ניסויי מקרה ואומדן הסתברות 🎲🪙

מבוא

שלום תלמידי כיתה ו׳!

בשיעורים הקודמים למדנו על שכיחות יחסית ושפת ההסתברות. היום נעשה ניסויי מקרה אמיתיים ונלמד איך לאמוד הסתברות מתוצאות!

מה נלמד היום?

מהו ניסוי מקרה (הטלת מטבע, קובייה, סביבון, רולטה)
איך לרשום תוצאות ולבנות טבלת שכיחות
איך לאמוד הסתברות משכיחות יחסית
מה ההבדל בין הסתברות תיאורטית לניסויית

מהו ניסוי מקרה?

הגדרה

ניסוי מקרה הוא פעולה שהתוצאה שלה לא ידועה מראש ותלויה במקרה.

דוגמאות:

🪙 הטלת מטבע (עץ או פלי)
🎲 הטלת קובייה (1, 2, 3, 4, 5, 6)
🎡 סיבוב רולטה
🔀 שליפת קלף מחפיסה
🎯 סביבון (נ, ג, ה, פ)

הטלת מטבע - ניסוי קלאסי

כלל זהב

בהטלת מטבע הוגן:

יש 2 תוצאות אפשריות: עץ (🌳) או פלי (👑)
הסיכוי לכל תוצאה הוא שווה: $\frac{1}{2} = 50%$

זו ההסתברות התיאורטית - מה שאנחנו מצפים שיקרה.

דוגמה מפורטת 1: הטלת מטבע 20 פעמים

ניסוי הטלת מטבע

שאלה: מה ההסתברות הניסויית לקבל ״עץ״?

שלב 1: ביצוע הניסוי

הטלנו מטבע 20 פעמים וקיבלנו: ע, פ, ע, ע, פ, פ, ע, פ, ע, ע, פ, ע, פ, פ, ע, ע, פ, ע, פ, ע

בדיקה מהירה

הטלת קובייה - 6 תוצאות אפשריות

הסתברות בקובייה

בהטלת קובייה הוגנת:

יש 6 תוצאות אפשריות: 1, 2, 3, 4, 5, 6
הסיכוי לכל מספר הוא שווה: $\frac{1}{6} \approx 16.7%$
הסיכוי לזוגי (2, 4, 6): $\frac{3}{6} = 50%$
הסיכוי לאי-זוגי (1, 3, 5): $\frac{3}{6} = 50%$

דוגמה מפורטת 2: הטלת קובייה 30 פעמים

ניסוי הטלת קובייה

שאלה: מה ההסתברות הניסויית לקבל מספר זוגי?

שלב 1: ביצוע הניסוי

הטלנו קובייה 30 פעמים ורשמנו כל תוצאה.

בדיקה מהירה

הטלנו מטבע 20 פעמים וקיבלנו עץ 12 פעמים. מהי ההסתברות הניסויית לקבל עץ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

הטלנו קובייה 30 פעמים וקיבלנו: $1-5$ פעמים $, 2-7$ פעמים $, 3-4$ פעמים $, 4-6$ פעמים $, 5-3$ פעמים $, 6-5$ פעמים. מהי ההסתברות הניסויית (באחוזים) לקבל מספר זוגי $(2, 4$ , או 6)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

רולטה וסביבון - עוד ניסויי מקרה

רולטה פשוטה

דמיינו רולטה עם 8 חלקים שווים בצבעים: 4 אדומים, 3 כחולים, 1 ירוק.

הסתברות תיאורטית:

אדום: $\frac{4}{8} = 50%$
כחול: $\frac{3}{8} = 37.5%$
ירוק: $\frac{1}{8} = 12.5%$

סביבון חנוכה

בסביבון רגיל יש 4 אותיות: נ, ג, ה, פ.

