חזרה: חישוב ממוצע מייצוגים שונים

מבוא

מטרות השיעור

לחשב ממוצע אריתמטי של רשימת נתונים נתונה
לחשב ממוצע משוקלל מתוך טבלת שכיחויות
להבין שהממוצע הוא מדד מרכז — נקודת איזון של הנתונים
לזכור שהממוצע אינו חייב להיות אחד מערכי הנתונים

הממוצע הוא אחד משני המדדים המרכזיים שנעבוד איתם לאורך כל יחידת הסטטיסטיקה. ביחידה הבאה — ההתפלגות הנורמלית — נראה שצורת הגרף נקבעת על ידי הממוצע (מדד מרכז) וסטיית התקן (מדד פיזור). לכן חשוב לרענן עכשיו את החישובים.

הרעיון המרכזי

נוסחאות הממוצע

ממוצע אריתמטי של הנתונים $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ :

μ = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n} = \frac{\sum x}{n}

ממוצע משוקלל (מטבלת שכיחויות), כאשר הערך $x_{i}$ מופיע בשכיחות $f_{i}$ :

μ = \frac{\sum x _{i} \cdot f _{i}}{\sum f _{i}}

המכנה $\sum f_{i}$ הוא סך כל הנתונים, ולא מספר הערכים השונים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ממוצע של רשימה

חשבו את הממוצע של 4, 7, 10, 7, 12

μ = \frac{4 + 7 + 10 + 7 + 12}{5} = \frac{40}{5} = 8

שלב 1 — סוכמים

4 + 7 + 10 + 7 + 12 = 40

דוגמה 2: ממוצע משוקלל מטבלת שכיחויות

ערכים 1,2,3,4 בשכיחויות 2,3,4,1 — חשבו את הממוצע

μ = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 1}{2 + 3 + 4 + 1} = \frac{24}{10} = 2.4

שימו לב: חילקנו ב-10 (סך הנתונים) ולא ב-4 (מספר הערכים).

שלב 1 — סך הנתונים

\Sigma f = 2 + 3 + 4 + 1 = 10

דוגמה 3: ממוצע ציונים בכיתה

3 תלמידים קיבלו 70, 5 קיבלו 80, 2 קיבלו 90 — מהו הממוצע?

μ = \frac{70 \cdot 3 + 80 \cdot 5 + 90 \cdot 2}{10} = \frac{790}{10} = 79

שלב 1 — סך התלמידים

3 + 5 + 2 = 10

דוגמה 4: ממוצע משוקלל לפי משקלים (אחוזים)

המבחן שוקל 70% והעבודה 30%. ציון 90 במבחן ו-80 בעבודה — מהו הציון הסופי?

μ = 0.7 \cdot 90 + 0.3 \cdot 80 = 63 + 24 = 87

כשהמשקלים נתונים כשברים שסכומם 1, אין צורך לחלק שוב.

שלב 1 — מזהים את המשקלים

משקל המבחן 0.7, משקל העבודה 0.3 (סכומם 1)

בדיקה מהירה

נתונה רשימת הנתונים: 4, 7, 10, 7, 12. מהו הממוצע?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בטבלת שכיחויות נתונים הערכים והשכיחויות שלהם: הערך 1 מופיע 2 פעמים, הערך 2 מופיע 3 פעמים, הערך 3 מופיע 4 פעמים, הערך 4 מופיע פעם אחת. חשבו את הממוצע.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בכיתה בת 10 תלמידים, 3 תלמידים קיבלו 70, 5 תלמידים קיבלו 80, ו-2 תלמידים קיבלו 90. מהו ממוצע הציונים בכיתה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: שחזור נתון חסר מהממוצע

ציונים 70, 85, 90 וציון רביעי לא ידוע, ממוצע 80 — מצאו את הציון הרביעי

320 - 245 = 75

הטריק: ממוצע אומר משהו על הסכום (סכום = ממוצע × כמות).

שלב 1 — מהממוצע לסכום

סך הציונים

= \mu \cdot n = 80 \cdot 4 = 320

דוגמה 6: הצטרפות נתון חדש לקבוצה

כיתה של 20 תלמידים בממוצע 78, מצטרף תלמיד עם 99 — מהו הממוצע החדש?

μ = \frac{20 \cdot 78 + 99}{21} = \frac{1659}{21} = 79

אסור לממצע 78 ו-99 ישירות — הקבוצות בגדלים שונים!

שלב 1 — סכום מקורי

20 \cdot 78 = 1560

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

תלמיד קיבל בארבעה מבחנים את הציונים 70, 85, 90 וציון רביעי לא ידוע. ממוצע ארבעת הציונים הוא 80. מהו הציון הרביעי?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחלקים במספר הערכים במקום בסך הנתונים

טעות: עבור ערכים 1,2,3,4 בשכיחויות 2,3,4,1 לחלק ב-4.

נכון: לחלק ב- $\sum f = 2 + 3 + 4 + 1 = 10$ .

למה זה קורה?

בטבלת שכיחויות התלמיד סופר רק כמה ערכים שונים יש.

איך מתקנים?

המכנה הוא

\Sigma f

— סך כל הנתונים. ערך שמופיע 4 פעמים נספר 4 פעמים.

טעות נפוצה: מתעלמים מהשכיחויות

טעות: $\frac{1 + 2 + 3 + 4}{4} = 2.5$

נכון: $\frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 1}{10} = 2.4$

למה זה קורה?

התלמיד מחשב ממוצע פשוט של הערכים השונים.

איך מתקנים?

כל ערך נספר כמספר הפעמים שהוא מופיע — לכן מכפילים ערך בשכיחות.

טעות נפוצה: חושבים שהממוצע חייב להופיע ברשימה

הממוצע של 2 ו-5 הוא 3.5 — מספר שאינו אחד הנתונים.

למה זה קורה?

התלמיד מצפה שהממוצע יהיה אחד הנתונים.

איך מתקנים?

הממוצע הוא נקודת איזון ויכול ליפול בין הנתונים.

סיכום

מה למדנו?

ממוצע אריתמטי: $μ = \frac{\sum x}{n}$

ממוצע משוקלל: $μ = \frac{\sum x _{i} f _{i}}{\sum f _{i}}$

זכרו:

המכנה הוא תמיד סך כל הנתונים (Σf), לא מספר הערכים
סכום = ממוצע × כמות — שימושי לשחזור נתון חסר
אי אפשר לממצע ממוצעים של קבוצות בגדלים שונים בלי לשקלל

הממוצע יהיה הבסיס לכל מה שנלמד בהתפלגות הנורמלית. כל הכבוד!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב ממוצע מייצוגים שונים!