זווית חיצונית למשולש

למה זה חשוב?

פניות, מסלולים וגגות

כשמסלול ריצה משנה כיוון, כשקורת גג יוצאת מעבר לפינה, או כשכביש פונה בצומת, אנחנו בעצם מסתכלים על זווית חיצונית. המשפט על הזווית החיצונית עוזר לנו לחשב במהירות פניות וזוויות חסרות בלי למדוד את כל המשולש מחדש.

מה נלמד היום?

מטרות השיעור

לזהות מהי זווית חיצונית במשולש.
להשתמש במשפט: הזווית החיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות המרוחקות.
לשלב בין המשפט לבין העובדה שזוויות צמודות יוצרות יחד $18 0^{\circ}$ .
לפתור בעיות של מציאת זוויות חסרות.

הכלל המרכזי

משפט הזווית החיצונית

אם מאריכים צלע של משולש, מתקבלת זווית חיצונית. הזווית הזאת שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות אליה.

∠_חיצונית = ∠_{1} + ∠_{2}

בנוסף, הזווית החיצונית והזווית הפנימית הצמודה אליה יוצרות קו ישר, ולכן:

∠_חיצונית + ∠_צמודה = 18 0^{\circ}

דוגמה 1: מחשבים זווית חיצונית

זווית חיצונית מסכום שתי זוויות מרוחקות

במשולש נתונות שתי זוויות פנימיות מרוחקות בגודל $4 8^{\circ}$ ו- $6 7^{\circ}$ . מה גודל הזווית החיצונית?

מזהים את הזוויות המתאימות

הזוויות הפנימיות המרוחקות הן

4 8^{\circ}

ו-

6 7^{\circ}

דוגמה 2: מוצאים זווית פנימית חסרה

כשהזווית החיצונית כבר ידועה

במשולש זווית חיצונית שווה ל- $12 8^{\circ}$ , ואחת הזוויות הפנימיות המרוחקות שווה ל- $5 3^{\circ}$ . מצאו את הזווית הפנימית המרוחקת השנייה.

כותבים את הקשר

אם הזווית החיצונית היא

12 8^{\circ}

ואחת הזוויות המרוחקות היא

5 3^{\circ}

, אז מתקיים

12 8^{\circ} = 5 3^{\circ} + x

שילוב עם זוויות צמודות

שני כלים באותה שאלה

לפעמים נוח יותר לחשב קודם את הזווית החיצונית בעזרת $18 0^{\circ}$ , ולפעמים נוח יותר להשתמש מיד בסכום שתי הזוויות המרוחקות. בחרו את הדרך שנותנת את המידע החסר מהר יותר.

דוגמה 3: משתמשים בקו ישר

זווית חיצונית מול זווית פנימית צמודה

במשולש נתונה זווית פנימית בגודל $6 2^{\circ}$ הצמודה לזווית החיצונית. מה גודל הזווית החיצונית?

מזהים זוג זוויות צמודות

אם הזווית הפנימית הצמודה היא

6 2^{\circ}

, אז היא והזווית החיצונית יוצרות יחד

18 0^{\circ}

בדיקה מהירה

במשולש שתי הזוויות הפנימיות המרוחקות הן $48^{\circ}$ ו- $67^{\circ}$ . מה גודל הזווית החיצונית?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

במשולש זווית פנימית צמודה לזווית החיצונית שווה ל- $62^{\circ}$ . מה גודל הזווית החיצונית?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: מחברים את הזווית הלא נכונה

הזווית הצמודה לזווית החיצונית אינה אחת משתי הזוויות שמחברים במשפט. היא שייכת לכלל אחר: זוויות צמודות משלימות ל- $18 0^{\circ}$ .

למה זה קורה?

לפעמים רואים את הזווית הפנימית הצמודה לזווית החיצונית וחושבים שצריך לחבר אותה עם זווית פנימית נוספת.

איך מתקנים?

במשפט הזווית החיצונית מחברים רק את **שתי הזוויות הפנימיות המרוחקות**. אם משתמשים בזווית הצמודה, עובדים עם הקשר של קו ישר:

18 0^{\circ}

דוגמה 4: שאלה רב-שלבית

משוואה קצרה עם זוויות

במשולש שתי הזוויות הפנימיות המרוחקות הן x + 12 ו-2x - 4, והזווית החיצונית היא $8 3^{\circ}$ . מצאו את x.

כותבים את המשפט

אם שתי הזוויות המרוחקות הן x + 12 ו-2x - 4, והזווית החיצונית היא

8 3^{\circ}

, אז (x + 12) + (2x - 4) = 83.

תשובה מספרית

זווית חיצונית במשולש שווה ל- $128^{\circ}$ , ואחת הזוויות הפנימיות המרוחקות שווה ל- $53^{\circ}$ . מה גודל הזווית הפנימית המרוחקת השנייה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

שתי הזוויות הפנימיות המרוחקות במשולש הן $x + 12$ ו- $2x - 4$ , והזווית החיצונית שווה ל- $83^{\circ}$ . מה ערכו של x?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה לזכור

זווית חיצונית מתקבלת כאשר מאריכים צלע של משולש.
הזווית החיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות המרוחקות.
הזווית החיצונית והזווית הפנימית הצמודה משלימות ל- $18 0^{\circ}$ .
כשיש כמה דרכי פתרון, בוחרים את הקשר שמוביל הכי מהר לנתון החסר.