יחס, פרופורציה וקנה מידה

למה זה חשוב?

פרופורציות בחיים שלנו

יחסים ופרופורציות נמצאים בכל מקום:

בסופרמרקט:

אריזת גבינה במשקל 250 גרם עולה 18 ש״ח
אריזה במשקל 400 גרם עולה 26 ש״ח
איזו אריזה משתלמת יותר? צריך לחשב מחיר ליחידה!

במפות וניווט:

במפה, 1 ס״מ מייצג 5 ק״מ במציאות
זה קנה מידה 1:500,000
איך נדע כמה ק״מ באמת בין שתי ערים?

במתכונים:

מתכון ל-4 מנות דורש 300 גרם קמח
כמה קמח נצטרך ל-10 מנות?
זו בעיית פרופורציה!

בארכיטקטורה ובנייה:

תכנית בית בקנה מידה 1:100
קיר שנראה 8 ס״מ בתכנית - כמה הוא באמת?

מה נלמד היום?

מטרות השיעור

להבין מהו יחס ואיך לפשט יחסים
לזהות קשרים פרופורציונליים
לפתור משוואות פרופורציה בעזרת הכפלה צולבת
לחשב מחיר יחידה ולהשוות מחירים
להבין מהו קנה מידה ואיך לקרוא אותו
להמיר בין מידות בתרשים למציאות והחזרה
ליישם פרופורציות לפתרון בעיות מילוליות

יחס - השוואה כמותית

הגדרה: יחס

יחס הוא השוואה בין שני גדלים באמצעות חלוקה.

סימון:

a:b (קוראים: "יחס a ל-b")
או כשבר: $\frac{a}{b}$

דוגמאות:

בכיתה יש 12 בנים ו-15 בנות
היחס בין בנים לבנות: 12:15
אפשר לפשט: 12:15 = 4:5

חשוב: סדר הגדלים חשוב! 4:5 שונה מ-5:4

פישוט יחסים

כמו שברים, אפשר לפשט יחסים על ידי חלוקה במחלק משותף:

12 : 15 = \frac{12}{15} = \frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5} = 4 : 5

בדיקה מהירה

מה היחס המצומצם של 12:18?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מה היחס בין 30 דקות לשעה אחת?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

פרופורציה - שוויון יחסים

הגדרה: פרופורציה

פרופורציה היא שוויון בין שני יחסים.

צורה כללית: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

או בסימון אחר: a:b = c:d

משמעות: היחס בין a ל-b זהה ליחס בין c ל-d.

דוגמה: $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$

שני היחסים שווים כי שניהם מפושטים נותנים $\frac{2}{3}$ .

נכון או לא נכון

היחסים 2:3 ו-6:9 שווים זה לזה. נכון או לא נכון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

הקבוע הפרופורציונלי

קבוע פרופורציונלי

כאשר שני גדלים y ו-x נמצאים ביחס ישר (פרופורציונליים), קיים מספר קבוע k כך שמתקיים:

y = k \cdot x

המספר k נקרא קבוע פרופורציונלי (או מקדם פרופורציה).

דוגמה: אם 3 ק״ג עגבניות עולות 12 ש״ח, אז מחיר ליחידה הוא: $k = \frac{12}{3} = 4$ ש״ח לק״ג

הנוסחה: y = 4x (כאשר x = משקל בק״ג, y = מחיר בש״ח)

בדיקה מהירה

4 ק״ג תפוחים עולים 32 ₪. כמה עולה 1 ק״ג תפוחים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

רכב נוסע 150 ק״מ ב-2 שעות. מה המהירות הממוצעת שלו בקמ״ש?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

כלל הזהב: הכפלה צולבת

כלל זהב לפתרון פרופורציות

שיטת ההכפלה הצולבת לפתרון משוואת פרופורציה:

אם $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , אז:

a \cdot d = b \cdot c

איך זה עובד?

מכפילים את האלכסונים (צולב)
מקבלים משוואה פשוטה
פותרים את המשוואה

דוגמה: $\frac{3}{5} = \frac{x}{20}$

הכפלה צולבת: $3 \cdot 20 = 5 \cdot x$ 60 = 5x x = 12

זכרו: זו הדרך הכי מהירה לפתור פרופורציות!

תשובה מספרית

פתור את המשוואה: $3:5 = x:20$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

פתור: $7:x = 14:10$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

קנה מידה

הגדרה: קנה מידה

קנה מידה הוא יחס בין מידות בתרשים, במודל או במפה לבין המידות האמיתיות.

