נוסחאות חזקה שלישית

מבוא

מטרות השיעור

להכיר את נוסחת קוביית הסכום: $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
להכיר את נוסחת קוביית ההפרש: $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$
לזהות את המקדמים 1, 3, 3, 1 (משולש פסקל)
ליישם את הנוסחאות לפיתוח ביטויים ולחישוב מהיר

הרעיון המרכזי

נוסחאות קוביה

קוביית סכום: $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

קוביית הפרש: $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

מקדמים: 1, 3, 3, 1 (משולש פסקל, שורה 3)

סימנים:

קוביית סכום: כולם חיוביים (+, +, +, +)
קוביית הפרש: מתחלפים (+, -, +, -)

בדיקה מהירה

מהי נוסחת קוביית סכום $(a+b)^{3}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: קוביית סכום בסיסית

פתחו: $(x+2)^{3}$

(x + 2)^{3} = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8

שלב 1 — מזהים a ו-b

a = x, b = 2

בדיקה מהירה

פתחו: $(x+2)^{3}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $(x+1)^{3} = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: קוביית הפרש בסיסית

פתחו: $(x-1)^{3}$

(x - 1)^{3} = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1

שימו לב לסימנים המתחלפים!

שלב 1 — מזהים

a = x, b = 1

בדיקה מהירה

פתחו: $(x-1)^{3}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: בפיתוח $(a-b)^{3}$ הסימנים מתחלפים: +, -, +, -

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: עם מקדם

פתחו: $(2x+3)^{3}$

(2 x + 3)^{3} = 8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 27

שלב 1 — מזהים

a = 2x, b = 3

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $(2x+1)^{3} = 8x^{3} + 12x^{2} + 6x + 1$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: קוביית הפרש עם מקדם

פתחו: $(3a-2)^{3}$

(3 a - 2)^{3} = 27 a^{3} - 54 a^{2} + 36 a - 8

שלב 1 — מזהים

a = 3a, b = 2

, סימנים מתחלפים

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $(x-2)^{3} = x^{3} - 6x^{2} + 12x - 8$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: חישוב מהיר

חשבו: $11^{3}$

1 1^{3} = (10 + 1)^{3} = 1000 + 300 + 30 + 1 = 1331

שלב 1 — כותבים

11 = 10 + 1

תשובה מספרית

חשבו: $11^{3}$ באמצעות $(10+1)^{3}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 6: חישוב מהיר עם הפרש

חשבו: $9^{3}$

9^{3} = (10 - 1)^{3} = 1000 - 300 + 30 - 1 = 729

שלב 1 — כותבים

9 = 10 - 1

תשובה מספרית

חשבו: $(x+1)^{3}$ כאשר $x=4$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 7: זיהוי ערך מתוך פיתוח

אם $(x+k)^{3} = x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8$ , מצאו k

k^{3} = 8 \Rightarrow k = 2

שלב 1 — מהאיבר החופשי

k^{3} = 8

, לכן

k = 2

תשובה מספרית

מה האיבר החופשי (ללא משתנה) בפיתוח $(x+5)^{3}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מה המקדם של x בפיתוח $(x+4)^{3}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 8: הפרש קוביות

פשטו: $(x+1)^{3} - (x-1)^{3}$

(x + 1)^{3} - (x - 1)^{3} = 6 x^{2} + 2

האיברים עם x³ ו-x מצטמצמים!

שלב 1 — פותחים $(x+1)^{3}$

x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את האיברים האמצעיים

טעות: $(x + 2)^{3} = x^{3} + 8$

נכון: $(x + 2)^{3} = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$

למה זה קורה?

תלמידים חושבים ש-

(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3}

איך מתקנים?

(a+b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}

. יש ארבעה איברים, לא שניים!

טעות נפוצה: מקדמים שגויים - 1,2,2,1 במקום 1,3,3,1

טעות: $(x + 1)^{3} = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$

נכון: $(x + 1)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$

למה זה קורה?

מבלבלים עם מקדמי הריבוע

(1,2,1)

איך מתקנים?

בקוביה המקדמים הם 1, 3, 3, 1. בריבוע המקדמים הם 1, 2, 1.

טעות נפוצה: סימנים שגויים בקוביית הפרש

טעות: $(x - 1)^{3} = x^{3} - 3 x^{2} - 3 x - 1$

נכון: $(x - 1)^{3} = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

סימנים: +, -, +, -

למה זה קורה?

תלמידים לא זוכרים את דפוס הסימנים.

איך מתקנים?

בקוביית הפרש הסימנים מתחלפים: +, -, +, -.

טעות נפוצה: שוכחים להעלות בקוביה את המקדם

טעות: $(2 x)^{3} = 2 x^{3}$

נכון: $(2 x)^{3} = 8 x^{3}$

למה זה קורה?

(2x)^{3} = 2x^{3}

במקום

8x^{3}

איך מתקנים?

(2x)^{3} = 2^{3} \cdot x^{3} = 8x^{3}

. הקוביה חלה על כל הביטוי!

