נוסחת הפרש ריבועים

מבוא

מטרות השיעור

להכיר את נוסחת הפרש הריבועים: $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$
לפרק ביטויים אלגבריים באמצעות הנוסחה
להשתמש בנוסחה לחישובים מהירים
לזהות מתי אפשר (ומתי אי אפשר) להשתמש בנוסחה

הרעיון המרכזי

נוסחת הפרש ריבועים

הנוסחה: $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

במילים: הפרש בין שני ריבועים שווה למכפלת הסכום בהפרש.

שימושים עיקריים:

פירוק לגורמים: $x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3)$
חישוב מהיר: $51 \times 49 = 5 0^{2} - 1^{2} = 2499$
פישוט ביטויים אלגבריים

בדיקה מהירה

מהי נוסחת הפרש ריבועים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: פירוק בסיסי

פרקו לגורמים: $x^{2} - 9$

x^{2} - 9 = x^{2} - 3^{2} = (x + 3) (x - 3)

שלב 1 — מזהים הפרש ריבועים

x^{2} = x^{2}, 9 = 3^{2}

. יש מינוס ביניהם — זה הפרש ריבועים!

בדיקה מהירה

פרקו לגורמים: $x^{2} - 25$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: עם מקדמים

פרקו לגורמים: $4a^{2} - 25$

4 a^{2} - 25 = (2 a)^{2} - 5^{2} = (2 a + 5) (2 a - 5)

שלב 1 — מזהים ריבועים

4a^{2} = (2a)^{2}, 25 = 5^{2}

בדיקה מהירה

פרקו לגורמים: $x^{2} - 9$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $100a^{2} - 49b^{2} = (10a+7b)(10a-7b)$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: עם שני משתנים

פרקו לגורמים: $9x^{2} - 16y^{2}$

9 x^{2} - 16 y^{2} = (3 x)^{2} - (4 y)^{2} = (3 x + 4 y) (3 x - 4 y)

שלב 1 — מזהים

9x^{2} = (3x)^{2}, 16y^{2} = (4y)^{2}

דוגמה 4: חישוב מהיר - מכפלה

חשבו: $101 \times 99$

101 \times 99 = (100 + 1) (100 - 1) = 10 0^{2} - 1^{2} = 9999

שלב 1 — מזהים את המבנה

101 = 100+1, 99 = 100-1

. זה

(a+b)(a-b)

תשובה מספרית

חשבו באמצעות הפרש ריבועים: $101 \times 99 = ?$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: חישוב הפרש ריבועים

חשבו: $51^{2} - 49^{2}$

5 1^{2} - 4 9^{2} = (51 + 49) (51 - 49) = 100 \times 2 = 200

הרבה יותר מהיר מלחשב כל ריבוע בנפרד!

שלב 1 — מיישמים

(51+49)(51-49)

תשובה מספרית

חשבו באמצעות הפרש ריבועים: $51^{2} - 49^{2} = ?$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חשבו: $100^{2} - 99^{2} = ?$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 6: הוצאת גורם משותף קודם

פרקו לגורמים: $2x^{2} - 50$

2 x^{2} - 50 = 2 (x^{2} - 25) = 2 (x + 5) (x - 5)

טיפ: תמיד בדקו אם יש גורם משותף לפני שמפרקים!

שלב 1 — מוציאים גורם משותף

2x^{2} - 50 = 2(x^{2} - 25)

דוגמה 7: פירוק כפול

פרקו לגורמים: $x^{4} - 16$

x^{4} - 16 = (x^{2} + 4) (x^{2} - 4) = (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)

שימו לב: $x^{2} + 4$ אי אפשר לפרק יותר (כי זה סכום, לא הפרש!)

שלב 1 — פירוק ראשון

x^{4} - 16 = (x^{2})^{2} - 4^{2} = (x^{2}+4)(x^{2}-4)

דוגמה 8: הפרש ריבועים של ביטויים

פרקו: $(x+3)^{2} - (x-1)^{2}$

(x + 3)^{2} - (x - 1)^{2} = [(x + 3) + (x - 1)] [(x + 3) - (x - 1)] = (2 x + 2) \cdot 4 = 8 x + 8

שלב 1 — מזהים a ו-b

a = (x+3), b = (x-1)

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מנסים לפרק סכום ריבועים

טעות: $x^{2} + 9 = (x + 3) (x - 3)$

נכון: $x^{2} + 9$ אינו ניתן לפירוק!

