גופים מורכבים

מבוא

מה נלמד היום?

לזהות גופים מורכבים כשילוב של גופים בסיסיים
לחשב נפח על ידי חיבור נפחי גופים בסיסיים
לחשב נפח על ידי חיסור גופים (חללים, חורים)
לחשב שטח פנים של גופים מורכבים
להכיר את נוסחת חצי כדור: $V = \frac{2}{3} π r^{3}$

הרעיון המרכזי

גישה לפתרון גופים מורכבים

גוף מורכב הוא גוף תלת-ממדי שנוצר משילוב (חיבור או חיסור) של גופים בסיסיים.

שלבי הפתרון:

פירוק — זהו מאילו גופים בסיסיים מורכב הגוף
חישוב — חשבו את הנפח/שטח של כל גוף בסיסי בנפרד
שילוב — חברו או חסרו את התוצאות

נוסחאות שימושיות (תזכורת):

כדור: $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ , $S = 4 π r^{2}$
חצי כדור: $V = \frac{2}{3} π r^{3}$ , $S = 3 π r^{2}$ (כולל בסיס)
גליל: $V = π r^{2} h$
חרוט: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$
מנסרה: $V = S_{בסיס} \times h$
פירמידה: $V = \frac{1}{3} S_{בסיס} \times h$

דגשים לשטח פנים:

בגוף מורכב, שטחים פנימיים (במקומות החיבור) לא נכללים בשטח הפנים
צריך לזהות אילו פאות חשופות ואילו מוסתרות

דוגמאות מפורטות

חרוט על גביי גליל

V = π (4)^{2} (10) + \frac{1}{3} π (4)^{2} (6) = 160 π + 32 π = 192 π \approx 603 סמ״ק

הגוף מורכב משני חלקים — מחברים את הנפחים.

שלב 1 — תיאור

גליל ברדיוס 4 ס״מ וגובה 10 ס״מ, ועליו חרוט באותו רדיוס וגובה 6 ס״מ

בדיקה מהירה

גוף מורכב מגליל ומחרוט שנצמד למעלה. כדי לחשב את הנפח הכולל:

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

גליל $(r=4, h=10)$ ועליו חרוט $(r=4, h=6)$ . חשבו את הנפח הכולל והביעו כמכפלה של $\pi$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

חצי כדור על גביי גליל

V = π (5)^{2} (8) + \frac{2}{3} π (5)^{3} = 200 π + \frac{250 π}{3} = \frac{850 π}{3} \approx 890 סמ״ק

חצי כדור = חצי מנפח כדור שלם: $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{2}{3} π r^{3}$ .

שלב 1 — תיאור

גליל ברדיוס 5 ס״מ וגובה 8 ס״מ, ועליו חצי כדור באותו רדיוס

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: נפח חצי כדור שווה ל- $\frac{2}{3}\pi r^{3}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

גליל עם חור גלילי

V = π (8)^{2} (12) - π (3)^{2} (12) = 768 π - 108 π = 660 π \approx 2073 סמ״ק

כשיש חור — מחסירים את נפח החור מהנפח הכולל.

שלב 1 — תיאור

גליל חיצוני ברדיוס 8 ס״מ וגובה 12 ס״מ, עם חור גלילי ברדיוס 3 ס״מ לאורך כל הגובה

בדיקה מהירה

גליל עם חור גלילי באמצע. כדי לחשב את נפח החומר:

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תיבה עם פירמידה למעלה

V = 10 \times 10 \times 6 + \frac{1}{3} \times 1 0^{2} \times 4 = 600 + \frac{400}{3} = \frac{2200}{3} \approx 733.3 סמ״ק

בית עם גג משופע — התיבה היא הבית והפירמידה היא הגג.

שלב 1 — תיאור

תיבה

10 \times 10 \times 6

ס״מ, ועליה פירמידה ריבועית באותו בסיס וגובה 4 ס״מ

תשובה מספרית

גוף מורכב מתיבה $(5 \times 5 \times 10$ ס"מ) ומנסרה משולשת (בסיס 5 ס"מ, גובה משולש 4 ס"מ, אורך 5 ס"מ) שמונחת על התיבה. מהו הנפח הכולל?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

תיבה $(10 \times 10 \times 6)$ ועליה פירמידה ריבועית (בסיס $10 \times 10$ , גובה 4). חשבו את הנפח הכולל. עגלו לשבר עשרוני אם צריך.

סטייה מותרת: ±0.1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

שטח פנים של חרוט על גליל

S = π (3)^{2} + 2 π (3) (7) + π (3) (5) = 9 π + 42 π + 15 π = 66 π \approx 207.2 סמ״ר

שימו לב: העיגול העליון של הגליל והבסיס של החרוט חופפים — הם לא חלק משטח הפנים!

