פירוק באמצעות זהויות

מבוא

מה נלמד היום?

התלמיד יוכל לזהות ביטויים שמתאימים לזהויות כפל מקוצר
התלמיד יוכל לפרק ביטוי מהצורה $a^{2} + 2 ab + b^{2}$ ל- $(a + b)^{2}$
התלמיד יוכל לפרק ביטוי מהצורה $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ ל- $(a - b)^{2}$
התלמיד יוכל לפרק ביטוי מהצורה $a^{2} - b^{2}$ ל-(a+b)(a-b)
התלמיד יוכל לשלב הוצאת גורם משותף עם פירוק באמצעות זהויות

הרעיון המרכזי

שלוש הזהויות לפירוק

פירוק באמצעות זהויות הוא התהליך ההפוך לפתיחת סוגריים בכפל מקוצר.

זהות 1 — ריבוע סכום: $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$

זהות 2 — ריבוע הפרש: $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$

זהות 3 — הפרש ריבועים: $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

איך מזהים?

ריבוע סכום/הפרש: תלת-איבר שהאיבר הראשון והאחרון הם ריבועים, והאיבר האמצעי הוא $\pm 2 ab$
הפרש ריבועים: דו-איבר שהוא הפרש בין שני ריבועים

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ריבוע סכום — מקרה בסיסי

פרקו לגורמים: $x^{2} + 6x + 9$

x^{2} + 6 x + 9 = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = (x + 3)^{2}

בדיקה: $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ ✓

שלב 1 — בודקים אם האיבר הראשון ריבוע

x^{2} = (x)^{2} ✓

תשובה מספרית

מהו הערך של b בזהות $(x+b)^{2} = x^{2} + 8x + 16$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

אם $x^{2} + bx + 49 = (x+7)^{2}$ , מהו b?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: ריבוע הפרש

פרקו לגורמים: $x^{2} - 10x + 25$

x^{2} - 10 x + 25 = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2} = (x - 5)^{2}

סימן שלילי באיבר האמצעי → ריבוע הפרש!

שלב 1 — בודקים ריבועים

x^{2} = (x)^{2}, 25 = (5)^{2} ✓

בדיקה מהירה

פרקו לגורמים: $x^{2} + 6x + 9$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

פרקו לגורמים: $x^{2} - 10x + 25$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

פרקו: $x^{2} - 14x + 49$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: הפרש ריבועים

פרקו לגורמים: $4x^{2} - 25$

4 x^{2} - 25 = (2 x)^{2} - 5^{2} = (2 x + 5) (2 x - 5)

שלב 1 — מזהים ריבועים

4x^{2} = (2x)^{2}, 25 = (5)^{2}

בדיקה מהירה

איזו זהות מתאימה לפירוק $4x^{2} - 25$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

פרקו לגורמים: $x^{2} - 9$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא: $x^{2} - 16 = (x-4)(x+4)$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: ריבוע סכום עם מקדמים

פרקו לגורמים: $4x^{2} + 12x + 9$

4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x)^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot 3 + 3^{2} = (2 x + 3)^{2}

כאן a = 2x ו-b = 3.

שלב 1 — בודקים ריבועים

4x^{2} = (2x)^{2}, 9 = (3)^{2} ✓

בדיקה מהירה

פרקו: $25a^{2} - 30a + 9$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: הוצאת גורם משותף לפני שימוש בזהות

פרקו לגורמים: $3x^{2} - 12$

3 x^{2} - 12 = 3 (x^{2} - 4) = 3 (x + 2) (x - 2)

טיפ: תמיד בדקו אם יש גורם משותף לפני שמנסים להשתמש בזהות!

שלב 1 — מוציאים גורם משותף

3x^{2} - 12 = 3(x^{2} - 4)

דוגמה 6: הפרש ריבועים עם שני משתנים

פרקו לגורמים: $9a^{2} - 16b^{2}$

9 a^{2} - 16 b^{2} = (3 a)^{2} - (4 b)^{2} = (3 a + 4 b) (3 a - 4 b)

שלב 1 — מזהים ריבועים

9a^{2} = (3a)^{2}, 16b^{2} = (4b)^{2}

בדיקה מהירה

פרקו: $9x^{2} - 1$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חשבו בראש: $47^{2} - 53^{2} = ?$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 7: ריבוע הפרש עם שני משתנים

פרקו לגורמים: $x^{2} - 8xy + 16y^{2}$

x^{2} - 8 x y + 16 y^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 y + (4 y)^{2} = (x - 4 y)^{2}

שלב 1 — בודקים ריבועים

x^{2} = (x)^{2}, 16y^{2} = (4y)^{2} ✓

דוגמה 8: פירוק כפול — הפרש ריבועים בשני שלבים

פרקו לגורמים: $x^{4} - 81$

x^{4} - 81 = (x^{2} + 9) (x^{2} - 9) = (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)

שימו לב: $x^{2} + 9$ אינו ניתן לפירוק (סכום ריבועים, לא הפרש!). תמיד בדקו אם אפשר לפרק עוד!

