שטח פנים של תיבה

למה זה חשוב?

שטח פנים של תיבה הוא חישוב שאנחנו משתמשים בו כל הזמן בחיים:

• אריזות: כמה נייר עטיפה צריך למתנה? כמה קרטון צריך לקופסה?
• צביעה: כמה צבע צריך לצבוע קופסה, ארון או חדר?
• משלוחים: חישוב עלות אריזה לפי שטח החומר
• בנייה: כמה חומר צריך לחפות קירות וגג

הבנת שטח פנים עוזרת לנו לתכנן נכון ולחסוך בחומרים!

מבוא

שלום חברים!

למדנו על תיבה ועל ה-6 פאות שלה. גם למדנו על פריסה - איך התיבה "נפרשת" למישור.

היום נלמד שאלה חשובה: כמה שטח תופסים כל הפאות ביחד?

---

מהו שטח פנים?

למה 2 מכל סוג פאה?

זכרו: יש 3 זוגות של פאות נגדיות:

• 2 פאות a × b (עליונה + תחתונה)
• 2 פאות a × h (קדמית + אחורית)
• 2 פאות b × h (ימנית + שמאלית)

לכן מכפילים כל שטח פאה ב-2!

---

דוגמה מפורטת 1: חישוב שטח פנים בסיסי

שאלה: תיבה בממדים 8 × 5 × 3 ס״מ. חשבו את שטח הפנים שלה.

פתרון:

שלב 1: נזהה את הממדים

• a = 8 ס״מ (אורך)
• b = 5 ס״מ (רוחב)
• h = 3 ס״מ (גובה)

שלב 2: נחשב שטח כל סוג פאה

זוג 1 - עליונה ותחתונה:

• שטח פאה אחת: 8 × 5 = 40 ס״מ²
• 2 פאות כאלה: 2 × 40 = 80 ס״מ²

זוג 2 - קדמית ואחורית:

• שטח פאה אחת: 8 × 3 = 24 ס״מ²
• 2 פאות כאלה: 2 × 24 = 48 ס״מ²

זוג 3 - ימנית ושמאלית:

• שטח פאה אחת: 5 × 3 = 15 ס״מ²
• 2 פאות כאלה: 2 × 15 = 30 ס״מ²

שלב 3: נחבר הכל

שלב 4: בדיקה בנוסחה

תשובה: שטח הפנים הוא 158 ס״מ².

---

שטח פנים באמצעות פריסה

דרך נוספת לחשב שטח פנים: דמיינו את הפריסה של התיבה!

כשמפרישים תיבה למישור, רואים בבירור את כל 6 הפאות.

---

דוגמה מפורטת 2: שטח פנים עם פריסה

שאלה: תיבה 10 × 4 × 6 ס״מ. חשבו את שטח הפנים באמצעות פריסה.

פתרון:

שלב 1: נזהה את הפאות בפריסה

דמיינו פריסה בצורת צלב:

• מרכז: פאה 10 × 6 (קדמית)
• למעלה: פאה 10 × 4 (עליונה)
• למטה: פאה 10 × 4 (תחתונה)
• ימין: פאה 4 × 6 (ימנית)
• שמאל: פאה 4 × 6 (שמאלית)
• מחוברת מאחור: פאה 10 × 6 (אחורית)

שלב 2: נחשב שטח כל פאה

• פאה 10 × 6: שטח 60 ס״מ² (יש 2 כאלה → 120 ס״מ²)
• פאה 10 × 4: שטח 40 ס״מ² (יש 2 כאלה → 80 ס״מ²)
• פאה 4 × 6: שטח 24 ס״מ² (יש 2 כאלה → 48 ס״מ²)

שלב 3: נחבר

תשובה: שטח הפנים הוא 248 ס״מ².

---

המרות יחידות

המרת ס״מ² למ״ר

דוגמה: 50,000 ס״מ² = 5 מ״ר

המרת מ״ר לס״מ²

דוגמה: 3 מ״ר = 30,000 ס״מ²

---

דוגמה מפורטת 3: המרת יחידות וחישוב

שאלה: תיבה בממדים $2\text{ מ}\times 150\text{ ס״מ}\times 80\text{ ס״מ}$. חשבו את שטח הפנים במ״ר.

