שילוב סטטיסטיקה והסתברות מאותם נתונים

מבוא

עד עכשיו למדנו שני עולמות נפרדים: סטטיסטיקה תיאורית (ממוצע, חציון, שכיח) והסתברות (הסיכוי שמאורע יתרחש). ביחידת הסיכום הזו נגלה שכאשר נתון לנו אוסף נתונים — למשל מספר הילדים בכל משפחה ביישוב — אפשר לעבד אותו בו-זמנית בשני הכלים. המפתח פשוט: כשבוחרים פריט באקראי, ההסתברות של מאורע שווה בדיוק לשכיחות היחסית שלו בנתונים.

מטרות השיעור

לחשב ממוצע, חציון ושכיח מתוך רשימה, טבלת שכיחויות וייצוג ויזואלי
להבין שהסתברות בבחירה אקראית = שכיחות יחסית = מקרים רצויים חלקי הסך הכול
לחשב הסתברות של מאורע מורכב: איחוד מאורעות זרים ומאורע המוגדר ביחס לשכיח
לעבד אוסף נתונים אחד גם מההיבט הסטטיסטי וגם מההיבט ההסתברותי

הרעיון המרכזי

מהנתונים למדד ולהסתברות

מדדי המרכז (חזרה):

ממוצע: סכום הנתונים חלקי מספרם. מטבלת שכיחויות משקללים כל ערך בשכיחותו. $\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum ( ערך \times שכיחות )}{סך כל הנתונים}$
חציון: הערך האמצעי לאחר סידור בסדר עולה (במספר נתונים זוגי — ממוצע שני האמצעיים).
שכיח: הערך בעל השכיחות הגבוהה ביותר.

הגשר להסתברות: כשבוחרים פריט באקראי מתוך אוכלוסייה, $P (מאורע) = \frac{מספר המקרים הרצויים}{מספר הפריטים הכולל}$

זוהי בדיוק השכיחות היחסית של המאורע. לכן כל עמודה בטבלת שכיחויות הופכת להסתברות בחלוקה בסך הכול.

מאורעות זרים: אם שני מאורעות אינם יכולים לקרות יחד (כמו "2 ילדים" ו"3 ילדים"), מחברים את השכיחויות שלהם.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ממוצע מתוך טבלת שכיחויות

במשפחות ביישוב: 1 ילד — 4 משפחות, 2 — 8, 3 — 12, 4 — 6, 5 — 2. מהו מספר הילדים הממוצע?

\overset{x}{ˉ} = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 2}{32} = \frac{90}{32} \approx 2.81

שלב 1 — משקללים כל ערך בשכיחותו

1 \cdot 4 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 2 = 4 + 16 + 36 + 24 + 10 = 90

דוגמה 2: חציון ושכיח מאותה טבלה

לאותה טבלה $(32$ משפחות): מצאו את החציון ואת השכיח

median = 3, mode = 3

המקומות 16 ו-17 נופלים בקבוצת המשפחות עם 3 ילדים.

שלב 1 — שכיחויות מצטברות

עד 1: 4 (מקומות 1–4); עד

2: 12 (5

–12); עד

3: 24 (13

–24)

דוגמה 3: הסתברות של איחוד מאורעות זרים

בוחרים משפחה באקראי. מהי ההסתברות שיש בה 2 ילדים או 3 ילדים?

P (2 או 3) = \frac{8 + 12}{32} = \frac{20}{32} = \frac{5}{8} = 0.625

שלב 1 — מזהים מקרים רצויים

משפחות עם 2 ילדים

(8)

או 3 ילדים

(12)

— מאורעות זרים

דוגמה 4: מאורע המוגדר ביחס לשכיח

מהי ההסתברות שבמשפחה שנבחרה מספר הילדים קטן מהשכיח?

P (קטן מ- 3) = \frac{4 + 8}{32} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8} = 0.375

שימו לב: "קטן מ-3" אינו כולל את הערך 3.