סימון: 1:n או $1 ס״מ מייצג k מטר$

משמעות של קנה מידה 1:200:

כל 1 ס״מ בתרשים מייצג 200 ס״מ במציאות
כל 1 מ״מ בתרשים מייצג 200 מ״מ במציאות
היחס קבוע לכל יחידת אורך

סוגי קנה מידה:

קנה מידה מקטין: 1:100, 1:1,000 (תכניות בניין, מפות)
קנה מידה טבעי: 1:1 (גודל אמיתי)
קנה מידה מגדיל: 10:1 (מיקרוסקופ - פחות נפוץ בכיתה ח׳)

בדיקה מהירה

על מפה, סרגל 1 ס״מ מייצג 50 מטר במציאות. מהו קנה המידה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

המרה בין תרשים למציאות

מידה אמיתית = מידה בתרשים \times קנה המידה

מידה בתרשים = \frac{מידה אמיתית}{קנה המידה}

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: פישוט יחס ופירוש

פישוט יחס והסבר משמעות

שאלה: בכיתה יש 18 תלמידים שלומדים אנגלית ו-24 תלמידים שלומדים צרפתית.

א. מהו היחס בין לומדי אנגלית ללומדי צרפתית (בצורה מפושטת)? ב. מה משמעות היחס?

פתרון צעד אחר צעד:

שלב 1: נכתוב את היחס יחס לומדי אנגלית ללומדי צרפתית: 18:24

שלב 2: נמצא מחלק משותף המחלק המשותף הגדול ביותר של 18 ו-24 הוא 6.

שלב 3: נפשט $18 : 24 = \frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4} = 3 : 4$

שלב 4: נפרש היחס 3:4 אומר שעל כל 3 תלמידים שלומדים אנגלית, יש 4 תלמידים שלומדים צרפתית.

תשובה: א. היחס המפושט: 3:4 ב. על כל 3 תלמידי אנגלית יש 4 תלמידי צרפתית.

דוגמה 2: פתרון פרופורציה בהכפלה צולבת

שימוש בהכפלה צולבת

שאלה: פתרו את משוואת הפרופורציה: $\frac{7}{x} = \frac{14}{20}$

פתרון צעד אחר צעד:

שלב 1: נכתוב את המשוואה $\frac{7}{x} = \frac{14}{20}$

שלב 2: נבצע הכפלה צולבת $7 \cdot 20 = x \cdot 14$

שלב 3: נחשב את הצד השמאלי 140 = 14x

שלב 4: נחלק בשני האגפים ב-14 $x = \frac{140}{14} = 10$

שלב 5: בדיקה נציב בחזרה: $\frac{7}{10} = \frac{14}{20}$

נפשט את הצד הימני: $\frac{14}{20} = \frac{14 \div 2}{20 \div 2} = \frac{7}{10}$ ✓

תשובה: x = 10

תשובה מספרית

במתכון ל-4 מנות דרושות 3 כוסות קמח. כמה כוסות קמח דרושות ל-8 מנות?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

אם 5 עטים עולים 25 ₪, כמה עולים 8 עטים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מחיר יחידה - השוואת מחירים

מחיר יחידה והשוואה

שאלה: בסופרמרקט יש שתי אריזות שוקולד:

אריזה א׳: 250 גרם ב-15 ש״ח
אריזה ב׳: 400 גרם ב-22 ש״ח

איזו אריזה משתלמת יותר?

פתרון צעד אחר צעד:

שלב 1: נחשב מחיר ל-100 גרם באריזה א׳ $\frac{15 ש״ח}{250 גרם} = \frac{x}{100 גרם}$

הכפלה צולבת: $15 \cdot 100 = 250 \cdot x$ 1500 = 250x x = 6 ש״ח

מחיר יחידה באריזה א׳: 6 ש״ח ל-100 גרם

שלב 2: נחשב מחיר ל-100 גרם באריזה ב׳ $\frac{22 ש״ח}{400 גרם} = \frac{y}{100 גרם}$

הכפלה צולבת: $22 \cdot 100 = 400 \cdot y$ 2200 = 400y y = 5.5 ש״ח

מחיר יחידה באריזה ב׳: 5.5 ש״ח ל-100 גרם

שלב 3: נשווה 5.5 < 6

תשובה: אריזה ב׳ משתלמת יותר (5.5 ש״ח ל-100 גרם לעומת 6 ש״ח ל-100 גרם באריזה א׳).

דוגמה 4: קנה מידה - מתרשים למציאות

המרה מתרשים למציאות

שאלה: תכנית דירה מצוירת בקנה מידה 1:50. באורך של קיר בתכנית הוא 8 ס״מ. מה אורך הקיר האמיתי במטרים?

