שברים אלגבריים

מבוא

מה נלמד היום?

התלמיד יוכל לצמצם שברים אלגבריים על ידי פירוק לגורמים
התלמיד יוכל לזהות את תחום ההגדרה של שבר אלגברי
התלמיד יוכל לחבר ולחסר שברים אלגבריים עם מכנים שונים
התלמיד יוכל להכפיל ולחלק שברים אלגבריים

הרעיון המרכזי

שברים אלגבריים — כללי יסוד

שבר אלגברי הוא שבר שבמונה ו/או במכנה שלו מופיע ביטוי אלגברי.

תחום הגדרה: המכנה לא יכול להיות 0. לכן חייבים למצוא אילו ערכים אסורים.

צמצום שבר אלגברי:

מפרקים מונה ומכנה לגורמים
מצמצמים גורמים משותפים

\frac{x ^{2} - 9}{x + 3} = \frac{( x + 3 ) ( x - 3 )}{x + 3} = x - 3 (x \neq = - 3)

חיבור וחיסור: מוצאים מכנה משותף, ממירים כל שבר, ומחברים/מחסרים את המונים.

כפל: כופלים מונה במונה ומכנה במכנה (אפשר לצמצם לפני הכפל).

חילוק: כופלים בהופכי: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$

בדיקה מהירה

מהו תחום ההגדרה של $\frac{x}{x-1}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא: $\frac{x+3}{x+3} = 1$ לכל x

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: צמצום שבר אלגברי פשוט

צמצמו: $\frac{6x^{2}}{3x}$

\frac{6 x ^{2}}{3 x} = \frac{6 \cdot x \cdot x}{3 \cdot x} = 2 x (x \neq = 0)

שלב 1 — מפרקים

מונה:

6x^{2} = 6 \cdot x \cdot x

. מכנה:

3x = 3 \cdot x

בדיקה מהירה

פשטו: $\frac{6x}{2x}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

פשטו: $\frac{10x^{3}}{5x^{2}}$ . מה המקדם של x בתוצאה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: צמצום עם פירוק לגורמים

צמצמו: $\frac{x^{2} - 4}{x + 2}$

\frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = \frac{( x + 2 ) ( x - 2 )}{x + 2} = x - 2 (x \neq = - 2)

שימו לב: חובה לציין $x \neq = - 2$ כי בביטוי המקורי x = -2 לא מוגדר!

שלב 1 — מפרקים את המונה

x^{2} - 4 = (x+2)(x-2)

— הפרש ריבועים

בדיקה מהירה

פשטו: $\frac{x^{2}-4}{x-2}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

פשטו: $\frac{x^{2}+5x+6}{x+2}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

פשטו: $\frac{x^{2}-9}{x^{2}+5x+6}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: צמצום עם הוצאת גורם משותף

צמצמו: $\frac{3x^{2} + 6x}{3x}$

\frac{3 x ^{2} + 6 x}{3 x} = \frac{3 x ( x + 2 )}{3 x} = x + 2 (x \neq = 0)

שלב 1 — מפרקים את המונה

3x^{2} + 6x = 3x(x + 2)

נכון או לא נכון

נכון: $\frac{2x+6}{2} = x+3$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

אם $\frac{3x+6}{x+2} = k$ לכל $x \ne -2$ , מהו k?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

פשטו: $\frac{4x^{2}-16}{2x-4}$ . מה המקדם של x בתוצאה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: חיבור שברים עם מכנה משותף

חשבו: $\frac{3}{x+1} + \frac{5}{x+1}$

\frac{3}{x + 1} + \frac{5}{x + 1} = \frac{3 + 5}{x + 1} = \frac{8}{x + 1} (x \neq = - 1)

כשהמכנים זהים — פשוט מחברים את המונים!

שלב 1 — המכנים זהים

המכנה המשותף הוא

(x+1)

דוגמה 5: חיבור שברים עם מכנים שונים

חשבו: $\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1}$

\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1} = \frac{2 ( x + 1 ) + 3 x}{x ( x + 1 )} = \frac{2 x + 2 + 3 x}{x ( x + 1 )} = \frac{5 x + 2}{x ( x + 1 )}

תחום הגדרה: $x \neq = 0$ וגם $x \neq = - 1$ .

