הרחבת יחסים ופתרון בעיות

מבוא

שלום!

בשיעורים הקודמים למדנו מהו יחס וכיצד להמיר בין יחס חלק-לחלק ויחס חלק-לשלם. היום נלמד כיצד להרחיב יחסים ולפתור בעיות מילוליות.

מה נלמד היום?

כיצד להרחיב יחס (scaling up)
כיצד לפתור בעיות מתכונים
כיצד לפתור בעיות חלוקה ביחס
כיצד לפתור בעיות יחס הפוך (אופציונלי)

הרחבת יחסים

כדי להרחיב יחס, מכפילים את שני המספרים באותו מספר.

לדוגמה: היחס 2:3 שווה ליחסים 4:6, 6:9, 8:12 וכו'.

כלל זהב

הרחבת יחס: כופלים את שני המספרים באותו מספר.

a : b = (a \times k) : (b \times k)

דוגמה: בעיית מתכון

הרחבת מתכון

שאלה: במתכון היחס בין קמח לסוכר הוא 3:2. אם משתמשים ב-9 כוסות קמח, כמה כוסות סוכר צריך?

שלב 1: הבינו את היחס

במתכון: 3 כוסות קמח ו-2 כוסות סוכר. היחס הוא 3:2.

בדיקה מהירה

בעיות חלוקה ביחס

כשצריך לחלק כמות נתונה ביחס מסוים:

מצאו את סך החלקים ביחס
חשבו כמה שווה כל חלק (סך הכל ÷ סך חלקים)
הכפילו לקבלת כל כמות

חלוקה ביחס

שאלה: חלקו 120 ש"ח בין שני ילדים ביחס 3:5.

שלב 1: מצאו את סך החלקים

יחס 3:5. סה״כ חלקים:

3+5=8

בדיקה מהירה

במפגש כדורגל היחס בין תומכי קבוצה א' לקבוצה ב' הוא 5:3. יש 240 תומכים סה"כ. כמה תומכים יש לקבוצה א'?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

מציאת כמות לא ידועה

כשיודעים את היחס ואחת הכמויות:

מצאו את מקדם ההכפלה (כמות ידועה ÷ חלק ביחס)
הכפילו את החלק השני באותו מקדם

מציאת כמות לא ידועה

שאלה: היחס בין בנים לבנות הוא 2:3. יש 12 בנים. כמה בנות יש?

שלב 1: זהו את היחס והכמות הידועה

יחס בנים:בנות

= 2:3

. יש 12 בנים.

תשובה מספרית

במתכון לעוגיות היחס בין קמח לסוכר הוא 3:2. אם משתמשים ב-9 כוסות קמח, כמה כוסות סוכר צריך?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

בכיתה היחס בין בנים לבנות הוא 2:3. יש 12 בנים. כמה בנות יש בכיתה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תרגול מודרך

תרגיל 1: מתכון

במתכון לשתייה היחס בין מיץ למים הוא 1:4. כדי להכין 20 כוסות שתייה, כמה כוסות מיץ צריך?

תרגיל 2: חלוקה

חלקו 56 ממתקים בין 3 ילדים ביחס 2:3:3. כמה ממתקים יקבל הילד הראשון?

תרגיל 3: כיתה

בכיתה היחס בין בנים לבנות הוא 5:7. יש 21 בנות. כמה תלמידים יש בכיתה?

בדיקה מהירה

במתכון לשתייה היחס בין מיץ למים הוא 1:4. כדי להכין 15 כוסות של שתייה, כמה כוסות מיץ צריך?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

יחס הפוך (אתגר)

לפעמים יש יחס הפוך: ככל שמשהו גדל, האחר קטן.

מתי יש יחס הפוך?

יחס הפוך מופיע כשיותר מדבר אחד מביא פחות מהדבר השני:

יותר עובדים = פחות זמן לעבודה
מהירות גבוהה יותר = פחות זמן לנסיעה
יותר צינורות מילוי = פחות זמן למלא בריכה

דוגמה: 3 עובדים מסיימים עבודה ב-4 ימים. כמה ימים ייקח ל-6 עובדים?

כלל הזהב ליחס הפוך

ביחס הפוך, המכפלה קבועה: $3 \times 4 = 6 \times ?$

זה עובד כי כמות העבודה הכוללת לא משתנה – פשוט מתחלקת בין יותר עובדים.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הכפלת רק מספר אחד

טעות: יחס 3:2. יש 9 מהראשון. השני = 9+2=11.

הדרך הנכונה: 9÷3=3, הכפלנו ב-3. השני: 2×3=6.

למה זה קורה?

שוכחים שצריך להכפיל את שני המספרים ביחס.

איך מתקנים?

תמיד בדקו: הכפלתם את שני המספרים באותו מקדם?

טעות נפוצה: שכחת חיבור החלקים

טעות: יחס 3:5. סה״כ חלקים = 5 (במקום 8).

הדרך הנכונה: סה״כ חלקים = 3+5=8.

למה זה קורה?

בבעיות חלוקה, שוכחים לחבר את כל החלקים.

איך מתקנים?

סה״כ חלקים = סכום כל המספרים ביחס.

סיכום

מה למדנו היום?

הרחבת יחס – כופלים את שני המספרים באותו מקדם
בעיות מתכונים – מוצאים את המקדם ומכפילים
חלוקה ביחס – מחשבים כמה שווה כל חלק
מציאת כמות – מוצאים את המקדם מהכמות הידועה
יחס הפוך – המכפלה קבועה (יותר עובדים = פחות זמן)

כל הכבוד! סיימתם את יחידת היחס! עכשיו אתם יודעים להגדיר יחסים, לצמצם אותם, להמיר בין סוגים שונים ולפתור בעיות מגוונות.