פתרון צעד אחר צעד:

שלב 1: נבין את קנה המידה 1:50 פירושו: כל 1 ס״מ בתכנית מייצג 50 ס״מ במציאות.

שלב 2: נחשב את האורך האמיתי אורך בתכנית: 8 ס״מ קנה מידה: 1:50

אורך אמיתי = 8 \times 50 = 400 ס״מ

שלב 3: נמיר למטרים $400 ס״מ = 400 \div 100 = 4 מטר$

תשובה: אורך הקיר האמיתי הוא 4 מטר.

תשובה מספרית

על תוכנית בניין בקנה מידה 1:100, אורך חדר הוא 5 ס״מ. מה אורך החדר במציאות במטרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: קנה מידה - ממציאות לתרשים

המרה ממציאות לתרשים

שאלה: אדריכל רוצה לצייר חדר שאורכו האמיתי 6 מטר בקנה מידה 1:100. כמה ס״מ יהיה אורך החדר בתכנית?

פתרון צעד אחר צעד:

שלב 1: נמיר את האורך האמיתי לס״מ $6 מטר = 6 \times 100 = 600 ס״מ$

שלב 2: נבין את קנה המידה 1:100 פירושו: כל 1 ס״מ בתכנית = 100 ס״מ במציאות

שלב 3: נחשב את האורך בתכנית $אורך בתכנית = \frac{אורך אמיתי}{100} = \frac{600}{100} = 6 ס״מ$

תשובה: אורך החדר בתכנית יהיה 6 ס״מ.

דוגמה 6: קנה מידה עם המרות יחידות

קנה מידה והמרת יחידות

שאלה: במפה, קנה המידה הוא 1:200,000. המרחק בין שתי ערים במפה הוא 3.5 ס״מ. מה המרחק האמיתי בקילומטרים?

פתרון צעד אחר צעד:

שלב 1: נחשב את המרחק האמיתי בס״מ קנה מידה 1:200,000 אומר: 1 ס״מ במפה = 200,000 ס״מ במציאות

מרחק אמיתי = 3.5 \times 200, 000 = 700, 000 ס״מ

שלב 2: נמיר לקילומטרים $1 ק״מ = 1, 000 מטר = 100, 000 ס״מ$

700, 000 ס״מ = \frac{700 , 000}{100 , 000} = 7 ק״מ

תשובה: המרחק האמיתי בין הערים הוא 7 ק״מ.

תשובה מספרית

על מפה בקנה מידה 1:25000, מרחק של 4 ס״מ מייצג כמה מטרים במציאות?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 7: בעיה מילולית - בחירת העסקה הטובה

בעיה מילולית מורכבת

שאלה: רותם נוסעת למכולת ורואה שלוש אפשרויות לקנות שמן זית:

בקבוק קטן: 500 מ״ל ב-18 ש״ח
בקבוק בינוני: 750 מ״ל ב-25 ש״ח
בקבוק גדול: 1 ליטר ב-32 ש״ח

איזה בקבוק הכי משתלם?

פתרון צעד אחר צעד:

שלב 1: נחשב מחיר ל-100 מ״ל בכל בקבוק

בקבוק קטן: $\frac{18}{500} = \frac{x}{100}$ $x = \frac{18 \times 100}{500} = \frac{1800}{500} = 3.6$ ש״ח

בקבוק בינוני: $\frac{25}{750} = \frac{y}{100}$ $y = \frac{25 \times 100}{750} = \frac{2500}{750} \approx 3.33$ ש״ח

בקבוק גדול: תחילה נמיר: 1 ליטר = 1,000 מ״ל $\frac{32}{1000} = \frac{z}{100}$ $z = \frac{32 \times 100}{1000} = \frac{3200}{1000} = 3.2$ ש״ח

שלב 2: נשווה

בקבוק קטן: 3.6 ש״ח ל-100 מ״ל
בקבוק בינוני: 3.33 ש״ח ל-100 מ״ל
בקבוק גדול: 3.2 ש״ח ל-100 מ״ל

3.2 < 3.33 < 3.6

תשובה: הבקבוק הגדול (1 ליטר ב-32 ש״ח) הוא המשתלם ביותר - מחיר יחידה של 3.2 ש״ח ל-100 מ״ל.

שגיאות נפוצות

שגיאה 1: הפיכת סדר היחס

טעות נפוצה:

טעות נפוצה: בבעיה "מהו היחס בין בנים לבנות", תלמידים כותבים את היחס בין בנות לבנים.