טעות נפוצה: חישוב שגוי של $3a^{2}b$ כש-a מורכב

טעות: $3 \cdot (2 x)^{2} \cdot 3 = 3 \cdot 2 x^{2} \cdot 3 = 18 x^{2}$

נכון: $3 \cdot (2 x)^{2} \cdot 3 = 3 \cdot 4 x^{2} \cdot 3 = 36 x^{2}$

למה זה קורה?

שוכחים להעלות את כל a בריבוע.

איך מתקנים?

אם

a=2x

, אז

a^{2}=(2x)^{2}=4x^{2}

. לכן

3a^{2}b = 3 \cdot 4x^{2} \cdot b

טעות נפוצה: מבלבלים בין $3a^{2}b$ ל- $3ab^{2}$

בפיתוח $(x + 3)^{3}$ :

$3 a^{2} b = 3 \cdot x^{2} \cdot 3 = 9 x^{2}$ (a בריבוע)

$3 a b^{2} = 3 \cdot x \cdot 9 = 27 x$ (b בריבוע)

למה זה קורה?

לא שמים לב מי בריבוע.

איך מתקנים?

3a^{2}b: a

בריבוע

. 3ab^{2}: b

בריבוע. שימו לב לחזקות!

טעות נפוצה: חושבים ש- $(a-b)^{3} = -(a+b)^{3}$

(x - 2)^{3} = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

- (x + 2)^{3} = - x^{3} - 6 x^{2} - 12 x - 8

הם שונים לגמרי!

למה זה קורה?

מניחים שהמינוס 'יוצא מהסוגריים'.

איך מתקנים?

(a-b)^{3} \ne -(a+b)^{3}

! צריך להשתמש בנוסחה הנכונה עם סימנים מתחלפים.

טעות נפוצה: מכפילים $3 \cdot a \cdot b^{2}$ שגוי כש-b מורכב

טעות: $3 \cdot x \cdot 3^{2} = 3 \cdot x \cdot 3 = 9 x$

נכון: $3 \cdot x \cdot 3^{2} = 3 \cdot x \cdot 9 = 27 x$

למה זה קורה?

שוכחים להעלות את כל b בריבוע.

איך מתקנים?

אם

b=3

, אז

b^{2}=9

, ו-

3ab^{2} = 3 \cdot a \cdot 9 = 27a

טעות נפוצה: לא בודקים את התוצאה בהצבה

טיפ: תמיד הציבו ערך פשוט (כמו x=1) כדי לבדוק!

$(1 + 2)^{3} = 27$ ו-1+6+12+8 = 27 ✓

למה זה קורה?

תלמידים לא מאמתים.

איך מתקנים?

הציבו

x=1: (1+2)^{3}=27

. בדקו:

1+6+12+8=27 ✓

טעות נפוצה: שגיאה בסימן של $b^{3}$ בקוביית הפרש

טעות: $(x - 2)^{3} = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 8$

נכון: $(x - 2)^{3} = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

$(- 2)^{3} = - 8$ , לא +8!

למה זה קורה?

שוכחים שקוביה של מספר שלילי היא שלילית.

איך מתקנים?

(-b)^{3} = -b^{3}

. לכן האיבר האחרון בקוביית הפרש שלילי.

טעות נפוצה: מיישמים נוסחת ריבוע במקום קוביה

ריבוע: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ (3 איברים)

קוביה: $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ (4 איברים)

למה זה קורה?

מבלבלים בין החזקות.

איך מתקנים?

ריבוע (חזקה 2): 3 איברים, מקדמים 1,2,1. קוביה (חזקה 3): 4 איברים, מקדמים 1,3,3,1.

טעות נפוצה: שוכחים את הקשר למשולש פסקל

משולש פסקל נותן את המקדמים:

חזקה 2: 1, 2, 1 → $(a + b)^{2}$

חזקה 3: 1, 3, 3, 1 → $(a + b)^{3}$

למה זה קורה?

לא מכירים את הכלי.

איך מתקנים?

שורות משולש פסקל: חזקה 0: 1. חזקה 1: 1,1. חזקה 2: 1,2,1. חזקה 3: 1,3,3,1.

טעות נפוצה: חושבים ש- $b^{3}$ תמיד חיובי

ריבוע: $(- 2)^{2} = + 4$ (חיובי)

קוביה: $(- 2)^{3} = - 8$ (שלילי!)

קוביה שומרת על הסימן!

למה זה קורה?

מבלבלים עם ריבוע (שתמיד חיובי).

איך מתקנים?

קוביה שומרת סימן

! (-2)^{3} = -8

, לא

+8

. ריבוע מבטל סימן, קוביה לא.

טעות נפוצה: שגיאה בפישוט $(a+b)^{3}-(a-b)^{3}$

טעות: שוכחים להפוך סימנים בחיסור

נכון: $(a + b)^{3} - (a - b)^{3} = 6 a^{2} b + 2 b^{3}$

למה זה קורה?

שוכחים סוגריים בחיסור.

איך מתקנים?