שלב 1 — מזהים את השכיח

השכיח הוא 3 ילדים

בדיקה מהירה

ביישוב יש 32 משפחות. בוחרים באקראי משפחה אחת. כיצד מחשבים את ההסתברות שלמשפחה שנבחרה יש בדיוק 3 ילדים, אם ידוע שב-12 מהמשפחות יש 3 ילדים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

הטבלה מתארת את התפלגות מספר הילדים במשפחה ביישוב: מספר הילדים 1, 2, 3, 4, 5 ומספר המשפחות בהתאמה 4, 8, 12, 6, 2 (סך הכול 32 משפחות). מהו מספר הילדים הממוצע למשפחה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

לפי אותה טבלה (מספר ילדים 1, 2, 3, 4, 5; מספר משפחות 4, 8, 12, 6, 2; סך הכול 32). בוחרים באקראי משפחה אחת. מהי ההסתברות שבמשפחה שנבחרה יש 2 ילדים או 3 ילדים? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: שילוב שכיח והסתברות מטבלה אחרת

בסקר על חיות מחמד ב-25 בתים: 0 — 5 בתים, 1 — 10, 2 — 8, 3 — 2. מצאו את השכיח ואת ההסתברות לאפס חיות.

mode = 1, P (0) = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} = 0.2

השכיח הוא מספר החיות (1), לא מספר הבתים (10)!

שלב 1 — שכיח

השכיחות הגבוהה ביותר היא 10, אצל הערך 1 → השכיח הוא חיה אחת

דוגמה 6: מרשימה — שכיח ואז הסתברות

מספר האחים של 20 תלמידים: 0,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,1,2,0,4,2,1,2. מהי ההסתברות שלתלמיד אקראי יש מספר אחים השווה לשכיח?

mode = 2, P (x = mode) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0.4

שלב 1 — סופרים כל ערך

0→2, 1→5, 2→8, 3→4, 4→1 (סה"כ 20)

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

לפי אותה טבלה (מספר ילדים 1, 2, 3, 4, 5; מספר משפחות 4, 8, 12, 6, 2; סך הכול 32). מהו חציון מספר הילדים במשפחה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

סקר בדק כמה חיות מחמד יש בכל בית ב-25 בתים בשכונה. התוצאות: 0 חיות — 5 בתים, חיה אחת — 10 בתים, 2 חיות — 8 בתים, 3 חיות — 2 בתים. בוחרים בית באקראי. מהו השכיח, ומהי ההסתברות שבבית שנבחר אין אף חיית מחמד?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בכיתה של 20 תלמידים נשאל כל תלמיד כמה אחים ואחיות יש לו. התקבלו הנתונים: 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 1, 2, 0, 4, 2, 1, 2. בוחרים תלמיד באקראי. חשבו את ההסתברות שמספר האחים והאחיות שלו שווה לשכיח. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין שכיחות להסתברות

טעות: "ההסתברות ל-3 ילדים היא 12".

נכון: $P (3) = \frac{12}{32} = 0.375$ .

למה זה קורה?

תלמידים רושמים את מספר המקרים הרצויים כהסתברות, בלי לחלק בסך הכול.

איך מתקנים?

הסתברות בבחירה אקראית = מקרים רצויים חלקי מספר הפריטים הכולל, ותמיד בין 0 ל-1.

טעות נפוצה: מחלקים במספר הערכים השונים במקום בסך הפריטים

טעות: $P (3) = \frac{12}{5}$ (גדול מ-1, בלתי אפשרי!).

נכון: $P (3) = \frac{12}{32}$ .

למה זה קורה?

רואים חמש עמודות בטבלה ומחלקים ב-5.

איך מתקנים?

המכנה בהסתברות (וגם בממוצע) הוא סך כל הפריטים, כאן 32 המשפחות — לא מספר העמודות.

טעות נפוצה: כוללים את הערך עצמו ב'יותר מ' או 'קטן מ'

טעות: "יותר מ-3" כולל גם משפחות עם 3 ילדים.

נכון: $P (> 3) = \frac{6 + 2}{32} = \frac{8}{32} = 0.25$ .

למה זה קורה?