למה זה לא נכון: היחס 3:5 שונה מהיחס 5:3! סדר הגדלים חשוב מאוד.

הדרך הנכונה: תמיד כתבו את הגדלים באותו סדר שבו הם מופיעים בשאלה. אם נשאלתם "בנים לבנות", הגדל הראשון הוא בנים.

שגיאה 2: שכחת פישוט היחס

טעות נפוצה:

טעות נפוצה: היחס 12:18 נשאר ככה, בלי פישוט.

למה זה לא נכון: יחסים צריך לפשט כמו שברים כדי לראות את היחס הבסיסי.

הדרך הנכונה: $12 : 18 = \frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} = 2 : 3$

היחס המפושט 2:3 הרבה יותר קל להבין.

שגיאה 3: טעות בהכפלה צולבת

טעות נפוצה:

טעות נפוצה: בפרופורציה $\frac{3}{5} = \frac{x}{10}$ , תלמידים כותבים: $3 \times 5 = x \times 10$

למה זה לא נכון: זו לא הכפלה צולבת! הכפלנו אופקית במקום באלכסון.

הדרך הנכונה: הכפלה צולבת = מכפילים באלכסון: $3 \times 10 = 5 \times x$ 30 = 5x x = 6

שגיאה 4: בלבול בהמרת יחידות במחיר יחידה

טעות נפוצה:

טעות נפוצה: 200 גרם עולים 8 ש״ח. מחיר לק״ג: $\frac{8}{200}$ ש״ח.

למה זה לא נכון: שכחנו להמיר! 1 ק״ג = 1,000 גרם (לא 200 גרם).

הדרך הנכונה: $\frac{8}{200} = \frac{x}{1000}$

הכפלה צולבת: $8 \times 1000 = 200 x$ x = 40 ש״ח לק״ג

או בדרך הקצרה: $8 \div 200 \times 1000 = 40$ ש״ח לק״ג

שגיאה 5: אי-הבנת כיוון ההמרה בקנה מידה

טעות נפוצה:

טעות נפוצה: קנה מידה 1:100, אורך בתכנית 5 ס״מ. תלמידים חושבים: אורך אמיתי = $5 \div 100 = 0.05$ ס״מ.

למה זה לא נכון: חילקנו במקום להכפיל! האורך האמיתי צריך להיות גדול יותר מהתכנית.

הדרך הנכונה: 1:100 אומר: 1 ס״מ בתכנית = 100 ס״מ במציאות

אורך אמיתי = 5 \times 100 = 500 ס״מ = 5 מטר

זכרו: מתכנית למציאות = הכפלה

שגיאה 6: שכחת המרת יחידות בקנה מידה

טעות נפוצה:

טעות נפוצה: במפה בקנה מידה 1:50,000, מרחק 4 ס״מ. תלמידים עונים: מרחק אמיתי = 200,000 ס״מ (ושוכחים להמיר).

למה זה לא נכון: התשובה נכונה אבל לא הגיונית - מי מודד מרחקים ב-200,000 ס״מ?

הדרך הנכונה: $4 \times 50, 000 = 200, 000 ס״מ$

נמיר לק״מ: $200, 000 ס״מ = 200, 000 \div 100, 000 = 2 ק״מ$

תמיד המירו ליחידות הגיוניות בסוף!

שגיאה 7: בלבול בין היחס לפרופורציה

טעות נפוצה:

טעות נפוצה: תלמידים חושבים שיחס זה אותו דבר כמו פרופורציה.

למה זה לא נכון:

יחס = השוואה בין שני גדלים: 3:5
פרופורציה = שוויון בין שני יחסים: 3:5 = 6:10

הדרך הנכונה: יחס הוא "לבנה" אחת. פרופורציה היא משוואה המשווה שני יחסים.

שגיאה 8: טעות בזיהוי הקבוע הפרופורציונלי

טעות נפוצה:

טעות נפוצה: 5 ק״ג עולים 20 ש״ח. תלמידים כותבים: y = 5x או y = 20x.

למה זה לא נכון: הקבוע הפרופורציונלי הוא מחיר ליחידה אחת (לא 5 יחידות).

הדרך הנכונה: $k = \frac{20}{5} = 4$ ש״ח לק״ג

הנוסחה: y = 4x כאשר x = משקל בק״ג, y = מחיר בש״ח.

שגיאה 9: אי-ידיעה מתי להשתמש בפרופורציה

טעות נפוצה:

טעות נפוצה: בכל בעיה עם מספרים, תלמידים מנסים לכתוב פרופורציה.

למה זה לא תמיד נכון: פרופורציה מתאימה רק כשהיחס קבוע.

