שטח מלבן

למה זה חשוב?

שטח הוא אחד המושגים החשובים ביותר במתמטיקה וב חיים:

• צביעה: כמה צבע צריך לצבוע קיר?
• ריצוף: כמה אריחים נדרשים לרצפה?
• חקלאות: כמה זרעים נזרעים בשדה?
• נדל״ן: מה גודל הדירה? (מ״ר - מטר רבוע)

מבוא

שלום חברים!

אתמול למדנו על היקף - הסיבוב סביב המלבן. היום נלמד משהו שונה לגמרי: שטח - מה בתוך המלבן!

---

מהו שטח?

הסבר קונספטואלי

דמיינו שאנחנו מכסים את המלבן בריבועי יחידה (למשל ס״מ×ס״מ).

• בשורה אחת יש a ריבועים
• יש b שורות כאלה
• סה״כ: a × b ריבועים

זו המשמעות של "שטח" - כמה ריבועי יחידה מכסים את הצורה!

---

דוגמה מפורטת 1: חישוב שטח בסיסי

שאלה: מלבן שצלעותיו 8 ס״מ ו-6 ס״מ. מה השטח?

פתרון:

שלב 1: נזהה את הנתונים

• אורך: a = 8 ס״מ
• רוחב: b = 6 ס״מ

שלב 2: נשתמש בנוסחה A = a × b

שלב 3: נציב ונחשב A = 8 × 6 = 48 ס״מ²

תשובה: השטח הוא 48 ס״מ².

הסבר קונספטואלי: אם נמלא את המלבן בריבועים של 1 ס״מ×1 ס״מ:

• בכל שורה: 8 ריבועים
• מספר שורות: 6
• סה״כ: 8 × 6 = 48 ריבועים קטנים

---

דוגמה מפורטת 2: המרת יחידות שטח

שאלה: מלבן שצלעותיו 200 ס״מ ו-150 ס״מ. מה השטח במ״ר?

פתרון:

דרך 1: המרה לפני חישוב (מומלץ)

שלב 1: המירו למטרים

• 200 ס״מ = 2 מ'
• 150 ס״מ = 1.5 מ'

שלב 2: חישוב שטח A = 2 × 1.5 = 3 מ״ר

דרך 2: המרה אחרי חישוב

שלב 1: חישוב בס״מ² A = 200 × 150 = 30,000 ס״מ²

שלב 2: המרה למ״ר 30,000 ס״מ² ÷ 10,000 = 3 מ״ר

תשובה: השטח הוא 3 מ״ר.

---

איך שטח משתנה כשמשנים צלעות?

זה אחד הנושאים החשובים ביותר!

דוגמאות:

מלבן מקורי: 5 ס״מ × 4 ס״מ, שטח = 20 ס״מ²

1. הכפלת צלע אחת פי 2:

   • מלבן חדש: 10 ס״מ × 4 ס״מ
   • שטח חדש: 40 ס״מ²
   • השטח הוכפל ב-2 ✓

2. הכפלת שתי צלעות פי 2:

   • מלבן חדש: 10 ס״מ × 8 ס״מ
   • שטח חדש: 80 ס״מ²
   • השטח הוכפל ב-4 (=2²) ✓

3. הכפלת שתי צלעות פי 3:

   • מלבן חדש: 15 ס״מ × 12 ס״מ
   • שטח חדש: 180 ס״מ²
   • השטח הוכפל ב-9 (=3²) ✓

---

דוגמה מפורטת 3: בעיה משולבת (היקף + שטח)

שאלה: מלבן שהיקפו 28 מ' ושטחו 48 מ״ר. מהן צלעותיו?

פתרון:

שלב 1: נרשום משוואות

• היקף: 2(a + b) = 28 → a + b = 14
• שטח: a × b = 48

שלב 2: נפתור מהמשוואה הראשונה: b = 14 - a

נציב בשנייה: a × (14 - a) = 48 14a - a² = 48 a² - 14a + 48 = 0

שלב 3: נמצא זוגות שמכפלתם 48 וסכומם 14 נחפש שני מספרים שמכפלתם 48 וסכומם 14:

• 6 × 8 = 48 ✓
• 6 + 8 = 14 ✓

תשובה: הצלעות הן 6 מ' ו-8 מ'.

בדיקה:

• היקף: 2(6 + 8) = 28 ✓
• שטח: 6 × 8 = 48 ✓

---

צורות מורכבות

לפעמים צריך לחשב שטח של צורה שמורכבת ממספר מלבנים.