לא שמים לב להבדל בין 'גדול מ' ל'גדול או שווה'.

איך מתקנים?

'יותר מ-3 ילדים

' = 4

או 5 בלבד. 'קטן מהשכיח

3' = 1

או 2 בלבד. הערך עצמו לא נכלל.

טעות נפוצה: מחשבים ממוצע מטבלה בלי שקלול

טעות: $\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3$ .

נכון: $\frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 2}{32} \approx 2.81$ .

למה זה קורה?

מחברים רק את הערכים השונים ומחלקים במספרם.

איך מתקנים?

הכפילו כל ערך בשכיחותו, חברו, וחלקו בסך כל הנתונים.

טעות נפוצה: מבלבלים בין הערך השכיח לשכיחות שלו

בטבלת חיות המחמד: השכיח הוא 1, השכיחות שלו היא 10.

למה זה קורה?

רושמים את מספר ההופעות במקום את הערך שמופיע.

איך מתקנים?

השכיח הוא הערך עצמו (למשל 'חיה אחת'), ולא מספר הפעמים שהוא הופיע

(10)

סיכום

מה למדנו?

עיבוד כפול של אותם נתונים:

סטטיסטיקה: ממוצע (משוקלל בטבלה), חציון (אמצע אחרי סידור / שכיחויות מצטברות) ושכיח (הערך הנפוץ ביותר).
הסתברות: בבחירה אקראית, $P (מאורע) = \frac{מקרים רצויים}{סך הכול}$ — זוהי השכיחות היחסית.
מאורעות זרים: מחברים שכיחויות (כמו "2 או 3 ילדים").
מאורע ביחס למדד: "יותר מהממוצע", "קטן מהשכיח" — שימו לב אם הערך עצמו נכלל.

טיפים:

המכנה תמיד סך כל הפריטים, לא מספר העמודות.
הסתברות היא מספר בין 0 ל-1 — בדקו את עצמכם.
אותו אוסף נתונים נותן גם מדד וגם הסתברות.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לחבר בין הסטטיסטיקה להסתברות מתוך אותם נתונים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב מדדי מרכז והסתברות מאותו אוסף נתונים!

שילוב סטטיסטיקה והסתברות מאותם נתונים

שילוב סטטיסטיקה והסתברות מאותם נתונים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ממוצע מתוך טבלת שכיחויות

במשפחות ביישוב: 1 ילד — 4 משפחות, 2 — 8, 3 — 12, 4 — 6, 5 — 2. מהו מספר הילדים הממוצע?

דוגמה 2: חציון ושכיח מאותה טבלה

לאותה טבלה (32(32(32 משפחות): מצאו את החציון ואת השכיח

דוגמה 3: הסתברות של איחוד מאורעות זרים

בוחרים משפחה באקראי. מהי ההסתברות שיש בה 2 ילדים או 3 ילדים?

דוגמה 4: מאורע המוגדר ביחס לשכיח

מהי ההסתברות שבמשפחה שנבחרה מספר הילדים קטן מהשכיח?

בדיקה מהירה

דוגמה 5: שילוב שכיח והסתברות מטבלה אחרת

בסקר על חיות מחמד ב-25 בתים: 0 — 5 בתים, 1 — 10, 2 — 8, 3 — 2. מצאו את השכיח ואת ההסתברות לאפס חיות.

דוגמה 6: מרשימה — שכיח ואז הסתברות

מספר האחים של 20 תלמידים: 0,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,1,2,0,4,2,1,2. מהי ההסתברות שלתלמיד אקראי יש מספר אחים השווה לשכיח?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין שכיחות להסתברות

טעות נפוצה: מחלקים במספר הערכים השונים במקום בסך הפריטים

טעות נפוצה: כוללים את הערך עצמו ב'יותר מ' או 'קטן מ'

טעות נפוצה: מחשבים ממוצע מטבלה בלי שקלול

טעות נפוצה: מבלבלים בין הערך השכיח לשכיחות שלו

סיכום

תרגול נוסף

לאותה טבלה $(32$ משפחות): מצאו את החציון ואת השכיח