שלב 1 — מזהים הפרש ריבועים

x^{4} = (x^{2})^{2}, 81 = (9)^{2}

. לכן:

(x^{2} + 9)(x^{2} - 9)

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין ריבוע סכום להפרש ריבועים

טעות: $x^{2} + 9 = (x + 3)^{2}$

נכון: $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$

$x^{2} + 9$ אינו ריבוע סכום (חסר 6x!) ואינו ניתן לפירוק.

למה זה קורה?

תלמידים רואים

a^{2} + b^{2}

וחושבים שזה

(a+b)^{2}

איך מתקנים?

(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

, לא

a^{2} + b^{2}

! חסר האיבר האמצעי 2ab.

טעות נפוצה: מנסים לפרק סכום ריבועים כהפרש ריבועים

טעות: $x^{2} + 4 = (x + 2) (x - 2)$

נכון: $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 4$ , לא $x^{2} + 4$ !

$x^{2} + 4$ אינו ניתן לפירוק.

למה זה קורה?

תלמידים רואים שני ריבועים ומנסים ליישם את הנוסחה.

איך מתקנים?

הפרש ריבועים עובד רק עם מינוס

! a^{2} + b^{2}

לא ניתן לפירוק.

טעות נפוצה: שוכחים את ה-2 באיבר האמצעי

טעות: $x^{2} + 5 x + 25 = (x + 5)^{2}$

נכון: $(x + 5)^{2} = x^{2} + 10 x + 25$

האיבר האמצעי צריך להיות $2 \cdot x \cdot 5 = 10 x$ , לא 5x.

למה זה קורה?

תלמידים כותבים

(a+b)^{2} = a^{2} + ab + b^{2}

במקום

a^{2} + 2ab + b^{2}

איך מתקנים?

חייב להיות 2ab! בדקו:

(x+3)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 9 = x^{2} + 6x + 9

טעות נפוצה: שוכחים שורש של המקדם

טעות: $4 x^{2} - 25 = (4 x + 5) (4 x - 5)$

נכון: $4 x^{2} - 25 = (2 x + 5) (2 x - 5)$

$4 x^{2} = 2 x$ !

למה זה קורה?

תלמידים לא מחשבים שורש ריבועי של המקדם.

איך מתקנים?

\sqrt{4x^{2}} = 2x

, לא

4x! \sqrt{9a^{2}} = 3a

, לא 9a!

טעות נפוצה: מפרקים $x^{2} - 9$ כ- $(x-3)^{2}$

טעות: $x^{2} - 9 = (x - 3)^{2}$

נכון: $x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3)$

(x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x + 9 \neq = x^{2} - 9

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים בין הפרש ריבועים

(a^{2}-b^{2})

לריבוע הפרש

(a-b)^{2}

איך מתקנים?

הפרש ריבועים:

x^{2}-9 = (x+3)(x-3)

. ריבוע הפרש:

(x-3)^{2} = x^{2}-6x+9

. שונה לחלוטין!

טעות נפוצה: לא בודקים את האיבר האמצעי

טעות: $x^{2} + 7 x + 9 = (x + 3)^{2}$

בדיקה: $2 \cdot x \cdot 3 = 6 x \neq = 7 x$ — לא מתאים!

$x^{2} + 7 x + 9$ אינו ריבוע דו-איבר.

למה זה קורה?

תלמידים רואים ריבוע בהתחלה ובסוף וישר כותבים פירוק בלי לוודא.

איך מתקנים?

חובה לבדוק: האם האיבר האמצעי שווה ל-2ab? אם לא — זה לא ריבוע סכום/הפרש!

טעות נפוצה: לא מוציאים גורם משותף לפני הפירוק

טעות: $2 x^{2} - 8$ — "אי אפשר לפרק, זה לא הפרש ריבועים מושלם"

נכון: $2 x^{2} - 8 = 2 (x^{2} - 4) = 2 (x + 2) (x - 2)$

למה זה קורה?

תלמידים מנסים ישר להשתמש בזהות בלי לפשט קודם.

איך מתקנים?

תמיד בדקו גורם משותף קודם

! 2x^{2} - 8 = 2(x^{2} - 4) = 2(x+2)(x-2)

טעות נפוצה: עוצרים בפירוק חלקי ולא ממשיכים

חלקי: $x^{4} - 16 = (x^{2} + 4) (x^{2} - 4)$

מלא: $x^{4} - 16 = (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$

$x^{2} - 4$ עדיין ניתן לפירוק!

למה זה קורה?