שלב 1 — מוצאים מכנה משותף

מ.מ.ש

= x(x+1)

בדיקה מהירה

מה המצב המשותף (מכנה משותפת) של $\frac{1}{x}$ ו- $\frac{1}{x+1}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

חברו: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 6: חיסור שברים

חשבו: $\frac{x}{x-2} - \frac{3}{x+2}$

\frac{x}{x - 2} - \frac{3}{x + 2} = \frac{x ( x + 2 ) - 3 ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x ^{2} + 2 x - 3 x + 6}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x ^{2} - x + 6}{( x - 2 ) ( x + 2 )}

תחום הגדרה: $x \neq = 2$ וגם $x \neq = - 2$ .

שלב 1 — מכנה משותף

מ.מ.ש

= (x-2)(x+2)

דוגמה 7: כפל שברים אלגבריים

חשבו: $[\frac{x^{2}-9}{x+1}] \cdot [\frac{x+1}{x-3}]$

\frac{x ^{2} - 9}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x - 3} = \frac{( x + 3 ) ( x - 3 )}{( x + 1 )} \cdot \frac{( x + 1 )}{( x - 3 )} = x + 3

תחום הגדרה: $x \neq = - 1$ וגם $x \neq = 3$ .

טיפ: תמיד פרקו לגורמים וצמצמו לפני שאתם כופלים!

שלב 1 — מפרקים לגורמים

x^{2}-9 = (x+3)(x-3)

דוגמה 8: חילוק שברים אלגבריים

חשבו: $[\frac{x^{2}+2x}{x-1}] \div [\frac{x}{x^{2}-1}]$

\frac{x ^{2} + 2 x}{x - 1} \div \frac{x}{x ^{2} - 1} = \frac{x ( x + 2 )}{x - 1} \cdot \frac{( x + 1 ) ( x - 1 )}{x} = (x + 2) (x + 1)

תחום הגדרה: $x \neq = 0, x \neq = 1, x \neq = - 1$ .

חילוק = כפל בהופכי!

שלב 1 — הופכים לכפל בהופכי

[\frac{x^{2}+2x}{x-1}] \cdot [\frac{x^{2}-1}{x}]

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מצמצמים איברים במקום גורמים

טעות: $\frac{x ^{2} + 3}{x} = x + 3$ (צמצמו x עם $x^{2}$ בלבד!)

נכון: $\frac{x ^{2} + 3}{x}$ אינו ניתן לצמצום כי x אינו גורם של המונה כולו.

אבל: $\frac{x ^{2} + 3 x}{x} = \frac{x ( x + 3 )}{x} = x + 3$ ✓

למה זה קורה?

תלמידים מצמצמים איבר בודד מתוך סכום, כאילו הוא גורם.

איך מתקנים?

אפשר לצמצם רק גורמים שלמים

! \frac{x^{2}+3x}{x} = \frac{x(x+3)}{x} = x+3

, לא

x+3x = 4x

טעות נפוצה: שוכחים את תחום ההגדרה

טעות: $\frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = x - 2$ (בלי הגבלה)

נכון: $\frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = x - 2 (x \neq = - 2)$

כש-x = -2 המכנה המקורי הוא 0!

למה זה קורה?

תלמידים מצמצמים ושוכחים שהערך המקורי אינו מוגדר.

איך מתקנים?

תמיד ציינו:

x \ne (

הערכים שמאפסים את המכנה המקורי)!

טעות נפוצה: מצמצמים $(x+2)$ מתוך $x^{2} + 2$

טעות: $\frac{x ^{2} + 2}{x + 2} = x$

נכון: $x^{2} + 2$ אינו ניתן לפירוק, ו-(x+2) אינו גורם שלו.

הביטוי $\frac{x ^{2} + 2}{x + 2}$ אינו ניתן לצמצום.

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שאם יש

x+2

במכנה ו-

x^{2}

מכיל x, אפשר לצמצם.

איך מתקנים?

x^{2} + 2 \ne x(x+2)

! אפשר לצמצם רק אחרי פירוק לגורמים אמיתי.

טעות נפוצה: טעות במכנה משותף — כופלים מכנים במקום מ.מ.ש

דוגמה: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}}$

טעות: מ.מ.ש = $x \cdot x^{2} = x^{3}$ (מסובך מדי!)

נכון: מ.מ.ש = $x^{2}$ (כי $x^{2}$ מתחלק גם ב-x)

\frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} = \frac{x}{x ^{2}} + \frac{1}{x ^{2}} = \frac{x + 1}{x ^{2}}

למה זה קורה?