דוגמה שבה לא נכון: "רכבת נסעה 50 ק״מ בשעה הראשונה ו-70 ק״מ בשעה השנייה. כמה תיסע בשעה השלישית?"

אי אפשר לדעת! המהירות לא קבועה.

הדרך הנכונה: בדקו אם הקשר פרופורציונלי לפני שמשתמשים בפרופורציה.

שגיאה 10: שכחת בדיקה

טעות נפוצה:

טעות נפוצה: אחרי פתרון פרופורציה, תלמידים לא בודקים את התשובה.

למה זה בעייתי: טעויות חישוב קורות לכולנו! בדיקה תופסת שגיאות.

הדרך הנכונה: אחרי שפתרתם $\frac{3}{x} = \frac{9}{15}$ וקיבלתם x = 5:

בדקו: $\frac{3}{5} = 0.6$ ו- $\frac{9}{15} = 0.6$ ✓

תמיד הציבו בחזרה ובדקו שהשוויון מתקיים!

שגיאה 11: חישוב מחיר יחידה בצורה שגויה

טעות נפוצה:

טעות נפוצה: 3 ק״ג ב-24 ש״ח. תלמידים מחשבים: 3 + 24 = 27 או 24 - 3 = 21.

למה זה לא נכון: מחיר יחידה = חלוקה, לא חיבור או חיסור!

הדרך הנכונה: $מחיר ליחידה = \frac{מחיר כולל}{כמות} = \frac{24}{3} = 8 ש״ח לק״ג$

שגיאה 12: בלבול בקריאת קנה מידה

טעות נפוצה:

טעות נפוצה: קנה מידה 1:500 - תלמידים חושבים שזה אומר "500 ס״מ בתכנית = 1 ס״מ במציאות".

למה זה הפוך: הכתיב 1:500 תמיד פירושו: 1 יחידה בתכנית = 500 יחידות במציאות

הדרך הנכונה: 1:500 פירושו:

1 ס״מ בתכנית = 500 ס״מ במציאות
1 מ״מ בתכנית = 500 מ״מ במציאות
וכו׳

שגיאה 13: יצירת פרופורציה שגויה מבעיה מילולית

טעות נפוצה:

טעות נפוצה: "5 עטים עולים 15 ש״ח. כמה עולים 8 עטים?" תלמידים כותבים: $\frac{5}{15} = \frac{8}{x}$

למה זה לא נכון: כתבנו "עטים חלקי מחיר" בצד אחד ו"עטים חלקי מחיר" בצד שני. צריך אותו סוג יחס משני הצדדים.

הדרך הנכונה: נכתוב "עטים חלקי מחיר" בשני הצדדים או "מחיר חלקי עטים" בשני הצדדים:

אפשרות 1: $\frac{5 עטים}{15 ש״ח} = \frac{8 עטים}{x}$

אפשרות 2: $\frac{15 ש״ח}{5 עטים} = \frac{x}{8 עטים}$

שתי האפשרויות נותנות x = 24 ש״ח ✓

שגיאה 14: טעות בסימן בקנה מידה

טעות נפוצה:

טעות נפוצה: תלמידים כותבים קנה מידה כ-50:1 כשהכוונה היא ל-1:50.

למה זה בעייתי:

1:50 = קנה מידה מקטין (תכנית בניין)
50:1 = קנה מידה מגדיל פי 50 (מיקרוסקופ)

זה הבדל עצום!

הדרך הנכונה: בתכניות בניין ומפות, כמעט תמיד המספר הגדול בצד ימין: 1:100, 1:50,000, וכו׳

סיכום

בשיעור זה למדנו:

✅ יחס הוא השוואה בין שני גדלים: a:b

✅ פרופורציה היא שוויון בין שני יחסים: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

✅ הכפלה צולבת היא הדרך הכי מהירה לפתור פרופורציות: אם $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ אז $a \cdot d = b \cdot c$

✅ מחיר יחידה עוזר להשוות עסקאות: $מחיר יחידה = \frac{מחיר כולל}{כמות}$

✅ קנה מידה 1:n אומר: 1 יחידה בתרשים = n יחידות במציאות

✅ המרה מתרשים למציאות: הכפלה בקנה המידה

✅ המרה ממציאות לתרשים: חלוקה בקנה המידה

✅ קבוע פרופורציונלי k: כש-y = kx, k הוא היחס הקבוע $\frac{y}{x}$

כל הכבוד!

עכשיו אתם יודעים לעבוד עם יחסים, פרופורציות וקנה מידה! המשיכו לתרגל כדי להשתפר עוד יותר.