תלמידים מפרקים שלב אחד ולא בודקים אם אפשר לפרק עוד.

איך מתקנים?

תמיד בדקו: האם הגורמים שקיבלתם ניתנים לפירוק נוסף?

טעות נפוצה: בלבול סימנים בריבוע הפרש

טעות: $(x - 5)^{2} = x^{2} - 10 x - 25$

נכון: $(x - 5)^{2} = x^{2} - 10 x + 25$

ריבוע תמיד חיובי: $(- 5)^{2} = + 25$ !

למה זה קורה?

תלמידים כותבים

(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab - b^{2}

במקום

a^{2} - 2ab + b^{2}

איך מתקנים?

בריבוע הפרש האיבר האחרון תמיד חיובי

! (a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}

טעות נפוצה: מפרקים $x^{2} + 2x + 1$ כ- $(x+1)(x-1)$

טעות: $x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1) (x - 1)$

נכון: $x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}$

$(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$ — ביטוי אחר לגמרי!

למה זה קורה?

תלמידים מערבבים בין הזהויות.

איך מתקנים?

x^{2} + 2x + 1

הוא ריבוע סכום:

(x+1)^{2}

. זה לא הפרש ריבועים

! (x+1)(x-1) = x^{2}-1

טעות נפוצה: לא מזהים הפרש ריבועים כשהמספרים לא 'עגולים'

x^{2} - 7 = (x + 7) (x - 7)

הנוסחה עובדת עם כל מספר חיובי, לא רק ריבועים שלמים!

למה זה קורה?

תלמידים מזהים

x^{2}-4, x^{2}-9, x^{2}-16

, אבל לא

x^{2}-7

איך מתקנים?

x^{2}-7 = x^{2}-(\sqrt{7})^{2} = (x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})

. הנוסחה עובדת גם עם שורשים!

טעות נפוצה: לא מזהים 1 כריבוע

טעות: $x^{2} - 1$ — "אינו הפרש ריבועים"

נכון: $x^{2} - 1 = x^{2} - 1^{2} = (x + 1) (x - 1)$

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים ש-

1 = 1^{2}

ולכן

x^{2} - 1

הוא הפרש ריבועים.

איך מתקנים?

1 = 1^{2}

. לכן

x^{2} - 1 = (x+1)(x-1)

טעות נפוצה: מפרקים $4x^{2} + 9$ כ- $(2x+3)(2x-3)$

טעות: $4 x^{2} + 9 = (2 x + 3) (2 x - 3)$

נכון: $(2 x + 3) (2 x - 3) = 4 x^{2} - 9$

$4 x^{2} + 9$ — סכום ריבועים, אינו ניתן לפירוק!

למה זה קורה?

תלמידים רואים שני ריבועים ומפרקים אוטומטית, בלי לשים לב שזה סכום.

איך מתקנים?

(2x+3)(2x-3) = 4x^{2} - 9

, לא

4x^{2} + 9

! הפרש ריבועים עובד רק עם מינוס.

טעות נפוצה: טועים בזיהוי a ו-b כשיש מקדמים

טעות: $4 x^{2} + 12 x + 9 = (4 x + 9)^{2}$

נכון: $4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}$

$a = 4 x^{2} = 2 x$ , $b = 9 = 3$

למה זה קורה?

תלמידים לא לוקחים שורש ריבועי של כל האיבר.

איך מתקנים?

ב-

4x^{2} + 12x + 9

, צריך

a = 2x

ו-

b = 3

. בודקים:

2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x ✓

טעות נפוצה: לא מנסים פירוק בכלל כי 'זה נראה מסובך'

דוגמה: $50 x^{2} - 72 y^{2}$ — נראה מסובך?

שלב 1: גורם משותף: $2 (25 x^{2} - 36 y^{2})$

שלב 2: הפרש ריבועים: 2(5x+6y)(5x-6y)

עקבו אחרי השלבים!

למה זה קורה?

תלמידים מוותרים כשהביטוי נראה מורכב.

איך מתקנים?

עקבו אחרי התהליך בסדר:

(1)

גורם משותף

, (2)

בדקו ריבוע דו-איבר

, (3)

בדקו הפרש ריבועים.

טעות נפוצה: כותבים $(a-b)^{2} = (b-a)^{2}$ ולא מבינים למה

(x - 3)^{2} = (3 - x)^{2}

למה? (3-x) = -(x-3), ולכן $(3 - x)^{2} = [- (x - 3)]^{2} = (x - 3)^{2}$

ריבוע תמיד חיובי, לכן הסדר לא משנה!

למה זה קורה?

תלמידים לא בטוחים אם הסדר משנה בריבוע הפרש.

איך מתקנים?

(a-b)^{2} = (b-a)^{2}

כי

(-1)^{2} = 1

. לכן

(x-3)^{2} = (3-x)^{2}

. הסדר לא משנה בריבוע!

