דמיון מצולעים

למה זה חשוב?

דמיון מצולעים בעולם האמיתי

דמיון מצולעים מרחיב את הכלים שלמדנו במשולשים לצורות מורכבות יותר:

בעיצוב ארכיטקטוני:

חלונות בגדלים שונים עם אותה צורה
דגמים מוקטנים של בניינים ומבנים
שימור פרופורציות בעיצוב

במלבנים ותמונות:

שמירה על יחס גובה-רוחב (Aspect Ratio)
הגדלה/הקטנה של תמונות מבלי לעוות
מסכי טלוויזיה ומחשב (16:9, 4:3)

בקנה מידה ומדידות:

מפות ותכניות (כל מרובע במציאות → מרובע דומה במפה)
דגמים של מכוניות, בניינים, ערים
אומנות ועיצוב גרפי

בטבע:

תבניות חוזרות בגדלים שונים (פרקטלים)
כוורות דבורים
גבישים ומבנים מולקולריים

הבנת דמיון מצולעים מאפשרת לנו לעבוד עם כל צורה, לא רק משולשים!

מה נלמד היום?

מטרות השיעור

להרחיב את הגדרת הדמיון ממשולשים לכל מצולע
להבין את התנאים לדמיון מצולעים (זוויות + צלעות)
לזהות מצולעים דומים לפי תכונותיהם
לחשב יחס דמיון ומידות במצולעים דומים
לעבוד עם מלבנים, ריבועים, מקבילים ומרובעים דומים
ליישם דמיון בבעיות מעשיות
להבין למה לא כל המצולעים דומים (בניגוד למשולשים)

הגדרה: דמיון מצולעים

הגדרה פורמלית: מצולעים דומים

שני מצולעים הם דומים אם מתקיימים שני תנאים יחד:

תנאי 1: שוויון זוויות מתאימות

כל הזוויות המתאימות שוות:

הזווית הראשונה במצולע הראשון שווה לזווית הראשונה במצולע השני
הזווית השנייה שווה לזווית השנייה
וכן הלאה לכל הזוויות

תנאי 2: פרופורציונליות צלעות מתאימות

היחסים בין כל הצלעות המתאימות שווים (קבוע):

\frac{צלע 1 במצולע A}{צלע 1 במצולע B} = \frac{צלע 2 במצולע A}{צלע 2 במצולע B} = \dots = k

המספר k הוא יחס הדמיון.

סימון

כאשר מצולע ABCD דומה למצולע EFGH, כותבים:

ABCD \sim EFGH

חשוב: סדר הקודקודים בסימון חייב להתאים (כמו במשולשים)!

טעות נפוצה: בניגוד למשולשים - זוויות לבד לא מספיקות!

דוגמה נגדית חשובה:

שני מלבנים:

מלבן 1: $2 \times 3$ (רוחב 2, גובה 3)
מלבן 2: $3 \times 5$ (רוחב 3, גובה 5)

כל הזוויות שוות: 90°, 90°, 90°, 90° ✓

אבל היחסים שונים:

יחס ראשון: 2/3
יחס שני: 3/5 ≠ 2/3 ❌

לכן המלבנים לא דומים למרות שכל הזוויות שוות!

זה שונה ממשולשים: בשני משולשים, זוויות שוות מבטיחות דמיון (משפט ז.ז.ז). במצולעים, זה לא נכון!

למה זה קורה?

תלמידים מניחים שכמו במשולשים, זוויות שוות מבטיחות דמיון

איך מתקנים?

במצולעים עם יותר מ-3 צלעות, זוויות שוות לא מבטיחות דמיון. צריך גם לבדוק שהצלעות פרופורציונליות!

הרחבה ממשולשים למצולעים

מה משתנה כשעוברים למצולעים?

במשולשים (3 קודקודים):

✅ זוויות שוות → דמיון (משפט ז.ז.ז) ✅ צלעות פרופורציונליות → דמיון (משפט צ.צ.צ) ✅ 3 משפטי דמיון (ז.ז.ז, צ.צ.צ, ז.צ.ז)

במצולעים (4+ קודקודים):

❌ זוויות שוות לא מבטיחות דמיון! ✅ צריך גם זוויות שוות וגם צלעות פרופורציונליות ⚠️ אין משפטי קיצור - חייבים לבדוק הכל

למה ההבדל? במשולש יש 3 זוויות. אם שתיים שוות, השלישית נקבעת (סכום = 180°). לכן זוויות שוות מכריחות את הצורה להיות מסוימת.