כשמחסרים, צריך לשנות סימנים:

-(a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}) = -a^{3}+3a^{2}b-3ab^{2}+b^{3}

טעות נפוצה: לא שמים לב לירידת חזקות

(a + b)^{3} = a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b^{1} + 3 a^{1} b^{2} + a^{0} b^{3}

סכום החזקות תמיד שווה 3!

למה זה קורה?

לא מבינים את המבנה של הנוסחה.

איך מתקנים?

בנוסחה: חזקת a יורדת

(3,2,1,0)

וחזקת b עולה

(0,1,2,3)

. סה״כ תמיד 3!

טעות נפוצה: בלבול בין מעוקב סכום למעוקב הפרש

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

למה זה קורה?

תלמידים מתבלבלים בסימנים בין

(a+b)^{3}

ל-

(a-b)^{3}

איך מתקנים?

במעוקב סכום כל הסימנים חיוביים:

a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}

. במעוקב הפרש הסימנים מתחלפים:

a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}

סיכום

מה למדנו?

נוסחאות קוביה:

קוביית סכום: $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
קוביית הפרש: $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

מקדמים: 1, 3, 3, 1

סימנים:

סכום: +, +, +, +
הפרש: +, -, +, -

טיפים:

זכרו את משולש פסקל
בדקו בהצבה (x=1 או x=0)
שימו לב: (2x)³ = 8x³, לא 2x³!

כל הכבוד! עכשיו אתם שולטים בנוסחאות הקוביה!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על נוסחאות חזקה שלישית!

נוסחאות חזקה שלישית

נוסחאות חזקה שלישית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: קוביית סכום בסיסית

פתחו: (x+2)3(x+2)^{3}(x+2)3

דוגמה 2: קוביית הפרש בסיסית

פתחו: (x−1)3(x-1)^{3}(x−1)3

דוגמה 3: עם מקדם

פתחו: (2x+3)3(2x+3)^{3}(2x+3)3

דוגמה 4: קוביית הפרש עם מקדם

פתחו: (3a−2)3(3a-2)^{3}(3a−2)3

דוגמה 5: חישוב מהיר

חשבו: 11311^{3}113

דוגמה 6: חישוב מהיר עם הפרש

חשבו: 939^{3}93

דוגמה 7: זיהוי ערך מתוך פיתוח

אם (x+k)3=x3+6x2+12x+8(x+k)^{3} = x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8(x+k)3=x3+6x2+12x+8, מצאו k

דוגמה 8: הפרש קוביות

פשטו: (x+1)3−(x−1)3(x+1)^{3} - (x-1)^{3}(x+1)3−(x−1)3

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את האיברים האמצעיים

טעות נפוצה: מקדמים שגויים - 1,2,2,1 במקום 1,3,3,1

טעות נפוצה: סימנים שגויים בקוביית הפרש

טעות נפוצה: שוכחים להעלות בקוביה את המקדם

טעות נפוצה: חישוב שגוי של 3a2b3a^{2}b3a2b כש-a מורכב

טעות נפוצה: מבלבלים בין 3a2b3a^{2}b3a2b ל-3ab23ab^{2}3ab2

טעות נפוצה: חושבים ש-(a−b)3=−(a+b)3(a-b)^{3} = -(a+b)^{3}(a−b)3=−(a+b)3

טעות נפוצה: מכפילים 3⋅a⋅b23 \cdot a \cdot b^{2}3⋅a⋅b2 שגוי כש-b מורכב

טעות נפוצה: לא בודקים את התוצאה בהצבה

טעות נפוצה: שגיאה בסימן של b3b^{3}b3 בקוביית הפרש

טעות נפוצה: מיישמים נוסחת ריבוע במקום קוביה

טעות נפוצה: שוכחים את הקשר למשולש פסקל

טעות נפוצה: חושבים ש-b3b^{3}b3 תמיד חיובי

טעות נפוצה: שגיאה בפישוט (a+b)3−(a−b)3(a+b)^{3}-(a-b)^{3}(a+b)3−(a−b)3

טעות נפוצה: לא שמים לב לירידת חזקות

טעות נפוצה: בלבול בין מעוקב סכום למעוקב הפרש

סיכום

תרגול נוסף

פתחו: $(x+2)^{3}$

פתחו: $(x-1)^{3}$

פתחו: $(2x+3)^{3}$

פתחו: $(3a-2)^{3}$

חשבו: $11^{3}$

חשבו: $9^{3}$

אם $(x+k)^{3} = x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8$ , מצאו k

פשטו: $(x+1)^{3} - (x-1)^{3}$

טעות נפוצה: חישוב שגוי של $3a^{2}b$ כש-a מורכב

טעות נפוצה: מבלבלים בין $3a^{2}b$ ל- $3ab^{2}$

טעות נפוצה: חושבים ש- $(a-b)^{3} = -(a+b)^{3}$

טעות נפוצה: מכפילים $3 \cdot a \cdot b^{2}$ שגוי כש-b מורכב

טעות נפוצה: שגיאה בסימן של $b^{3}$ בקוביית הפרש

טעות נפוצה: חושבים ש- $b^{3}$ תמיד חיובי

טעות נפוצה: שגיאה בפישוט $(a+b)^{3}-(a-b)^{3}$