חזרה: מדדי מרכז ופיזור מתוך שכיחויות ומשתנים בדידים

מבוא

מטרות השיעור

לארגן נתונים של משתנה בדיד בטבלת שכיחויות
לחשב ממוצע (מדד מרכז) מתוך טבלת שכיחויות
לחשב סטיית תקן (מדד פיזור) מתוך טבלת שכיחויות
לפרש יחד את הממוצע ואת סטיית התקן

בשני השיעורים הקודמים חזרנו על הממוצע ועל סטיית התקן בנפרד. כאן נחבר אותם: בהינתן משתנה בדיד (כמו מספר ספרים שנקראו, או מספר אחים) המוצג בטבלת שכיחויות, נחשב את שני המדדים יחד. זהו בדיוק הסוג של נתונים שנתאר ביחידת ההתפלגות הנורמלית.

הרעיון המרכזי

טבלת שכיחויות ושני המדדים

משתנה בדיד מקבל את הערכים $x_{i}$ בשכיחויות $f_{i}$ . סך הנתונים הוא $N = \sum f_{i}$ .

ממוצע (מדד מרכז): $μ = \frac{\sum x _{i} f _{i}}{\sum f _{i}}$

סטיית תקן (מדד פיזור): $σ = \frac{\sum ( x _{i} - μ ) ^{2} f _{i}}{\sum f _{i}}$

כל איבר בסכום השונות מוכפל בשכיחות $f_{i}$ — ערך ששכיח יותר תורם יותר לפיזור.

טיפ עבודה — טבלה מסודרת

נוח לבנות טבלה עם העמודות: x, f, $x \cdot f$ , $(x - μ)^{2}$ , $(x - μ)^{2} f$ . סכום עמודת $x \cdot f$ חלקי $\sum f$ נותן את μ; סכום העמודה האחרונה חלקי $\sum f$ נותן את השונות.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ממוצע מטבלת שכיחויות

ערכים 0,1,2,3 בשכיחויות 4,3,2,1 — מצאו את הממוצע

μ = \frac{0 \cdot 4 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1}{10} = \frac{10}{10} = 1

שלב 1 — סך הנתונים

\Sigma f = 4+3+2+1 = 10

דוגמה 2: סטיית תקן מאותה טבלה

ערכים 0,1,2,3 בשכיחויות $4,3,2,1, \mu =1$ — מצאו את סטיית התקן

σ = \frac{( 0 - 1 ) ^{2} \cdot 4 + ( 1 - 1 ) ^{2} \cdot 3 + ( 2 - 1 ) ^{2} \cdot 2 + ( 3 - 1 ) ^{2} \cdot 1}{10} = 1 = 1

שלב 1 — ריבועי הסטיות × שכיחות

(0-1)^{2} \cdot 4=4, (1-1)^{2} \cdot 3=0, (2-1)^{2} \cdot 2=2, (3-1)^{2} \cdot 1=4

תשובה מספרית

משתנה בדיד מקבל את הערכים 0, 1, 2, 3 בשכיחויות 4, 3, 2, 1 בהתאמה. חשבו את הממוצע.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

עבור המשתנה הבדיד שערכיו 0, 1, 2, 3 בשכיחויות 4, 3, 2, 1 (כבר חישבתם שהממוצע הוא 1), חשבו את סטיית התקן.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: ממוצע בסקר (משתנה בדיד אמיתי)

מספר ספרים שנקראו: 1→2, 2→3, 3→5, 4→3, 5→2 תלמידים. מהו הממוצע?

μ = \frac{45}{15} = 3

הטבלה סימטרית סביב 3, ולכן הממוצע נופל בדיוק במרכז.

שלב 1 — סך התלמידים

\Sigma f = 2+3+5+3+2 = 15

תשובה מספרית

בסקר נשאלו תלמידים כמה ספרים קראו בחופש. התשובות (מספר ספרים) והשכיחויות: 1 ספר → 2 תלמידים, 2 ספרים → 3 תלמידים, 3 ספרים → 5 תלמידים, 4 ספרים → 3 תלמידים, 5 ספרים → 2 תלמידים. מהו מספר הספרים הממוצע?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: ממוצע וסטיית תקן יחד

ערכים 0,1,2,3,4 בשכיחויות 1,2,4,2,1 — מצאו $\mu$ ו- $\sigma$

μ = 2, σ = 1.2 \approx 1.10

הנתונים מרוכזים סביב 2, ורובם בטווח של כסטיית תקן אחת ממנו.