נכון או לא נכון

נכון או לא: $x^{2} + 4 = (x+2)(x-2)$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

שלוש הזהויות לפירוק:

ריבוע סכום: $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$
ריבוע הפרש: $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$
הפרש ריבועים: $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

שלבי העבודה:

גורם משותף — תמיד קודם!
זיהוי — מהי הזהות המתאימה?
בדיקה — האם האיבר האמצעי מתאים? (בריבוע דו-איבר)
פירוק נוסף — האם אפשר להמשיך?

דוגמאות:

$x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$
$x^{2} - 10 x + 25 = (x - 5)^{2}$
$4 x^{2} - 25 = (2 x + 5) (2 x - 5)$
$3 x^{2} - 12 = 3 (x + 2) (x - 2)$

כל הכבוד! עכשיו אתם שולטים בפירוק באמצעות זהויות!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פירוק באמצעות זהויות!

פירוק באמצעות זהויות

פירוק באמצעות זהויות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ריבוע סכום — מקרה בסיסי

פרקו לגורמים: x2+6x+9x^{2} + 6x + 9x2+6x+9

דוגמה 2: ריבוע הפרש

פרקו לגורמים: x2−10x+25x^{2} - 10x + 25x2−10x+25

דוגמה 3: הפרש ריבועים

פרקו לגורמים: 4x2−254x^{2} - 254x2−25

דוגמה 4: ריבוע סכום עם מקדמים

פרקו לגורמים: 4x2+12x+94x^{2} + 12x + 94x2+12x+9

דוגמה 5: הוצאת גורם משותף לפני שימוש בזהות

פרקו לגורמים: 3x2−123x^{2} - 123x2−12

דוגמה 6: הפרש ריבועים עם שני משתנים

פרקו לגורמים: 9a2−16b29a^{2} - 16b^{2}9a2−16b2

דוגמה 7: ריבוע הפרש עם שני משתנים

פרקו לגורמים: x2−8xy+16y2x^{2} - 8xy + 16y^{2}x2−8xy+16y2

דוגמה 8: פירוק כפול — הפרש ריבועים בשני שלבים

פרקו לגורמים: x4−81x^{4} - 81x4−81

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין ריבוע סכום להפרש ריבועים

טעות נפוצה: מנסים לפרק סכום ריבועים כהפרש ריבועים

טעות נפוצה: שוכחים את ה-2 באיבר האמצעי

טעות נפוצה: שוכחים שורש של המקדם

טעות נפוצה: מפרקים x2−9x^{2} - 9x2−9 כ-(x−3)2(x-3)^{2}(x−3)2

טעות נפוצה: לא בודקים את האיבר האמצעי

טעות נפוצה: לא מוציאים גורם משותף לפני הפירוק

טעות נפוצה: עוצרים בפירוק חלקי ולא ממשיכים

טעות נפוצה: בלבול סימנים בריבוע הפרש

טעות נפוצה: מפרקים x2+2x+1x^{2} + 2x + 1x2+2x+1 כ-(x+1)(x−1)(x+1)(x-1)(x+1)(x−1)

טעות נפוצה: לא מזהים הפרש ריבועים כשהמספרים לא 'עגולים'

טעות נפוצה: לא מזהים 1 כריבוע

טעות נפוצה: מפרקים 4x2+94x^{2} + 94x2+9 כ-(2x+3)(2x−3)(2x+3)(2x-3)(2x+3)(2x−3)

טעות נפוצה: טועים בזיהוי a ו-b כשיש מקדמים

טעות נפוצה: לא מנסים פירוק בכלל כי 'זה נראה מסובך'

טעות נפוצה: כותבים (a−b)2=(b−a)2(a-b)^{2} = (b-a)^{2}(a−b)2=(b−a)2 ולא מבינים למה

סיכום

תרגול נוסף

פרקו לגורמים: $x^{2} + 6x + 9$

פרקו לגורמים: $x^{2} - 10x + 25$

פרקו לגורמים: $4x^{2} - 25$

פרקו לגורמים: $4x^{2} + 12x + 9$

פרקו לגורמים: $3x^{2} - 12$

פרקו לגורמים: $9a^{2} - 16b^{2}$

פרקו לגורמים: $x^{2} - 8xy + 16y^{2}$

פרקו לגורמים: $x^{4} - 81$

טעות נפוצה: מפרקים $x^{2} - 9$ כ- $(x-3)^{2}$

טעות נפוצה: מפרקים $x^{2} + 2x + 1$ כ- $(x+1)(x-1)$

טעות נפוצה: מפרקים $4x^{2} + 9$ כ- $(2x+3)(2x-3)$

טעות נפוצה: כותבים $(a-b)^{2} = (b-a)^{2}$ ולא מבינים למה