במרובע יש 4 זוויות. גם אם כולן שוות (למשל כולן 90°), אפשר מלבנים שונים! הצורה לא נקבעת רק מהזוויות.

תנאים לדמיון מצולעים

תנאי הכרחי ומספיק לדמיון מצולעים

שני מצולעים דומים אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים ביחד:

כל הזוויות המתאימות שוות
כל הצלעות המתאימות פרופורציונליות (יחס קבוע)

אם אחד מהתנאים לא מתקיים, המצולעים לא דומים.

דוגמה מפורטת: בדיקת דמיון מרובעים

האם שני מרובעים דומים?

בדוק אם מרובע ABCD דומה למרובע EFGH. ABCD: זוויות 80°, 100°, 90°, 90°; צלעות 4, 6, 8, 6. EFGH: זוויות 80°, 100°, 90°, 90°; צלעות 6, 9, 12, 9.

שלב 1: נתונים

מרובע

ABCD: \angle A = 80^{\circ}, \angle B = 100^{\circ}, \angle C = 90^{\circ}, \angle D = 90^{\circ}

צלעות:

AB = 4, BC = 6, CD = 8, DA = 6

מרובע

EFGH: \angle E = 80^{\circ}, \angle F = 100^{\circ}, \angle G = 90^{\circ}, \angle H = 90^{\circ}

צלעות:

EF = 6, FG = 9, GH = 12, HE = 9

נכון או לא נכון

אם בשני מרובעים כל הזוויות שוות, המרובעים בהכרח דומים.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

מקרים מיוחדים: מלבנים, ריבועים, מקבילים

מלבנים

דמיון מלבנים

תנאי לדמיון מלבנים: שני מלבנים דומים אם ורק אם יחס גובה:רוחב זהה בשניהם.

למה?

כל המלבנים בעלי 4 זוויות של 90° (זוויות תמיד שוות ✓)
נשאר רק לבדוק פרופורציונליות צלעות
מספיק לבדוק יחס גובה/רוחב

דוגמה:

מלבן 1: $4 \times 6$ (רוחב 4, גובה 6)
מלבן 2: $6 \times 9$ (רוחב 6, גובה 9)

יחס: 4/6 = 2/3 ו-6/9 = 2/3 ✓ → דומים!

טעות נפוצה: לא כל המלבנים דומים!

דוגמאות:

מסך 16:9 (רחב) לא דומה למסך 4:3 (יותר מרובע)
דף A4 (ארוך) לא דומה לכרטיס ביקור (רחב)

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שמכיוון שכל המלבנים בעלי 4 זוויות של

90^{\circ}

, כולם דומים

איך מתקנים?

זוויות שוות לא מספיקות! צריך גם יחס גובה:רוחב זהה. מלבן רחב ונמוך לא דומה למלבן צר וגבוה

ריבועים

כל הריבועים דומים!

משפט חשוב: כל שני ריבועים בעולם תמיד דומים זה לזה.

הסבר:

כל הזוויות תמיד 90° ✓
כל הצלעות שוות בכל ריבוע
לכן היחסים: $\frac{a}{b} = \frac{a}{b} = \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ ✓

מסקנה: ריבוע בגודל 2×2 דומה לריבוע 5×5, דומה לריבוע 100×100. כולם בעלי אותה צורה!

נכון או לא נכון

כל שני ריבועים דומים זה לזה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

מקבילים

מקבילים - מורכב יותר

דמיון מקבילים: שני מקבילים דומים אם:

הזוויות המתאימות שוות
היחסים בין הצלעות המתאימות שווים

לא כל המקבילים דומים!

זוויות יכולות להיות שונות
יחסי צלעות יכולים להיות שונים
צריך לבדוק את שני התנאים

דוגמה: מקבילית עם זוויות 60°, 120° לא דומה למקבילית עם זוויות 70°, 110°.

