זיהוי עקומה מתבנית אלגברית

מבוא

מטרות השיעור

לשחזר מתבנית כללית את הצורה הקנונית של כל חתך חרוט באמצעות השלמה לריבוע
למצוא מרכז, קודקוד, רדיוס וחצאי-צירים מתוך המשוואה
לפרש כל עקומה כהזזה מקבילה לצירים של עקומה קנונית
לפרש מקדמי ריבוע כמתיחה או כיווץ של העקומה הבסיסית, ולהבחין בין גורם המתיחה למכנה

הרעיון המרכזי

בשיעור הקודם זיהינו מן המקדמים A, B את משפחת העקומה. עכשיו נרצה את הצורה המדויקת: היכן מרכזה, מה רדיוסה או חצאי-ציריה, ולאן היא פתוחה. הכלי המרכזי הוא השלמה לריבוע — תהליך אלגברי שמכנס את האיברים ב-x לריבוע אחד, ואת האיברים ב-y לריבוע אחר.

השלמה לריבוע — התבנית

לכל מקדם $m \neq = 0$ : $m x^{2} + c x = m (x^{2} + \frac{c}{m} x) = m (x + \frac{c}{2 m})^{2} - \frac{c ^{2}}{4 m}$

שלושה צעדים: (1) מוציאים את מקדם הריבוע m כגורם משותף; (2) משלימים לריבוע בתוך הסוגריים (מחצית מקדם x בריבוע); (3) מכפילים בחזרה את הגורם m ומאזנים את הקבוע. הצעד השלישי הוא המכשול הנפוץ ביותר.

כל עקומה = הזזה + מתיחה/כיווץ של עקומה קנונית

לאחר ההשלמה לריבוע, כל עקומה מתקבלת מעקומה קנונית (שמרכזה בראשית) בשני סוגי שינויים:

הזזה מקבילה לצירים: הביטוי (x-p) מזיז את העקומה p בכיוון x, והביטוי (y-q) מזיז אותה q בכיוון y. המרכז עובר ל-(p, q).
מתיחה / כיווץ: במשוואה מהצורה $\frac{( x - p ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - q ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$ , חצאי-הצירים הם a ו-b — שורשי המכנים. מעגל היחידה נמתח פי a בכיוון x ופי b בכיוון y.

טבלת הצורות הקנוניות המוזזות

מעגל: $(x - p)^{2} + (y - q)^{2} = R^{2}$ — מרכז (p,q), רדיוס R.
אליפסה: $\frac{( x - p ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - q ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$ — מרכז (p,q), חצאי-צירים a, b.
היפרבולה: $\frac{( x - p ) ^{2}}{a ^{2}} - \frac{( y - q ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$ — מרכז (p,q).
פרבולה: $(y - q)^{2} = 2 p_{0} (x - h)$ או $(x - h)^{2} = 2 p_{0} (y - q)$ — קודקוד (h,q).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מעגל

זהו את העקומה $x^{2} + y^{2} - 6x + 4y - 12 = 0$ ומצאו מרכז ורדיוס.

(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 25 \Rightarrow מרכז (3, - 2), R = 5

שלב 1 — מזהים משפחה

A=B=1 ⇐

משפחת המעגל. נשלים לריבוע כדי לוודא ולמצוא מרכז ורדיוס.

דוגמה 2: אליפסה (עם גורם משותף!)

זהו את העקומה $4x^{2} + 9y^{2} - 16x + 18y - 11 = 0$ ומצאו מרכז וחצאי-צירים.

\frac{( x - 2 ) ^{2}}{9} + \frac{( y + 1 ) ^{2}}{4} = 1 \Rightarrow מרכז (2, - 1), a = 3, b = 2

שימו לב לשלב 4: הקבוע -16 נובע מ- $4 \cdot (- 4)$ , לא מ--4.

שלב 1 — מזהים משפחה

A=4, B=9 (

אותו סימן, שונים) ⇐ אליפסה.

תשובה מספרית

נתון המעגל $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ . השלימו לריבוע ומצאו את רדיוס המעגל R.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתונה האליפסה $4x^{2}+9y^{2}-16x+18y-11=0$ . השלימו לריבוע ומצאו את אורך חצי-הציר הגדול (a).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: פרבולה

זהו את העקומה $y^{2} - 6y - 4x + 1 = 0$ ומצאו קודקוד וכיוון פתיחה.

(y - 3)^{2} = 4 (x + 2) \Rightarrow קודקוד (- 2, 3), פתוחה ימינה

שלב 1 — מזהים משפחה

יש

y^{2}

אך אין

x^{2} (A=0) ⇐

פרבולה. נשלים לריבוע ב-y בלבד.

בדיקה מהירה

נתונה הפרבולה $y^{2}-6y-4x+1=0$ . מהו קודקוד הפרבולה ולאיזה כיוון היא פתוחה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

נתונה ההיפרבולה $9x^{2}-4y^{2}-18x-16y-43=0$ . מהו מרכז ההיפרבולה? ענו כזוג סדור (x, y).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: היפרבולה

זהו את העקומה $9x^{2} - 4y^{2} - 18x - 16y - 43 = 0$ ומצאו מרכז.

