חזרה: חישוב סטיית תקן ומשמעותה

מבוא

מטרות השיעור

לחשב סטיית תקן לפי הנוסחה, שלב אחר שלב
להבין שסטיית התקן היא מדד פיזור — כמה הנתונים מתרחקים מהממוצע
לזכור שסטיית התקן נמדדת באותן יחידות של המשתנה
להבחין בין שונות (σ²) לסטיית תקן (σ)

הממוצע אומר לנו היכן נמצא מרכז הנתונים, אבל לא כמה הם מפוזרים. סטיית התקן משלימה את התמונה: היא מודדת את הפיזור סביב הממוצע. ביחידת ההתפלגות הנורמלית הצורה של העקומה תיקבע בדיוק על ידי הצמד הזה — ממוצע וסטיית תקן.

הרעיון המרכזי

נוסחת סטיית התקן

עבור נתונים עם ממוצע $μ$ והשכיחויות f:

σ = \frac{\sum ( x - μ ) ^{2} \cdot f}{\sum f}

ברשימה פשוטה (כל שכיחות 1) זה מצטמצם ל:

σ = \frac{\sum ( x - μ ) ^{2}}{n}

הגודל שמתחת לשורש נקרא שונות ומסומן $σ^{2}$ . סטיית התקן היא השורש של השונות.

ארבעה שלבים: (1) מחשבים את הממוצע μ. (2) מחשבים כל סטייה בריבוע (x−μ)². (3) ממצעים את ריבועי הסטיות → שונות. (4) מוציאים שורש → סטיית תקן.

המשמעות

$σ \geq 0$ תמיד — היא שורש של גודל אי-שלילי.
$σ = 0$ רק כאשר כל הנתונים זהים (אין פיזור).
σ גדולה = פיזור רב; σ קטנה = הנתונים מרוכזים סביב הממוצע.
σ נמדדת באותן יחידות של המשתנה (ס"מ, ₪, נקודות), בעוד שהשונות ביחידות בריבוע.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סטיית תקן של רשימה

חשבו את סטיית התקן של 1, 2, 3, 4, 5

σ = \frac{( 1 - 3 ) ^{2} + ( 2 - 3 ) ^{2} + ( 3 - 3 ) ^{2} + ( 4 - 3 ) ^{2} + ( 5 - 3 ) ^{2}}{5} = 2 \approx 1.41

שלב 1 — ממוצע

\mu = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3

תשובה מספרית

חשבו את סטיית התקן של הנתונים 1, 2, 3, 4, 5. דייקו עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

סטייה מותרת: ±0.02

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: כשכל הנתונים זהים

חשבו את סטיית התקן של 5, 5, 5, 5

σ = 0 = 0

כשאין פיזור כלל — סטיית התקן אפס.

שלב 1 — ממוצע

\mu = 5

דוגמה 3: נתונים סימטריים סביב הממוצע

חשבו את סטיית התקן של 2, 2, 2, 8, 8, 8

σ = \frac{6 \cdot 9}{6} = 9 = 3

כל הנתונים נמצאים במרחק 3 מהממוצע, ולכן σ = 3.

שלב 1 — ממוצע

\mu = \frac{30}{6} = 5

תשובה מספרית

מהי סטיית התקן של הנתונים 5, 5, 5, 5?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: השוואת פיזור באותו ממוצע

לשתי קבוצות ממוצע 50: א $'={48,50,52}$ , ב $'={40,50,60}$ . למי $\sigma$ גדולה יותר?

σ_{א’} \approx 1.63, σ_{ב’} \approx 8.16

ממוצע זהה אינו מבטיח פיזור זהה!

שלב 1 — קבוצה א'

\sigma ^{2} = ((-2)^{2}+0^{2}+2^{2})/3 = \frac{8}{3} ≈ 2.67, \sigma ≈ 1.63

בדיקה מהירה

נתונות שתי קבוצות: קבוצה א $' = {48, 50, 52}$ וקבוצה ב $' = {40, 50, 60}$ . לאיזו קבוצה סטיית תקן גדולה יותר, ומדוע?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים להוציא שורש בסוף

טעות: עבור 2,4,6,8,10 לכתוב σ = 8.

