שורש ריבועי ומספר אי-רציונאלי

למה זה חשוב?

אלכסונים, שטחים ואומדנים

שורשים ריבועיים מופיעים כאשר מחשבים אלכסונים, פותרים בעיות גיאומטריות ומשווים בין גדלים. לא כל שורש נותן מספר שלם, ולכן חשוב לדעת להעריך אותו ולהבין מתי מתקבל מספר אי-רציונלי.

מה נלמד היום?

מטרות השיעור

להבין את משמעות השורש הריבועי.
לזהות שורשים של ריבועים מושלמים.
להעריך שורש של מספר שאינו ריבוע מושלם.
להבחין בין מספר רציונלי למספר אי-רציונלי.
לפשט שורשים כמו $72$ .

מהו שורש ריבועי?

הגדרה בסיסית

השורש הריבועי של מספר חיובי הוא המספר שכאשר מעלים אותו בריבוע מקבלים את המספר המקורי.

a = b ⟺ b^{2} = a

לדוגמה:

$49 = 7$ , כי $7^{2} = 49$ .
$81 = 9$ , כי $9^{2} = 81$ .

דוגמה 1: ריבועים מושלמים

שורש של מספר מוכר

מהו הערך של $81$ ?

מחפשים מספר שריבועו 81

ידוע ש-

9^{2} = 81

בדיקה מהירה

מהו הערך של $\sqrt{81}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

שורשים שאינם שלמים

בין אילו מספרים נמצא השורש?

בין אילו שני מספרים שלמים נמצא $20$ ?

מוצאים שני ריבועים מושלמים קרובים

למספר 20 הריבועים המושלמים הקרובים הם 16 ו-25.

תשובה מספרית

מהו הערך של $\sqrt{49}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

מספרים רציונליים ואי-רציונליים

לא כל שורש הוא מספר רציונלי

אם המספר שבתוך השורש אינו ריבוע מושלם, בדרך כלל נקבל מספר שאי אפשר לכתוב כשבר פשוט. מספר כזה נקרא אי-רציונלי.

למשל $2$ הוא אי-רציונלי.

נכון או לא נכון

$\sqrt{50}$ הוא מספר שלם.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

הערך של $\sqrt{36}$ הוא $-6$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

פישוט שורשים

מפרקים לגורם שהוא ריבוע מושלם

פשטו את הביטוי $72$ .

מפרקים את המספר

נכתוב

72 = 36 \cdot 2

בדיקה מהירה

איזה פישוט נכון ל- $\sqrt{72}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: לשורש ריבועי יש תמיד שתי תשובות

חשוב להבחין בין ערך השורש עצמו לבין פתרון משוואה ריבועית.

למה זה קורה?

במשוואה כמו

x^{2} = 36

יש שתי תשובות, x = 6 ו-x = -6, ולכן קל להתבלבל.

איך מתקנים?

הסמל

36

מייצג את **השורש הראשי**, כלומר 6. שתי תשובות מופיעות רק כאשר פותרים משוואה עם ריבוע.

סיכום

מה לזכור

$a$ הוא המספר החיובי שריבועו a.
ריבוע מושלם נותן שורש שלם.
שורש של מספר שאינו ריבוע מושלם נמצא בין שני שלמים ולעיתים הוא אי-רציונלי.
לפישוט שורש מחפשים פירוק שכולל ריבוע מושלם.