תלמידים תמיד כופלים את שני המכנים, גם כשיש גורם משותף.

איך מתקנים?

חפשו מ.מ.ש (מכנה משותף נמוך ביותר) כדי לפשט את החישוב.

טעות נפוצה: בחיסור — שוכחים להפיץ את המינוס לכל המונה

טעות: $\frac{x}{x - 1} - \frac{x + 2}{x - 1} = \frac{x - x + 2}{x - 1} = \frac{2}{x - 1}$

נכון: $\frac{x}{x - 1} - \frac{x + 2}{x - 1} = \frac{x - ( x + 2 )}{x - 1} = \frac{x - x - 2}{x - 1} = \frac{- 2}{x - 1}$

למה זה קורה?

כשמחסרים שבר, המינוס צריך להיכנס לכל איברי המונה, ותלמידים שוכחים.

איך מתקנים?

כשמחסרים, שימו סוגריים סביב המונה של השבר השני:

a - (b+c) = a - b - c

טעות נפוצה: מצמצמים $x+3$ עם x בגורם

טעות: $\frac{( x + 3 ) ( x - 1 )}{x + 3} = \frac{( x + 3 ) ( x - 1 )}{x + 3}$ — כאן דווקא כן אפשר!

אבל: $\frac{x + 3}{x + 5}$ — אי אפשר לצמצם את x!

הכלל: מצמצמים רק גורמים שלמים של מונה ומכנה.

למה זה קורה?

תלמידים לא מבדילים בין x כגורם ל-x כחלק מסכום.

איך מתקנים?

x+3 \ne x \cdot 3

. אפשר לצמצם רק גורמים שלמים, לא חלקים מתוך סכום.

טעות נפוצה: בכפל שברים — מחברים מונים ומכנים

טעות: $\frac{2}{x} \cdot \frac{3}{x + 1} = \frac{2 + 3}{x + x + 1} = \frac{5}{2 x + 1}$

נכון: $\frac{2}{x} \cdot \frac{3}{x + 1} = \frac{2 \cdot 3}{x \cdot ( x + 1 )} = \frac{6}{x ( x + 1 )}$

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים בין חיבור שברים (שם צריך מ.מ.ש) לכפל שברים.

איך מתקנים?

בכפל: מונה × מונה, מכנה × מכנה. בחיבור: מ.מ.ש ואז מחברים מונים.

טעות נפוצה: בחילוק — שוכחים להפוך את השבר השני

טעות: $\frac{x}{3} \div \frac{x}{6} = \frac{x \div x}{3 \div 6} = \frac{1}{0.5} = 2$ (יצא נכון במקרה!)

נכון: $\frac{x}{3} \div \frac{x}{6} = \frac{x}{3} \cdot \frac{6}{x} = \frac{6 x}{3 x} = 2$

תמיד הפכו לכפל בהופכי!

למה זה קורה?

תלמידים מחלקים מונה במונה ומכנה במכנה.

איך מתקנים?

חילוק שברים = כפל בהופכי

! (\frac{a}{b}) \div (\frac{c}{d}) = (\frac{a}{b}) \cdot (\frac{d}{c})

טעות נפוצה: מצמצמים לפני שמפרקים לגורמים

טעות: $\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + x} = \frac{- 1}{+ x} = \frac{- 1}{x}$ (צמצמו $x^{2}$ )

נכון: $\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + x} = \frac{( x + 1 ) ( x - 1 )}{x ( x + 1 )} = \frac{x - 1}{x}$

למה זה קורה?

תלמידים מנסים לצמצם ישר בלי לפרק.

איך מתקנים?

קודם מפרקים מונה ומכנה לגורמים, ורק אז מצמצמים!

טעות נפוצה: חושבים ש- $\frac{x-3}{3-x} = 1$

טעות: $\frac{x - 3}{3 - x} = 1$

נכון: $\frac{x - 3}{3 - x} = \frac{x - 3}{- ( x - 3 )} = - 1$

3 - x = -(x-3)!

למה זה קורה?

תלמידים לא מזהים ש-

(x-3) = (3-x)

איך מתקנים?

(3-x) = -(x-3)

. לכן

\frac{x-3}{3-x} = (x-3)/[-(x-3)] = -1

, לא 1!

טעות נפוצה: צמצום $\frac{0}{0}$ — הצבת ערך אסור

דוגמה: $\frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = x - 2 (x \neq = - 2)$

הצבת x = -2: $\frac{0}{0}$ — לא מוגדר!