נכון: 8 היא השונות; $σ = 8 \approx 2.83$ .

למה זה קורה?

התלמיד עוצר אחרי החלוקה ב-n ומדווח על השונות במקום על סטיית התקן.

איך מתקנים?

הגודל שמתחת לשורש הוא השונות

(\sigma ^{2})

. סטיית התקן היא השורש שלו

(\sigma )

בדיקה מהירה

מהי סטיית התקן של הנתונים 2, 4, 6, 8, 10?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: סוכמים את הסטיות בלי להעלות בריבוע

עבור 1,2,3,4,5: (1-3)+(2-3)+(3-3)+(4-3)+(5-3) = 0

לכן מעלים בריבוע: 4+1+0+1+4 = 10.

למה זה קורה?

התלמיד מחשב

\Sigma (x-\mu )

במקום

\Sigma (x-\mu )^{2}

איך מתקנים?

סכום הסטיות מהממוצע תמיד שווה אפס — לכן חייבים להעלות בריבוע לפני הסכימה.

טעות נפוצה: חושבים שסטיית תקן יכולה להיות שלילית

$σ = σ^{2} \geq 0$ — תמיד.

למה זה קורה?

בלבול עם סטיות בודדות

(x-\mu )

שיכולות להיות שליליות.

איך מתקנים?

\sigma

היא שורש של גודל אי-שלילי, ולכן תמיד

\sigma \ge 0

טעות נפוצה: מבלבלים בין שונות לסטיית תקן

עבור 3,3,5,7,7: שונות $σ^{2} = 3.2$ , סטיית תקן $σ = 3.2 \approx 1.79$ .

למה זה קורה?

לא שמים לב אם השאלה מבקשת

\sigma

או

\sigma ^{2}

איך מתקנים?

שונות = הגודל לפני השורש (ביחידות בריבוע). סטיית תקן = אחרי השורש (ביחידות המשתנה).

סיכום

מה למדנו?

נוסחה: $σ = \frac{\sum ( x - μ ) ^{2} f}{\sum f}$

ארבעה שלבים: ממוצע ← ריבועי סטיות ← שונות ← שורש.

זכרו:

אל תשכחו את השורש בסוף (אחרת זו השונות)
מעלים בריבוע לפני הסכימה (סכום הסטיות = 0)
σ ≥ 0 תמיד; σ = 0 רק כשאין פיזור
σ נמדדת ביחידות המשתנה; פיזור רב יותר → σ גדולה יותר

עם הממוצע וסטיית התקן בכיס אתם מוכנים ליחידת ההתפלגות הנורמלית!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב סטיית תקן ומשמעותה!

חזרה: חישוב סטיית תקן ומשמעותה

חזרה: חישוב סטיית תקן ומשמעותה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סטיית תקן של רשימה

חשבו את סטיית התקן של 1, 2, 3, 4, 5

דוגמה 2: כשכל הנתונים זהים

חשבו את סטיית התקן של 5, 5, 5, 5

דוגמה 3: נתונים סימטריים סביב הממוצע

חשבו את סטיית התקן של 2, 2, 2, 8, 8, 8

דוגמה 4: השוואת פיזור באותו ממוצע

לשתי קבוצות ממוצע 50: א′=48,50,52'={48,50,52}′=48,50,52, ב′=40,50,60'={40,50,60}′=40,50,60. למי σ\sigmaσ גדולה יותר?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים להוציא שורש בסוף

טעות נפוצה: סוכמים את הסטיות בלי להעלות בריבוע

טעות נפוצה: חושבים שסטיית תקן יכולה להיות שלילית

טעות נפוצה: מבלבלים בין שונות לסטיית תקן

סיכום

תרגול נוסף

לשתי קבוצות ממוצע 50: א $'={48,50,52}$ , ב $'={40,50,60}$ . למי $\sigma$ גדולה יותר?