אסטרטגיות:

1. פירוק: לחלק לכמה מלבנים, לחשב כל אחד, ולחבר
2. השלמה: להשלים למלבן גדול ולהפחית את החלק החסר

דוגמה: צורה בצורת ⌐ (פינה)

┌────────┐ │ │ 5 ס״מ │ ┌─────┘ │ │ 3 ס״מ └──┘ 8 ס״מ

דרך 1 (פירוק):

• מלבן עליון: 8 × 5 = 40 ס״מ²
• מלבן תחתון: 3 × 3 = 9 ס״מ²
• סה״כ: 40 + 9 = 49 ס״מ²

דרך 2 (השלמה):

• מלבן שלם: 8 × 8 = 64 ס״מ²
• חסר: 5 × 3 = 15 ס״מ²
• סה״כ: 64 - 15 = 49 ס״מ²

---

תרגול מודרך

נסו לפתור:

1. מלבן 12 ס״מ × 7 ס״מ. מה השטח?

2. מלבן בשטח 72 מ״ר, אורך 9 מ'. מה הרוחב?

3. אם מכפילים את שתי צלעות מלבן ב-4, במה מוכפל השטח?

---

טעויות נפוצות

טעויות נוספות נפוצות:

❌ טעות 2: המרת שטח כמו המרת אורך

• לא נכון: 1 מ״ר = 100 ס״מ²
• נכון: 1 מ״ר = 10,000 ס״מ² (100×100!)
• זכרו: שטח זה יחידה רבועית - מכפילים את ההמרה בעצמה!

❌ טעות 3: שוכחים יחידות רבועיות אם כתבתם "שטח = 20 ס״מ" (בלי ²) - זו טעות! שטח חייב להיות ביחידות רבועיות: 20 ס״מ²

❌ טעות 4: לא ממירים יחידות לפני חישוב אם צלע אחת במטרים והשנייה בס״מ, חובה להמיר לפני הכפל! דוגמה שגויה: 3 מ' × 50 ס״מ ≠ 150!

❌ טעות 5: חושבים שהכפלת צלעות ב-2 מכפילה שטח ב-2

• הכפלת צלע אחת ב-2 → שטח ×2
• הכפלת שתי צלעות ב-2 → שטח ×4 (לא ×2!)
• הכלל: הכפלה ב-k של שתי צלעות → שטח ×k²

❌ טעות 6: בצורות מורכבות - סופרים אזורים פעמיים בפירוק לכמה מלבנים, שימו לב שלא יהיו חפיפות! כל נקודה צריכה להישפט רק פעם אחת.

---

בעיות מילוליות

דוגמה 1: צביעת קיר קיר באורך 4 מ' וגובה 2.5 מ'. ליטר צבע מספיק ל-5 מ״ר. כמה ליטרים צריך?

פתרון:

• שטח: 4 × 2.5 = 10 מ״ר
• צבע: 10 ÷ 5 = 2 ליטרים

דוגמה 2: ריצוף רצפה מלבנית 6 מ' × 5 מ'. אריח 50 ס״מ × 50 ס״מ. כמה אריחים?

פתרון:

• שטח רצפה: 6 × 5 = 30 מ״ר = 300,000 ס״מ²
• שטח אריח: 50 × 50 = 2,500 ס״מ²
• מספר אריחים: 300,000 ÷ 2,500 = 120

או בדרך חכמה:

• 50 ס״מ = 0.5 מ'
• שטח אריח: 0.5 × 0.5 = 0.25 מ״ר
• מספר: 30 ÷ 0.25 = 120 אריחים

---

בדיקה מהירה

הגיע הזמן לבדוק את עצמכם! ענו על השאלות הבאות:

סיכום

היום למדנו על שטח מלבן!

✅ הגדרה: שטח = כמות המקום שהצורה תופסת

✅ נוסחה: A = a × b

✅ יחידות: תמיד יחידות רבועיות (ס״מ², מ״²)

✅ המרות:

• 1 מ״ר = 10,000 ס״מ² (לא 100!)
• 1 ס״מ² = 100 מ״מ²

✅ שינויי קנה מידה:

• הכפלת צלע אחת ב-k → שטח ×k
• הכפלת שתי צלעות ב-k → שטח ×k²

✅ הבדל מהיקף:

• היקף = סביב (חיבור, יחידות אורך)
• שטח = בתוך (כפל, יחידות רבועיות)

✅ שימושים: צביעה, ריצוף, חקלאות, נדל״ן