\frac{( x - 1 ) ^{2}}{4} - \frac{( y + 2 ) ^{2}}{9} = 1 \Rightarrow מרכז (1, - 2)

שימו לב לשלב 4: הגורם של y הוא -4, ולכן $- 4 \cdot (- 4) = + 16$ נכנס לאיזון.

שלב 1 — מזהים משפחה

A=9, B=-4 (

סימנים מנוגדים) ⇐ היפרבולה.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים להכפיל בחזרה את הגורם המשותף

טעות: מ- $4 (x^{2} - 4 x)$ כותבים $4 (x - 2)^{2} - 4$ .

נכון: $4 (x^{2} - 4 x) = 4 ((x - 2)^{2} - 4) = 4 (x - 2)^{2} - 16$ . הקבוע הוא -16, לא -4.

למה זה קורה?

משלימים לריבוע בתוך הסוגריים אך לא מכפילים את התיקון בגורם שהוצא.

איך מתקנים?

לאחר

m(x^{2}+\ldots) = m((x-h)^{2}-k)

, חובה להכפיל:

m(x-h)^{2} - m \cdot k

. הקבוע מוכפל ב-m.

טעות נפוצה: טעות סימן במרכז

טעות: "ב- $(x + 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ המרכז הוא (3,2)."

נכון: $(x + 3)^{2} = (x - (- 3))^{2}$ , אז המרכז הוא (-3,-2).

למה זה קורה?

מזהים את הקואורדינטה ישירות מתוך הסוגריים, בלי לשים לב לסימן.

איך מתקנים?

המרכז הוא (p,q) כאשר הביטוי הוא

(x-p)

ו-

(y-q)

. לכן

(x+3)^{2}

נותן

p=-3

, ו-

(y+2)^{2}

נותן

q=-2

טעות נפוצה: בלבול בין גורם המתיחה למכנה

טעות: "ב- $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ חצי-הציר הגדול הוא 9."

נכון: $a = 9 = 3$ ו- $b = 4 = 2$ . מעגל היחידה נמתח פי 3 בכיוון x ופי 2 בכיוון y.

למה זה קורה?

חושבים שהמכנה עצמו הוא גורם המתיחה או חצי-הציר.

איך מתקנים?

חצי-הציר (וגורם המתיחה) הוא שורש המכנה: ב-

\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1

חצאי-הצירים הם 3 ו-2, לא 9 ו-4.

סיכום

מה למדנו?

זיהוי עקומה מתבנית אלגברית:

השלמה לריבוע הופכת כל תבנית כללית לצורה קנונית מוזזת. שלושת הצעדים: הוצאת גורם → השלמה בסוגריים → הכפלה בחזרה ואיזון.
הצורה הקנונית חושפת את כל הנתונים: מרכז (p,q), רדיוס/חצאי-צירים, קודקוד וכיוון.
כל עקומה היא הזזה של העקומה הקנונית (מתוך (x-p), (y-q)) ומתיחה/כיווץ שלה (חצאי-הצירים הם שורשי המכנים).

זכרו:

הקבוע בהשלמה לריבוע מוכפל בגורם שהוצא.
גורם המתיחה הוא $מכנה$ , לא המכנה עצמו.

בשיעור הבא נעבור מהזיהוי אל ההוכחה: כיצד מוכיחים שצורה היא מקום גאומטרי, ואיך בוחרים מערכת צירים בצורה מושכלת.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על השלמה לריבוע וזיהוי הצורה הקנונית המוזזת!

זיהוי עקומה מתבנית אלגברית

זיהוי עקומה מתבנית אלגברית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מעגל

זהו את העקומה x2+y2−6x+4y−12=0x^{2} + y^{2} - 6x + 4y - 12 = 0x2+y2−6x+4y−12=0 ומצאו מרכז ורדיוס.

דוגמה 2: אליפסה (עם גורם משותף!)

זהו את העקומה 4x2+9y2−16x+18y−11=04x^{2} + 9y^{2} - 16x + 18y - 11 = 04x2+9y2−16x+18y−11=0 ומצאו מרכז וחצאי-צירים.

דוגמה 3: פרבולה

זהו את העקומה y2−6y−4x+1=0y^{2} - 6y - 4x + 1 = 0y2−6y−4x+1=0 ומצאו קודקוד וכיוון פתיחה.

דוגמה 4: היפרבולה

זהו את העקומה 9x2−4y2−18x−16y−43=09x^{2} - 4y^{2} - 18x - 16y - 43 = 09x2−4y2−18x−16y−43=0 ומצאו מרכז.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים להכפיל בחזרה את הגורם המשותף

טעות נפוצה: טעות סימן במרכז

טעות נפוצה: בלבול בין גורם המתיחה למכנה

סיכום

תרגול נוסף

זהו את העקומה $x^{2} + y^{2} - 6x + 4y - 12 = 0$ ומצאו מרכז ורדיוס.

זהו את העקומה $4x^{2} + 9y^{2} - 16x + 18y - 11 = 0$ ומצאו מרכז וחצאי-צירים.

זהו את העקומה $y^{2} - 6y - 4x + 1 = 0$ ומצאו קודקוד וכיוון פתיחה.

זהו את העקומה $9x^{2} - 4y^{2} - 18x - 16y - 43 = 0$ ומצאו מרכז.