פתרון:

שלב 1: נמיר הכל לאותן יחידות (ס״מ)

• $a=2\text{ מ}=200\text{ ס״מ}$
• $b=150\text{ ס״מ}$
• $h=80\text{ ס״מ}$

שלב 2: נחשב שטח פנים בס״מ²

שלב 3: נמיר למ״ר

תשובה: שטח הפנים הוא 11.6 מ״ר.

---

בעיות הפוכות: מציאת ממד חסר

לפעמים אנחנו יודעים את שטח הפנים ורוצים למצוא ממד חסר.

זה קורה כשאנחנו יודעים כמה חומר יש לנו (נייר, קרטון, צבע) ורוצים לדעת מה הגודל של התיבה!

---

דוגמה מפורטת 4: מציאת ממד חסר

שאלה: תיבה עם בסיס ריבועי a × a וגובה h = 5 ס״מ. שטח הפנים שלה הוא 214 ס״מ². מצאו את a.

פתרון:

שלב 1: נכתוב את נוסחת שטח הפנים תיבה עם בסיס ריבועי: a × a × h

הפאות:

• 2 פאות a × a (עליונה ותחתונה)
• 4 פאות a × h (כל הצדדים)

שלב 2: נציב את הנתונים

שלב 3: נפתור את המשוואה

ננסה ערכים או נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית.

ננסה a = 7:

(לא מדויק)

ננסה a = 6.5:

(קרוב מאוד!)

בדיקה עם a = 7:

(קצת יותר מדי)

ננסה a = 6:

(קצת פחות)

הפתרון המדויק: a ≈ 6.36 ס״מ (בערך)

אבל אם זו בעיה פרקטית, אפשר לומר a ≈ 6.4 ס״מ.

תשובה: צלע הבסיס היא בערך 6.4 ס״מ.

---

שימושים מעשיים

עטיפת מתנה

"כמה נייר עטיפה צריך לקופסה 30 × 20 × 10 ס״מ?"

פתרון: חשבו שטח פנים ותוסיפו 10-20% לחפיפות!

צביעת ארון

"ארון בממדים $1\text{ מ}\times 0.5\text{ מ}\times 2\text{ מ}$. כמה מ״ר צריך לצבוע?"

פתרון: חשבו שטח פנים (לפעמים בלי הפאה האחורית אם צמודה לקיר).

אריזת משלוחים

"חברת משלוחים גובה לפי שטח הקרטון. כמה תשלמו על קופסה 50 × 40 × 30 ס״מ?"

פתרון: שטח פנים × מחיר לס״מ².

---

טעויות נפוצות

---

בדיקה מהירה

בדקו את עצמכם!

שאלה 1: מהי נוסחת שטח הפנים של תיבה a × b × h?

תשובה

SA = 2(ab + ah + bh) או SA = 2ab + 2ah + 2bh

שאלה 2: תיבה 6 × 4 × 2 ס״מ. מה שטח הפנים?

תשובה

SA = 2(24 + 12 + 8) = 2 × 44 = 88 ס״מ²

שאלה 3: כמה ס״מ² יש ב-2 מ״ר?

תשובה

2 × 10,000 = 20,000 ס״מ²

שאלה 4: למה מכפילים כל פאה ב-2 בנוסחה?

תשובה

כי לכל פאה יש פאה נגדית שווה לה → 3 סוגי פאות × 2 = 6 פאות סה״כ.

שאלה 5: תיבה עם שטח פנים 150 ס״מ² וממדים 10 × 5 × h. מצאו את h.

תשובה

$150=2(50+10h+5h)\to 150=100+30h\to h=\frac{50}{30}\approx 1.67$ ס״מ

שאלה 6: איזו יחידה נכונה לשטח פנים?

תשובה

יחידות רבועיות: ס״מ², מ״ר, קמ״ר וכו' (לא ס״מ או מ!)

---

בדיקה מהירה

הגיע הזמן לבדוק את עצמכם! ענו על השאלות הבאות:

סיכום

בשיעור הבא נלמד על נפח - כמה מקום יש בתוך התיבה!