1 — מסמנים נעלם

y =

השכר הממוצע בסניף ב'

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

המחיר הממוצע של 4 מוצרים במכולת הוא 10 ש"ח. שלושה מהמחירים הם 8, 9 ו-12 ש"ח. מהו מחיר המוצר הרביעי? (בש"ח)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בטבלת שכר חודשי: 3000 ש"ח מקבלים x עובדים, 4000 ש"ח מקבלים 10 עובדים, ו-5000 ש"ח מקבלים 5 עובדים. השכר הממוצע הוא 4000 ש"ח. כמה עובדים מקבלים 3000 ש"ח? (כלומר, מהו x?)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

משפחה הוציאה 144 ש"ח בחודש על תחבורה ציבורית, שהם 6% מסך ההוצאה החודשית שלה על תחבורה. מהי ההוצאה החודשית הכוללת של המשפחה על תחבורה? (בש"ח)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: שתי דרגות שכר עם הפרש נתון

25 פועלים בדרגה נמוכה, 75 בדרגה גבוהה (גדולה ב-10 ש"ח לשעה). הממוצע 35 ש"ח לשעה. מהו השכר בדרגה הנמוכה?

\frac{25 x + 75 ( x + 10 )}{100} = 35 \Rightarrow 100 x + 750 = 3500 \Rightarrow x = 27.5

בדיקה: $\frac{25 \cdot 27.5 + 75 \cdot 37.5}{100} = \frac{3500}{100} = 35$ ✓

שלב 1 — מסמנים

x =

שכר הדרגה הנמוכה

, x+10 =

שכר הדרגה הגבוהה

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

ברשת חנויות שני סניפים. בסניף א' 10 עובדים בשכר ממוצע 8000 ש"ח. השכר הממוצע של כל 40 העובדים בשני הסניפים הוא 11000 ש"ח. בסניף ב' יש 30 עובדים. מהו השכר הממוצע בסניף ב'? (בש"ח)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחסרים את הממוצע במקום את הסכום הכולל

טעות: חסר = 28000 − 7000.

נכון: חסר = (7000·5) − 28000 = 35000 − 28000 = 7000.

למה זה קורה?

תלמידים מחסרים ישירות את הממוצע מסכום הנתונים הידועים.

איך מתקנים?

קודם מחשבים את הסכום הכולל (ממוצע × מספר נתונים), ורק אז מחסרים את הידועות.

טעות נפוצה: פותרים שבר בלי לכפול במכנה

ממשוואה $\frac{3000 x + 65000}{x + 15} = 4000$ חובה לכפול ב-(x+15): 3000x+65000 = 4000(x+15).

למה זה קורה?

כשהנעלם במונה ובמכנה, מתעלמים מהמכנה ומשווים רק את המונה לערך.

איך מתקנים?

כפלו את שני האגפים במכנה כדי להיפטר מהשבר, ורק אז פתרו משוואה רגילה.

טעות נפוצה: מציבים ממוצע במקום סכום באיחוד קבוצות

לסניף א' הסכום הוא $10 \cdot 8000 = 80000$ , לא 8000.

למה זה קורה?

באיחוד קבוצות מציבים את הממוצע של קבוצה כאילו היה הסכום שלה.

איך מתקנים?

החזירו כל ממוצע לסכום: סכום = ממוצע × מספר פריטים, לפני ההצבה.

טעות נפוצה: שגיאה בבידוד נעלם שבמכנה

מ- $\frac{144}{x} = 0.06$ מקבלים $x = \frac{144}{0.06} = 2400$ , ולא $x = 144 \cdot 0.06$ .

למה זה קורה?

מדלגים על שלב הכפל במכנה כשהנעלם נמצא שם.

איך מתקנים?

ממשוואה

\frac{a}{x} = p

כופלים ב-x ומחלקים ב-

p: x = \frac{a}{p}

סיכום

מה למדנו?

מציאת נתון חסר מתוך הממוצע:

נתון חסר ברשימה: חסר = (ממוצע × מספר נתונים) − סכום הידועות.
שכיחות חסרה: כותבים את משוואת הממוצע (נעלם במונה ובמכנה), כופלים במכנה, ופותרים.
נעלם במכנה: מ- $\frac{a}{x} = p$ מקבלים $x = \frac{a}{p}$ .
קבוצה חסרה בממוצע משוקלל: מציבים את הממוצע הכולל בנוסחה ופותרים עבור הקבוצה החסרה.

טיפים:

תמיד התחילו מהסכום הכולל, לא מהממוצע עצמו.
כשיש שבר — קודם כל היפטרו ממנו על ידי כפל במכנה.
בדקו את התשובה על ידי הצבה חזרה בנוסחת הממוצע.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים למצוא נתון חסר בעזרת שינוי נושא הנוסחה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מציאת נתון חסר מתוך הממוצע בהקשרים פיננסיים!