שלב 1 — תיאור

גליל ברדיוס 3 ס״מ וגובה 7 ס״מ, ועליו חרוט באותו רדיוס עם אורך אלכסון 5 ס״מ

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: בחישוב שטח הפנים של גוף מורכב, יש להוריד שטחים פנימיים במקומות החיבור

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

גליל $(r=3, h=7)$ ועליו חרוט $(r=3, l=5)$ . מהו שטח הפנים הכולל?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

כדור עם חתך — כיפה

V = \frac{2}{3} π (6)^{3} = 144 π \approx 452.2 סמ״ק

S = 2 π (6)^{2} + π (6)^{2} = 72 π + 36 π = 108 π \approx 339.3 סמ״ר

שטח חצי כדור כולל את החלק המעוקם (2πr²) ואת הבסיס השטוח (πr²).

שלב 1 — תיאור

חצי כדור (כיפה) ברדיוס 6 ס״מ

תשובה מספרית

חצי כדור ברדיוס 3 ס"מ. חשבו את הנפח והביעו כמכפלה של $\pi$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

גליל $(r=4, h=10)$ ועליו חצי כדור $(r=4)$ . מהו שטח הפנים הכולל?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

גליל שחצרו ממנו חצי כדור

V = π (4)^{2} (10) - \frac{2}{3} π (4)^{3} = 160 π - \frac{128 π}{3} = \frac{352 π}{3} \approx 368.6 סמ״ק

חיסור — מורידים את נפח חצי הכדור מנפח הגליל.

שלב 1 — תיאור

גליל ברדיוס 4 ס״מ וגובה 10 ס״מ. מצידו העליון חצרו חצי כדור באותו רדיוס

בעיה מילולית — בקבוק מים

V = π (3)^{2} (20) + \frac{2}{3} π (3)^{3} = 180 π + 18 π = 198 π \approx 622 מ״ל

1 סמ״ק = 1 מ״ל. הבקבוק מכיל כ-622 מ״ל.

שלב 1 — תיאור

בקבוק מים מורכב מגליל

(r=3

ס״מ

, h=20

ס״מ) וחצי כדור בתחתית

(r=3

ס״מ). מהו נפח הבקבוק?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחברים במקום לחסר (או להיפך)

טעות: גליל עם חור → $V = V_{חיצוני} + V_{חור}$

נכון: $V = V_{חיצוני} - V_{חור}$

למה זה קורה?

תלמידים לא מזהים נכון אם צריך לחבר נפחים או לחסר.

איך מתקנים?

חיבור = הגוף מורכב מחלקים שנצמדו. חיסור = חרצו/חפרו חלק מתוך גוף גדול יותר.

תשובה מספרית

קוביה בצלע 8 ס"מ, ובתוכה נחרט חור גלילי $(r=2, h=8)$ לאורך כל הגובה. מהו נפח החומר $? (\pi ≈ 3.14$ , עגלו למספר שלם)

סטייה מותרת: ±1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: סופרים שטחים כפולים בשטח פנים

טעות: חרוט על גליל: $S = S_{גליל מלא} + S_{חרוט מלא}$

נכון: מורידים את העיגול העליון של הגליל ואת בסיס החרוט (הם חופפים)

למה זה קורה?

תלמידים מחשבים את שטח הפנים של כל גוף בנפרד ומחברים — כולל שטחים מוסתרים.

איך מתקנים?

שטחים במקומות החיבור (פנימיים) לא נכללים! צריך להוריד אותם.

טעות נפוצה: שוכחים את נוסחת חצי כדור

טעות: $V_{חצי כדור} = \frac{4}{3} π r^{3}$

נכון: $V_{חצי כדור} = \frac{2}{3} π r^{3}$

למה זה קורה?

תלמידים משתמשים בנוסחת כדור שלם במקום חצי כדור.

איך מתקנים?

V\_

חצי כדור

= \frac{2}{3}\pi r^{3} (

חצי מ-

\frac{4}{3}\pi r^{3})

. אל תשכחו לחלק ב-2!

טעות נפוצה: לא מפרקים את הגוף נכון

טעות: חיפוש נוסחה ל'גליל-חרוט'

נכון: V = V_גליל + V_חרוט (חישוב נפרד לכל חלק)

למה זה קורה?

תלמידים מנסים למצוא נוסחה אחת לגוף מורכב במקום לפרק.

איך מתקנים?

תמיד פרקו לגופים בסיסיים מוכרים. אין 'נוסחה מיוחדת' לגופים מורכבים.