מציאת מידות במצולעים דומים

אסטרטגיה למציאת מידות

כאשר שני מצולעים דומים:

מצא את יחס הדמיון k מזוג צלעות ידוע
השתמש באותו יחס לכל הצלעות האחרות
בדוק שהתוצאה הגיונית

נוסחה:

צלע במצולע 1 = k \times צלע מתאימה במצולע 2

דוגמה מפורטת: מציאת צלעות במרובע דומה

מציאת צלעות חסרות במרובע דומה

מרובע ABCD דומה למרובע PQRS. ABCD: AB = 6, BC = 9, CD = 12, DA = ? PQRS: PQ = 4, QR = 6, RS = 8, SP = 6 מצא את DA.

שלב 1: נתונים

מרובע ABCD ∼ מרובע PQRS

ABCD: AB = 6, BC = 9, CD = 12, DA = ?

PQRS: PQ = 4, QR = 6, RS = 8, SP = 6

תשובה מספרית

מרובע ABCD ∼ מרובע $PQRS. AB = 6, BC = 9, PQ = 4, QR = 6$ . מצא את יחס הדמיון (הזן כמספר עשרוני).

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

יישומים מעשיים

יישום 1: יחס גובה-רוחב בתמונות

שמירת פרופורציות בהגדלת תמונות

כאשר מגדילים או מקטינים תמונה, חשוב לשמור על יחס גובה-רוחב (Aspect Ratio) כדי שהתמונה לא תעוות.

עיקרון: התמונה המקורית והמוגדלת הן מלבנים דומים.

הגדלת תמונה מבלי לעוות

תמונה מקורית: 800×600 פיקסלים. הרוחב הוגדל ל-1200 פיקסלים. מה צריך להיות הגובה כדי שהתמונה לא תעוות?

שלב 1: תמונה מקורית

תמונה במידות: רוחב 800 פיקסלים, גובה 600 פיקסלים יחס:

800:600 = 4:3

תשובה מספרית

תמונה מקורית: רוחב 400 פיקסלים, גובה 300 פיקסלים. הרוחב הוגדל ל-800 פיקסלים. מה צריך להיות הגובה כדי לשמור על הפרופורציות?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

יישום 2: קנה מידה במפות ותכניות

חישוב מידות במפה

מפה בקנה מידה 1:10,000. מגרש מלבני במפה: 3 ס״מ × 5 ס״מ. מה מידות המגרש במציאות?

שלב 1: קנה מידה

מפה בקנה מידה 1:10,000 משמעות: 1 ס״מ במפה

= 10{,}000

ס״מ במציאות

= 100

מטר

תשובה מספרית

במפה בקנה מידה 1:5000, מלבן מופיע במידות 4 ס״מ $\times 6$ ס״מ. מהו השטח במציאות? (במ״ר)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הנחה שזוויות שוות מבטיחות דמיון

זכרו:

משולשים: זוויות שוות → דמיון ✓
מצולעים: זוויות שוות לא מבטיחות דמיון ❌

צריך גם זוויות שוות וגם צלעות פרופורציונליות!

למה זה קורה?

תלמידים מיישמים את משפט ז.ז.ז ממשולשים למצולעים

איך מתקנים?

במצולעים

(4+

צלעות), זוויות שוות לא מספיקות. חייבים גם לבדוק שהצלעות פרופורציונליות

טעות נפוצה: בלבול בין יחס צלעות ליחס שטחים

דוגמה: אם k = 2 (יחס צלעות), אז:

יחס הצלעות: 2:1
יחס ההיקפים: 2:1
יחס השטחים: 4:1 (לא 2:1!)

כלל:

יחס צלעות = k
יחס היקפים = k
יחס שטחים = $k^{2}$

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שיחס הדמיון חל גם על שטחים

איך מתקנים?

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון, לא יחס הדמיון עצמו

טעות נפוצה: שכחה לבדוק את כל הצלעות

דוגמה לטעות: מרובע עם צלעות 2, 4, 6, 8 ומרובע עם צלעות 4, 8, 12, 14.

יחס ראשון: 2/4 = 1/2 ✓ יחס שני: 4/8 = 1/2 ✓ יחס שלישי: 6/12 = 1/2 ✓ יחס רביעי: 8/14 ≠ 1/2 ❌

לא כל היחסים שווים → לא דומים!

למה זה קורה?

תלמידים בודקים רק חלק מהצלעות

איך מתקנים?