רק $x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3)$

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים בין הפרש ריבועים לסכום ריבועים.

איך מתקנים?

נוסחת הפרש ריבועים עובדת רק על

a^{2}-b^{2} (

מינוס!). אי אפשר לפרק

a^{2}+b^{2}

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $x^{2} + 16 = (x+4)(x-4)$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: שוכחים שורש של המקדם

טעות: $4 x^{2} - 9 = (4 x + 3) (4 x - 3)$

נכון: $4 x^{2} - 9 = (2 x + 3) (2 x - 3)$

$4 x^{2} = 2 x$ !

למה זה קורה?

תלמידים מפרקים

4x^{2}-9

כ-

(4x+3)(4x-3)

במקום

(2x+3)(2x-3)

איך מתקנים?

צריך לקחת שורש ריבועי:

\sqrt{4x^{2}} = 2x

, לא 4x!

טעות נפוצה: מבלבלים בין הפרש ריבועים לריבוע הפרש

הפרש ריבועים: $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

ריבוע הפרש: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

שתי נוסחאות שונות לגמרי!

למה זה קורה?

השמות דומים מאוד.

איך מתקנים?

הפרש ריבועים:

a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)

. ריבוע הפרש:

(a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}

. נוסחאות שונות!

טעות נפוצה: לא מזהים הפרש ריבועים כשהסדר הפוך

36 - x^{2} = 6^{2} - x^{2} = (6 + x) (6 - x)

הסדר לא משנה!

למה זה קורה?

תלמידים לא רואים ש-

36-x^{2}

זה גם הפרש ריבועים.

איך מתקנים?

36-x^{2} = 6^{2}-x^{2} = (6+x)(6-x)

. הנוסחה עובדת בכל סדר!

בדיקה מהירה

פרקו לגורמים: $36 - x^{2}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: לא מוציאים גורם משותף לפני הפירוק

טעות: לא ניתן לפרק $2 x^{2} - 8$

נכון: $2 x^{2} - 8 = 2 (x^{2} - 4) = 2 (x + 2) (x - 2)$

למה זה קורה?

תלמידים מנסים ישר להשתמש בנוסחה.

איך מתקנים?

תמיד בדקו גורם משותף קודם

! 2x^{2}-8 = 2(x^{2}-4) = 2(x+2)(x-2)

טעות נפוצה: עוצרים בפירוק חלקי

חלקי: $x^{4} - 16 = (x^{2} + 4) (x^{2} - 4)$

מלא: $x^{4} - 16 = (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$

למה זה קורה?

תלמידים לא בודקים אם אפשר לפרק שוב.

איך מתקנים?

תמיד בדקו: האם הגורמים עצמם ניתנים לפירוק

? x^{4}-16

דורש שני שלבים.

טעות נפוצה: שוכחים לכתוב סימן מינוס נכון

$x^{2} - 25 = (x + 5) (x - 5)$ , לא (x-5)(x+5)

(אם כי מתמטית שניהם שווים, המוסכמה היא לכתוב את הסכום קודם)

למה זה קורה?

כשמפרקים

(a+b)(a-b)

שוכחים שהסדר חשוב.

איך מתקנים?

זכרו:

(a+b)(a-b)

. הסכום קודם, ההפרש אחריו.

טעות נפוצה: חושבים שהנוסחה עובדת רק עם מספרים שלמים

x^{2} - 7 = (x + 7) (x - 7)

הנוסחה עובדת גם עם שורשים!

למה זה קורה?

תלמידים לא מנסים עם שברים או שורשים.

איך מתקנים?

הנוסחה עובדת עם כל ביטוי

! x^{2}-7 = (x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $x^{2} - 10$ אינו ניתן לפירוק על ידי הפרש ריבועים (בשלמים)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: לא מזהים $(a+b)(a-b)$ בכיוון ההפוך

טעות: $(x + 7) (x - 7) = x^{2} - 7 x + 7 x - 49 = x^{2} - 49$ (דרך ארוכה)

מהר: $(x + 7) (x - 7) = x^{2} - 49$ (ישר מהנוסחה!)