טעות נפוצה: משתמשים ברדיוסים שונים לחלקים שצריכים אותו רדיוס

טעות: גליל r=5 עם חרוט r=3 על אותו בסיס

נכון: אם הם חולקים בסיס, שניהם באותו רדיוס

למה זה קורה?

תלמידים לא שמים לב שלחלקים שנצמדים צריך להיות אותו רדיוס.

איך מתקנים?

בנקודת החיבור, הרדיוס (או הצלע) חייב להיות זהה!

טעות נפוצה: שוכחים שחצי כדור כולל גם בסיס שטוח בשטח פנים

טעות: $S = 2 π r^{2}$ בלבד

נכון: $S = 3 π r^{2}$ (אם הבסיס חשוף), או $S = 2 π r^{2}$ (אם הבסיס מחובר לגוף אחר)

למה זה קורה?

תלמידים מחשבים רק את השטח המעוקם ושוכחים את העיגול השטוח.

איך מתקנים?

שטח פנים חצי כדור

= 2\pi r^{2} (

מעוקם)

+ \pi r^{2} (

בסיס)

= 3\pi r^{2}

. אלא אם הבסיס מוסתר.

טעות נפוצה: מחשבים $V = \pi r^{2}h + \pi r^{2}h$ לגליל עם חרוט

טעות: $V = π r^{2} h_{1} + π r^{2} h_{2}$

נכון: $V = π r^{2} h_{1} + \frac{1}{3} π r^{2} h_{2}$

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים את ה-

\frac{1}{3}

של החרוט ומחשבים שני גלילים.

איך מתקנים?

גליל:

\pi r^{2}h

. חרוט:

\frac{1}{3}\pi r^{2}h

. אל תשכחו את ה-

\frac{1}{3}

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: נפח הגוף שנוצר מגליל $(r=R, h=H)$ שממנו חרצו חרוט פנימי $(r=R, h=H)$ הוא $\frac{2}{3}\pi R^{2}H$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: מבלבלים $\frac{4}{3}$ ו- $\frac{2}{3}$

טעות: $V_{חצי כדור} = \frac{4}{3} π r^{3}$

נכון: $V_{חצי כדור} = \frac{2}{3} π r^{3}$

למה זה קורה?

תלמידים לא זוכרים איזה מקדם שייך לכדור ואיזה לחצי כדור.

איך מתקנים?

כדור שלם:

\frac{4}{3}\pi r^{3}

. חצי כדור:

\frac{4}{3}\pi r^{3} \div 2 = \frac{2}{3}\pi r^{3}

טעות נפוצה: לא מזהים חיסור כשיש 'שקע'

טעות: מתעלמים מהשקע ומחשבים נפח מלא

נכון: V = V_גוף מלא − V_שקע

למה זה קורה?

תלמידים לא מבינים שגוף עם שקע הוא גוף מלא פחות השקע.

איך מתקנים?

שקע/חור/חריץ = חיסור. דמיינו את הגוף המלא ואז הורידו את מה שחסר.

טעות נפוצה: חושבים ש- $\frac{2}{3}\pi r^{3} = \frac{2}{3} \times \pi \times r \times 3$

טעות: $\frac{2}{3} π (4)^{3} = \frac{2}{3} π \times 12$

נכון: $\frac{2}{3} π (4)^{3} = \frac{2}{3} π \times 64 = \frac{128 π}{3}$

למה זה קורה?

תלמידים מפרשים

r^{3}

כ-

r \times 3

איך מתקנים?

r^{3} = r \times r \times r (r

בחזקת 3), לא r כפול 3!

טעות נפוצה: שוכחים להמיר יחידות לפני שילוב

טעות: $V = π (5)^{2} \times 0.2$ (ר' בס״מ, ג' במ')

נכון: המירו: h = 20 ס״מ, $V = π (5)^{2} \times 20 = 500 π$

למה זה קורה?

חלק אחד נתון בס״מ וחלק אחר במ' — תלמידים לא ממירים.

איך מתקנים?

וודאו שכל המידות באותן יחידות לפני חישוב!

טעות נפוצה: מחברים שטחי פנים של חלקים 'חופפים'

טעות: גליל + חצי כדור: $S = (2 π r^{2} + 2 π r h) + (3 π r^{2})$

נכון: $S = π r^{2} + 2 π r h + 2 π r^{2}$ (הורדנו את העיגול העליון של הגליל ואת בסיס חצי הכדור)

למה זה קורה?

תלמידים לא מפחיתים את השטחים הפנימיים.

איך מתקנים?

כל מקום חיבור בין שני גופים = שני שטחים שמוסתרים (אחד מכל גוף). הורידו את שניהם!

טעות נפוצה: חושבים שגוף מורכב = מנסרה

טעות: $V = S_{בסיס} \times h_{כולל}$

נכון: חלקו לגופים ידועים וחשבו כל אחד בנפרד

למה זה קורה?