שלב 1 — סך הנתונים

\Sigma f = 1+2+4+2+1 = 10

תשובה מספרית

משתנה בדיד מקבל ערכים 0, 1, 2, 3, 4 בשכיחויות 1, 2, 4, 2, 1. חשבו את סטיית התקן ודייקו עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

סטייה מותרת: ±0.03

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: לא משקללים את ריבוע הסטייה בשכיחות

עבור ערך 0 בשכיחות 4 (כש-μ=1): $(0 - 1)^{2} \cdot 4 = 4$ , ולא רק $(0 - 1)^{2} = 1$ .

למה זה קורה?

התלמיד מחשב

(x-\mu )^{2}

אבל שוכח להכפיל ב-f.

איך מתקנים?

כל ערך מופיע f פעמים, ולכן ריבוע הסטייה שלו נספר f פעמים:

(x-\mu )^{2} \cdot f

טעות נפוצה: מחלקים במספר הערכים במקום בסך הנתונים

עבור הטבלה עם 4 ערכים ו-Σf=10, מחלקים ב-10 ולא ב-4.

למה זה קורה?

בלבול בין מספר הקטגוריות לכמות הנתונים.

איך מתקנים?

המכנה הוא תמיד

\Sigma f

— סך כל הנתונים.

טעות נפוצה: מבלבלים בין הערך לשכיחות

עבור 'ערך 3 בשכיחות 5': התרומה היא $3 \cdot 5 = 15$ , ולא $5 \cdot 5$ או $3 \cdot 3$ .

למה זה קורה?

לא ברור מי המספר שמופיע ומי כמה פעמים.

איך מתקנים?

x =

הערך שנמדד;

f =

כמה פעמים הוא מופיע. בסכום המשוקלל מכפילים

x \cdot f

סיכום

מה למדנו?

מתוך טבלת שכיחויות של משתנה בדיד:

ממוצע: $μ = \frac{\sum x f}{\sum f}$

סטיית תקן: $σ = \frac{\sum ( x - μ ) ^{2} f}{\sum f}$

זכרו:

המכנה הוא תמיד Σf (סך הנתונים)
בשונות מכפילים כל ריבוע סטייה בשכיחותו
הממוצע אומר היכן המרכז; סטיית התקן אומרת כמה רחב הפיזור

עכשיו אתם שולטים בצמד μ ו-σ — בדיוק הכלים שמתארים כל התפלגות, כולל הנורמלית!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מציאת מדדי מרכז ופיזור מטבלאות שכיחויות!

חזרה: מדדי מרכז ופיזור מתוך שכיחויות ומשתנים בדידים

חזרה: מדדי מרכז ופיזור מתוך שכיחויות ומשתנים בדידים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ממוצע מטבלת שכיחויות

ערכים 0,1,2,3 בשכיחויות 4,3,2,1 — מצאו את הממוצע

דוגמה 2: סטיית תקן מאותה טבלה

ערכים 0,1,2,3 בשכיחויות 4,3,2,1,μ=14,3,2,1, \mu =14,3,2,1,μ=1 — מצאו את סטיית התקן

דוגמה 3: ממוצע בסקר (משתנה בדיד אמיתי)

מספר ספרים שנקראו: 1→2, 2→3, 3→5, 4→3, 5→2 תלמידים. מהו הממוצע?

דוגמה 4: ממוצע וסטיית תקן יחד

ערכים 0,1,2,3,4 בשכיחויות 1,2,4,2,1 — מצאו μ\muμ ו-σ\sigmaσ

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: לא משקללים את ריבוע הסטייה בשכיחות

טעות נפוצה: מחלקים במספר הערכים במקום בסך הנתונים

טעות נפוצה: מבלבלים בין הערך לשכיחות

סיכום

תרגול נוסף

ערכים 0,1,2,3 בשכיחויות $4,3,2,1, \mu =1$ — מצאו את סטיית התקן

ערכים 0,1,2,3,4 בשכיחויות 1,2,4,2,1 — מצאו $\mu$ ו- $\sigma$