למה זה קורה?

תלמידים לא רואים שמכפלת סכום בהפרש = הפרש ריבועים.

איך מתקנים?

(x+7)(x-7) = x^{2}-49

. המכפלה נותנת דו-איבר, לא תלת-איבר!

בדיקה מהירה

פתחו: $(x+7)(x-7)$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: טעות בחישוב $(a+b)(a-b)$ כאשר a ו-b ביטויים

טעות: (x+3)-(x-1) = 2

נכון: (x+3)-(x-1) = x+3-x+1 = 4

המינוס מפיץ לכל האיברים בסוגריים!

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים לפתוח סוגריים בזהירות.

איך מתקנים?

(x+3)-(x-1) = x+3-x+1 = 4

, לא

x+3-x-1 = 2

טעות נפוצה: מפרקים $x^{2}-5x+6$ כהפרש ריבועים

$x^{2} - 5 x + 6$ — לא הפרש ריבועים (שלושה איברים!)

$x^{2} - 9$ — כן הפרש ריבועים (שני איברים)

למה זה קורה?

יש

x^{2}

ומינוס, אז חושבים שזה הפרש ריבועים.

איך מתקנים?

הפרש ריבועים = שני איברים בלבד

(a^{2}-b^{2})

. אם יש שלושה איברים, זה לא הפרש ריבועים!

בדיקה מהירה

איזה מהביטויים הבאים ניתן לפרק באמצעות הפרש ריבועים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: שוכחים שלפרק $x^{3}-9x$ צריך קודם גורם משותף

x^{3} - 9 x = x (x^{2} - 9) = x (x + 3) (x - 3)

תמיד בדקו גורם משותף!

למה זה קורה?

ביטוי עם

x^{3}

לא נראה כמו הפרש ריבועים.

איך מתקנים?

x^{3}-9x = x(x^{2}-9) = x(x+3)(x-3)

. הוציאו גורם משותף קודם!

טעות נפוצה: כותבים $x^{2}-9 = (x-3)^{2}$

טעות: $x^{2} - 9 = (x - 3)^{2}$

נכון: $x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3)$

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים בין הפרש ריבועים לריבוע הפרש.

איך מתקנים?

(x-3)^{2} = x^{2}-6x+9

, לא

x^{2}-9

! הפרש ריבועים נותן שני גורמים שונים:

(x+3)(x-3)

טעות נפוצה: חישוב שגוי של $52 \times 48$

טיפ: $52 \times 48 = (50 + 2) (50 - 2) = 2500 - 4 = 2496$

חפשו את המספר שבאמצע!

למה זה קורה?

תלמידים לא מזהים את המבנה.

איך מתקנים?

52 \times 48 = (50+2)(50-2) = 50^{2}-4 = 2496

. מצאו את המספר העגול באמצע!

טעות נפוצה: שוכחים לפרק את שני הגורמים

חלקי: $x^{4} - 81 = (x^{2} + 9) (x^{2} - 9)$

מלא: $x^{4} - 81 = (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$

למה זה קורה?

כשמפרקים

x^{4}-81

, עוצרים אחרי פירוק ראשון.

איך מתקנים?

(x^{2}+9)(x^{2}-9)

— בדקו:

x^{2}-9

עדיין ניתן לפירוק

! = (x+3)(x-3)

טעות נפוצה: שוכחים ש- $a^{2}b^{2}=(ab)^{2}$

a^{2} b^{2} - 4 = (ab)^{2} - 2^{2} = (ab + 2) (ab - 2)

למה זה קורה?

תלמידים לא מזהים ש-

a^{2}b^{2}

הוא ריבוע.

איך מתקנים?

a^{2}b^{2} = (ab)^{2}

. לכן

a^{2}b^{2}-4 = (ab+2)(ab-2)

סיכום

מה למדנו?