הסתברות תיאורטית לכל אות: $\frac{1}{4} = 25%$

הבדל חשוב: תיאורטי מול ניסויי

שני סוגי הסתברות

הסתברות תיאורטית:

מחושבת לפי החוקים (למשל: 50% לעץ במטבע)
זו ההסתברות ה״אמיתית״ או ה״אידיאלית״

הסתברות ניסויית:

מחושבת מתוצאות ניסוי אמיתי
שכיחות יחסית = $\frac{מספר ההצלחות}{סך ההטלות}$
ככל שעושים יותר ניסויים, מתקרבים להסתברות התיאורטית!

בדיקה מהירה

מה ההבדל בין הסתברות תיאורטית להסתברות ניסויית?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

פעילות קבוצתית: ניסוי מעשי

משימה לעבודה בקבוצות

בחרו ניסוי ובצעו אותו!

אפשרות א׳ - הטלת מטבע:

הטילו מטבע 50 פעמים
רשמו כל תוצאה (ע/פ)
חשבו שכיחות יחסית
השוו ל-50%

אפשרות ב׳ - הטלת קובייה:

הטילו קובייה 60 פעמים
בנו טבלת שכיחות ל-6 המספרים
חשבו שכיחות יחסית לכל מספר
השוו ל-16.7%

דונו: האם התוצאות קרובות להסתברות התיאורטית?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הגיע התור!

דוגמה: אחרי 5 פעמים ״עץ״ ברצף:

❌ ״עכשיו בטוח יצא פלי כי הגיע התור שלו!״ ✅ ״הסיכוי עדיין 50% לכל תוצאה - המטבע לא זוכר״

זו טעות שנקראת ״הטעיית המהמר״ (Gambler's Fallacy).

למה זה קורה?

אחרי רצף של תוצאות דומות, אנשים חושבים שהתוצאה האחרת ״חייבת״ לבוא

איך מתקנים?

כל הטלה היא עצמאית! המטבע לא ״זוכר״ מה יצא קודם.

טעות נפוצה: התוצאות לא בדיוק כמו התיאוריה!

דוגמה: הטלנו מטבע 10 פעמים וקיבלנו 7 עץ (70%)

❌ ״המטבע לא הוגן כי לא יצא 50%!״ ✅ ״בניסוי קטן זה נורמלי. אם נטיל 1000 פעמים, נתקרב ל-50%״

למה זה קורה?

תלמידים מצפים שניסוי של 20 הטלות יתן בדיוק 50% עץ

איך מתקנים?

בניסויים קטנים יש שונות! רק עם הרבה הטלות מתקרבים להסתברות התיאורטית.

חוק המספרים הגדולים

עיקרון חשוב

ככל שעושים יותר ניסויים, השכיחות היחסית מתקרבת להסתברות התיאורטית.

מספר הטלות	עץ (תוצאה אפשרית)
10	40% - 60%
100	45% - 55%
1,000	48% - 52%
10,000	49% - 51%

ככל שמספר ההטלות גדל, התוצאה מתקרבת ל-50%!

סיכום

למדנו היום

ניסוי מקרה - פעולה שתוצאתה תלויה במקרה (מטבע, קובייה, רולטה)
הסתברות תיאורטית - מחושבת לפי חוקים (50% לעץ במטבע)
הסתברות ניסויית - מחושבת מתוצאות אמיתיות (שכיחות יחסית)
עצמאות - כל הטלה עצמאית, אין ״הגיע התור״
חוק המספרים הגדולים - יותר ניסויים = יותר קרוב לתיאוריה

בדיקה אחרונה

בדיקה מהירה

הטלנו מטבע 10 פעמים וקיבלנו עץ 8 פעמים $(80\%)$ . מה המסקנה הנכונה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

כל הכבוד! סיימתם את יחידת ההסתברות והנתונים בכיתה ו׳. עכשיו אתם יודעים לאסוף נתונים, לנתח אותם, לדבר על סיכויים בשפה מדויקת, ולבצע ניסויי מקרה!