תלמידים מנסים להשתמש בנוסחה אחת לכל הגוף.

איך מתקנים?

גוף מורכב ≠ גוף בסיסי. חייבים לפרק ולחשב כל חלק בנפרד.

טעות נפוצה: שוכחים להוסיף חצי כדור במילוי

טעות: בקבוק = גליל בלבד

נכון: בקבוק = גליל + חצי כדור (אם יש תחתית מעוגלת)

למה זה קורה?

תלמידים מחשבים רק את הגליל ושוכחים את חצי הכדור.

איך מתקנים?

ספרו בזהירות את כל חלקי הגוף. שרטטו ופרקו!

טעות נפוצה: לא מפשטים שברים עם $\pi$

טעות: $200 π + \frac{250 π}{3}$ (נשארים ככה)

נכון: $\frac{600 π + 250 π}{3} = \frac{850 π}{3}$

למה זה קורה?

תלמידים נשארים עם ביטויים מסורבלים.

איך מתקנים?

אפשר להוציא

\pi

כגורם משותף:

200\pi + \frac{250\pi }{3} = \frac{600\pi + 250\pi }{3} = \frac{850\pi }{3}

טעות נפוצה: חושבים שנפח פנוי = נפח חיצוני

טעות: צינור: $V = π R^{2} h$

נכון: $V = π R^{2} h - π r^{2} h = π (R^{2} - r^{2}) h$

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים לחסר את הנפח הפנימי.

איך מתקנים?

נפח חומר = נפח חיצוני − נפח פנימי (החלל הריק).

סיכום

מה למדנו?

שלבי הפתרון לגופים מורכבים:

פרקו את הגוף לגופים בסיסיים
חשבו נפח/שטח של כל חלק בנפרד
חברו או חסרו לפי הצורך

נוסחאות חשובות:

כדור: $V = \frac{4}{3} π r^{3}$
חצי כדור: $V = \frac{2}{3} π r^{3}$
שטח חצי כדור (כולל בסיס): $S = 3 π r^{2}$

זכרו:

חיבור = גופים שנצמדו זה לזה
חיסור = חורים, שקעים, חללים
בשטח פנים — הורידו שטחים מוסתרים בנקודות החיבור

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב נפח ושטח פנים של גופים מורכבים!

גופים מורכבים

גופים מורכבים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

חרוט על גביי גליל

חצי כדור על גביי גליל

גליל עם חור גלילי

תיבה עם פירמידה למעלה

שטח פנים של חרוט על גליל

כדור עם חתך — כיפה

גליל שחצרו ממנו חצי כדור

בעיה מילולית — בקבוק מים

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחברים במקום לחסר (או להיפך)

טעות נפוצה: סופרים שטחים כפולים בשטח פנים

טעות נפוצה: שוכחים את נוסחת חצי כדור

טעות נפוצה: לא מפרקים את הגוף נכון

טעות נפוצה: משתמשים ברדיוסים שונים לחלקים שצריכים אותו רדיוס

טעות נפוצה: שוכחים שחצי כדור כולל גם בסיס שטוח בשטח פנים

טעות נפוצה: מחשבים V=πr2h+πr2hV = \pi r^{2}h + \pi r^{2}hV=πr2h+πr2h לגליל עם חרוט

טעות נפוצה: מבלבלים 43\frac{4}{3}34​ ו-23\frac{2}{3}32​

טעות נפוצה: לא מזהים חיסור כשיש 'שקע'

טעות נפוצה: חושבים ש-23πr3=23×π×r×3\frac{2}{3}\pi r^{3} = \frac{2}{3} \times \pi \times r \times 332​πr3=32​×π×r×3

טעות נפוצה: שוכחים להמיר יחידות לפני שילוב

טעות נפוצה: מחברים שטחי פנים של חלקים 'חופפים'

טעות נפוצה: חושבים שגוף מורכב = מנסרה

טעות נפוצה: שוכחים להוסיף חצי כדור במילוי

טעות נפוצה: לא מפשטים שברים עם π\piπ

טעות נפוצה: חושבים שנפח פנוי = נפח חיצוני

סיכום

תרגול נוסף

טעות נפוצה: מחשבים $V = \pi r^{2}h + \pi r^{2}h$ לגליל עם חרוט

טעות נפוצה: מבלבלים $\frac{4}{3}$ ו- $\frac{2}{3}$

טעות נפוצה: חושבים ש- $\frac{2}{3}\pi r^{3} = \frac{2}{3} \times \pi \times r \times 3$

טעות נפוצה: לא מפשטים שברים עם $\pi$