נוסחת הפרש ריבועים: $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

שימושים:

פירוק: $x^{2} - 49 = (x + 7) (x - 7)$
חישוב מהיר: $101 \times 99 = 10 0^{2} - 1 = 9999$
פירוק כפול: $x^{4} - 16 = (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$

טיפים:

תמיד בדקו גורם משותף קודם!
בדקו אם אפשר לפרק שוב!
הנוסחה עובדת רק על הפרש (מינוס), לא על סכום!

כל הכבוד! עכשיו אתם שולטים בנוסחת הפרש הריבועים!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הפרש ריבועים!

נוסחת הפרש ריבועים

נוסחת הפרש ריבועים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: פירוק בסיסי

פרקו לגורמים: x2−9x^{2} - 9x2−9

דוגמה 2: עם מקדמים

פרקו לגורמים: 4a2−254a^{2} - 254a2−25

דוגמה 3: עם שני משתנים

פרקו לגורמים: 9x2−16y29x^{2} - 16y^{2}9x2−16y2

דוגמה 4: חישוב מהיר - מכפלה

חשבו: 101×99101 \times 99101×99

דוגמה 5: חישוב הפרש ריבועים

חשבו: 512−49251^{2} - 49^{2}512−492

דוגמה 6: הוצאת גורם משותף קודם

פרקו לגורמים: 2x2−502x^{2} - 502x2−50

דוגמה 7: פירוק כפול

פרקו לגורמים: x4−16x^{4} - 16x4−16

דוגמה 8: הפרש ריבועים של ביטויים

פרקו: (x+3)2−(x−1)2(x+3)^{2} - (x-1)^{2}(x+3)2−(x−1)2

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מנסים לפרק סכום ריבועים

טעות נפוצה: שוכחים שורש של המקדם

טעות נפוצה: מבלבלים בין הפרש ריבועים לריבוע הפרש

טעות נפוצה: לא מזהים הפרש ריבועים כשהסדר הפוך

טעות נפוצה: לא מוציאים גורם משותף לפני הפירוק

טעות נפוצה: עוצרים בפירוק חלקי

טעות נפוצה: שוכחים לכתוב סימן מינוס נכון

טעות נפוצה: חושבים שהנוסחה עובדת רק עם מספרים שלמים

טעות נפוצה: לא מזהים (a+b)(a−b)(a+b)(a-b)(a+b)(a−b) בכיוון ההפוך

טעות נפוצה: טעות בחישוב (a+b)(a−b)(a+b)(a-b)(a+b)(a−b) כאשר a ו-b ביטויים

טעות נפוצה: מפרקים x2−5x+6x^{2}-5x+6x2−5x+6 כהפרש ריבועים

טעות נפוצה: שוכחים שלפרק x3−9xx^{3}-9xx3−9x צריך קודם גורם משותף

טעות נפוצה: כותבים x2−9=(x−3)2x^{2}-9 = (x-3)^{2}x2−9=(x−3)2

טעות נפוצה: חישוב שגוי של 52×4852 \times 4852×48

טעות נפוצה: שוכחים לפרק את שני הגורמים

טעות נפוצה: שוכחים ש-a2b2=(ab)2a^{2}b^{2}=(ab)^{2}a2b2=(ab)2

סיכום

תרגול נוסף

פרקו לגורמים: $x^{2} - 9$

פרקו לגורמים: $4a^{2} - 25$

פרקו לגורמים: $9x^{2} - 16y^{2}$

חשבו: $101 \times 99$

חשבו: $51^{2} - 49^{2}$

פרקו לגורמים: $2x^{2} - 50$

פרקו לגורמים: $x^{4} - 16$

פרקו: $(x+3)^{2} - (x-1)^{2}$

טעות נפוצה: לא מזהים $(a+b)(a-b)$ בכיוון ההפוך

טעות נפוצה: טעות בחישוב $(a+b)(a-b)$ כאשר a ו-b ביטויים

טעות נפוצה: מפרקים $x^{2}-5x+6$ כהפרש ריבועים

טעות נפוצה: שוכחים שלפרק $x^{3}-9x$ צריך קודם גורם משותף

טעות נפוצה: כותבים $x^{2}-9 = (x-3)^{2}$

טעות נפוצה: חישוב שגוי של $52 \times 48$

טעות נפוצה: שוכחים ש- $a^{2}b^{2}=(ab)^{2}$