אבל x - 2 = -4. ההצבה אסורה, גם אם נראה שהתוצאה "עובדת".

למה זה קורה?

תלמידים מציבים ערך שמאפס את המכנה ומקבלים

\frac{0}{0}

איך מתקנים?

אסור להציב ערך שמאפס את המכנה! תחום ההגדרה שולל ערכים אלה.

טעות נפוצה: מפשטים $\frac{1}{x+y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

טעות: $\frac{1}{x + y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

בדיקה: x=1, y=1: שמאל = $\frac{1}{2}$ , ימין = 1 + 1 = 2. לא שווה!

נכון: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{x y}$

למה זה קורה?

תלמידים מפרקים את המכנה לחלקים.

איך מתקנים?

אי אפשר לפרק מכנה כך

! \frac{1}{x+y} \ne \frac{1}{x} + \frac{1}{y}

טעות נפוצה: בחיבור — שוכחים להרחיב את שני השברים

טעות: $\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1} = \frac{2 ( x + 1 ) + 3}{x ( x + 1 )} = \frac{2 x + 5}{x ( x + 1 )}$

נכון: $\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1} = \frac{2 ( x + 1 )}{x ( x + 1 )} + \frac{3 x}{x ( x + 1 )} = \frac{2 x + 2 + 3 x}{x ( x + 1 )} = \frac{5 x + 2}{x ( x + 1 )}$

למה זה קורה?

תלמידים מרחיבים רק שבר אחד ושוכחים את השני.

איך מתקנים?

בחיבור/חיסור עם מכנים שונים, חובה להרחיב את שני השברים למכנה המשותף!

טעות נפוצה: מצמצמים מספר חופשי מתוך סכום

טעות: $\frac{x + 6}{x + 3} = \frac{6}{3} = 2$

בדיקה: x = 0: $\frac{6}{3} = 2$ (נכון במקרה!), אבל x = 1: $\frac{7}{4} \neq = 2$ .

$\frac{x + 6}{x + 3}$ אינו ניתן לצמצום.

למה זה קורה?

תלמידים רואים מספר במונה ובמכנה ומצמצמים אותו.

איך מתקנים?

אפשר לצמצם רק גורמים, לא מחוברים

! \frac{x+6}{x+3} \ne \frac{6}{3} = 2

טעות נפוצה: צמצום $\frac{x+a}{x+b} = \frac{a}{b}$

טעות: $\frac{x + 4}{x + 2} = \frac{4}{2} = 2$

נכון: $\frac{x + 4}{x + 2}$ אינו ניתן לצמצום.

בדיקה: x=0: $\frac{4}{2} = 2$ . x=2: $\frac{6}{4} = 1.5 \neq = 2$ .

למה זה קורה?

תלמידים מצמצמים את ה-x למרות שהוא חלק מסכום.

איך מתקנים?

x הוא חלק מסכום, לא גורם

! \frac{x+a}{x+b}

לא ניתן לצמצום (אלא אם

a=b)

טעות נפוצה: שוכחים לבדוק תחום הגדרה אחרי פירוק

דוגמה: $\frac{( x + 1 ) ( x - 2 )}{( x + 1 ) ( x + 3 )} = \frac{x - 2}{x + 3}$

ההגבלות: $x \neq = - 1$ וגם $x \neq = - 3$ (שתיהן מהמכנה המקורי!)

למה זה קורה?

תלמידים מפרקים ומצמצמים ושוכחים שגם הגורמים שצומצמו יוצרים הגבלה.

איך מתקנים?

התחום נקבע לפי המכנה המקורי — גם אחרי צמצום, ההגבלות נשארות!

סיכום

שברים אלגבריים — סדר העבודה:

צמצום: פרקו מונה ומכנה לגורמים, צמצמו גורמים משותפים
חיבור/חיסור: מצאו מ.מ.ש, הרחיבו, חברו/חסרו מונים
כפל: מונה במונה, מכנה במכנה (צמצמו קודם!)
חילוק: הפכו לכפל בהופכי

כללים חשובים:

$\frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = \frac{( x + 2 ) ( x - 2 )}{x + 2} = x - 2 (x \neq = - 2)$
מצמצמים רק גורמים שלמים — לא איברים מתוך סכום!
תמיד ציינו את תחום ההגדרה (הערכים שמאפסים את המכנה)
בחיסור — הפיצו את המינוס לכל המונה!