במצולעים דומים, כל הצלעות חייבות להיות פרופורציונליות. תמיד בדקו את כולן

בדיקה מהירה

מלבן $A: 4 \times 6$ . מלבן $B: 6 \times 9$ . מלבן $C: 8 \times 10$ . איזה מלבן דומה ל-A?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

השוואה: משולשים לעומת מצולעים

סיכום ההבדלים

תכונה	משולשים	מצולעים (4+ צלעות)
זוויות שוות	מבטיחות דמיון ✅	לא מבטיחות דמיון ❌
צלעות פרופורציונליות	מבטיחות דמיון ✅	לא מספיקות לבד ❌
תנאי לדמיון	זוויות או צלעות	זוויות וגם צלעות
משפטי קיצור	יש (ז.ז.ז, צ.צ.צ, ז.צ.ז)	אין
בדיקה	מספיק לבדוק חלק	חייבים לבדוק הכל

למה ההבדל? משולש נקבע על ידי 3 זוויות (השלישית אוטומטית). מצולע לא נקבע רק על ידי הזוויות - יכולות להיות צורות שונות עם אותן זוויות.

אסטרטגיות פתרון

מדריך לפתרון בעיות דמיון מצולעים

שלב 1: זיהוי סוג הבעיה

האם צריך להוכיח דמיון?
האם צריך למצוא מידה חסרה?
האם זו בעיה מעשית?

שלב 2: בדיקת תנאי דמיון

להוכחת דמיון:

בדוק את כל הזוויות המתאימות (חייבות להיות שוות)
בדוק את כל יחסי הצלעות (חייבים להיות שווים)
רק אם שני התנאים מתקיימים - המצולעים דומים

שלב 3: מציאת מידות

אם המצולעים דומים:

חשב k מזוג צלעות ידוע
השתמש ב-k למציאת צלעות אחרות
בדוק שהתוצאה הגיונית

שלב 4: מקרים מיוחדים

ריבועים: תמיד דומים
מלבנים: בדוק יחס גובה:רוחב
מקבילים: בדוק זוויות וצלעות

שלב 5: בדיקה

האם כל היחסים שווים?
האם כל הזוויות שוות?
האם התשובה הגיונית?

בדיקה מהירה

מה נדרש כדי להוכיח דמיון בין שני מרובעים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום השיעור

מה למדנו?

מושגי יסוד

דמיון מצולעים: זוויות שוות וגם צלעות פרופורציונליות
יחס דמיון: היחס הקבוע בין כל הצלעות המתאימות
הבדל ממשולשים: זוויות לבד לא מספיקות!

תנאי דמיון

כל הזוויות המתאימות שוות (הכרחי)
כל הצלעות פרופורציונליות (הכרחי) שני התנאים ביחד נדרשים!

מקרים מיוחדים

ריבועים: כולם דומים
מלבנים: דומים אם יחס גובה:רוחב זהה
מקבילים: צריך לבדוק זוויות וצלעות

יישומים

שמירת יחס תמונות
קנה מידה במפות
דגמים ותכניות
עיצוב ארכיטקטוני

נקודות לזכירה

✅ תמיד בדקו שני התנאים (זוויות + צלעות)
✅ בדקו את כל הצלעות (לא רק חלק)
✅ יחס שטחים = $k^{2}$ (לא k!)
✅ ריבועים תמיד דומים, מלבנים לא בהכרח

נכון או לא נכון

אם שני מרובעים דומים עם יחס דמיון $k = 3$ , אז יחס השטחים הוא 3.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

הכנה לשיעור הבא

מה הלאה?

השלמנו את נושא הדמיון! עכשיו אנחנו מכירים:

דמיון משולשים (משפט ז.ז.ז, צ.צ.צ, ז.צ.ז)
דמיון מצולעים (זוויות + צלעות פרופורציונליות)

בשיעורים הבאים:

שימוש בדמיון לפתרון בעיות גאומטריות מורכבות
קשר בין דמיון למשפט תאלס
דמיון במעגלים ובצורות מעוקלות

שאלה לחשיבה: האם כל שני עיגולים דומים? למה? (רמז: חשבו על הצורה...)

סוף השיעור - דמיון מצולעים ✓

עכשיו תרגלו את הנושא בעזרת התרגילים, ובהצלחה! 🎯