כל הכבוד! עכשיו אתם שולטים בשברים אלגבריים!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על שברים אלגבריים!

שברים אלגבריים

שברים אלגבריים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: צמצום שבר אלגברי פשוט

צמצמו: 6x23x\frac{6x^{2}}{3x}3x6x2​

דוגמה 2: צמצום עם פירוק לגורמים

צמצמו: x2−4x+2\frac{x^{2} - 4}{x + 2}x+2x2−4​

דוגמה 3: צמצום עם הוצאת גורם משותף

צמצמו: 3x2+6x3x\frac{3x^{2} + 6x}{3x}3x3x2+6x​

דוגמה 4: חיבור שברים עם מכנה משותף

חשבו: 3x+1+5x+1\frac{3}{x+1} + \frac{5}{x+1}x+13​+x+15​

דוגמה 5: חיבור שברים עם מכנים שונים

חשבו: 2x+3x+1\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1}x2​+x+13​

דוגמה 6: חיסור שברים

חשבו: xx−2−3x+2\frac{x}{x-2} - \frac{3}{x+2}x−2x​−x+23​

דוגמה 7: כפל שברים אלגבריים

חשבו: [x2−9x+1]⋅[x+1x−3][\frac{x^{2}-9}{x+1}] \cdot [\frac{x+1}{x-3}][x+1x2−9​]⋅[x−3x+1​]

דוגמה 8: חילוק שברים אלגבריים

חשבו: [x2+2xx−1]÷[xx2−1][\frac{x^{2}+2x}{x-1}] \div [\frac{x}{x^{2}-1}][x−1x2+2x​]÷[x2−1x​]

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מצמצמים איברים במקום גורמים

טעות נפוצה: שוכחים את תחום ההגדרה

טעות נפוצה: מצמצמים (x+2)(x+2)(x+2) מתוך x2+2x^{2} + 2x2+2

טעות נפוצה: טעות במכנה משותף — כופלים מכנים במקום מ.מ.ש

טעות נפוצה: בחיסור — שוכחים להפיץ את המינוס לכל המונה

טעות נפוצה: מצמצמים x+3x+3x+3 עם x בגורם

טעות נפוצה: בכפל שברים — מחברים מונים ומכנים

טעות נפוצה: בחילוק — שוכחים להפוך את השבר השני

טעות נפוצה: מצמצמים לפני שמפרקים לגורמים

טעות נפוצה: חושבים ש-x−33−x=1\frac{x-3}{3-x} = 13−xx−3​=1

טעות נפוצה: צמצום 00\frac{0}{0}00​ — הצבת ערך אסור

טעות נפוצה: מפשטים 1x+y=1x+1y\frac{1}{x+y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}x+y1​=x1​+y1​

טעות נפוצה: בחיבור — שוכחים להרחיב את שני השברים

טעות נפוצה: מצמצמים מספר חופשי מתוך סכום

טעות נפוצה: צמצום x+ax+b=ab\frac{x+a}{x+b} = \frac{a}{b}x+bx+a​=ba​

טעות נפוצה: שוכחים לבדוק תחום הגדרה אחרי פירוק

סיכום

תרגול נוסף

צמצמו: $\frac{6x^{2}}{3x}$

צמצמו: $\frac{x^{2} - 4}{x + 2}$

צמצמו: $\frac{3x^{2} + 6x}{3x}$

חשבו: $\frac{3}{x+1} + \frac{5}{x+1}$

חשבו: $\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1}$

חשבו: $\frac{x}{x-2} - \frac{3}{x+2}$

חשבו: $[\frac{x^{2}-9}{x+1}] \cdot [\frac{x+1}{x-3}]$

חשבו: $[\frac{x^{2}+2x}{x-1}] \div [\frac{x}{x^{2}-1}]$

טעות נפוצה: מצמצמים $(x+2)$ מתוך $x^{2} + 2$

טעות נפוצה: מצמצמים $x+3$ עם x בגורם

טעות נפוצה: חושבים ש- $\frac{x-3}{3-x} = 1$

טעות נפוצה: צמצום $\frac{0}{0}$ — הצבת ערך אסור

טעות נפוצה: מפשטים $\frac{1}{x+y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

טעות נפוצה: צמצום $\frac{x+a}{x+b} = \frac{a}{b}$