זוויות היקפיות וזוויות מרכזיות

מבוא

מטרות השיעור

בסוף שיעור זה תוכלו:

להגדיר זווית מרכזית וזווית היקפית
ליישם את המשפט: זווית היקפית = חצי הקשת שהיא חוסמת
ליישם את משפט תאלס: זווית היקפית על קוטר = 90°
להכיר את הכלל: זוויות היקפיות על אותה קשת שוות
לחשב זוויות במרובע חסום במעגל (ציקלי)

לאחר שלמדנו את מושגי היסוד של המעגל ומיתרים, נעבור לנושא מרכזי ויפהפה — זוויות במעגל. הקשר בין זוויות היקפיות, זוויות מרכזיות וקשתות הוא אחד הכלים החזקים ביותר בגאומטריית המעגל.

הרעיון המרכזי

זוויות במעגל — הגדרות ומשפטים

זווית מרכזית — זווית שקודקודה במרכז המעגל O וצלעותיה הן רדיוסים. גודלה שווה לקשת שהיא חוסמת.

זווית היקפית — זווית שקודקודה על המעגל וצלעותיה הן מיתרים (או חלקי מיתרים).

משפטים מרכזיים:

זווית היקפית = חצי הקשת שהיא חוסמת: $∠ A CB = \frac{1}{2} \cdot A B ⌢$
קשר היקפית-מרכזית: זווית היקפית = חצי הזווית המרכזית על אותה קשת: $∠ A CB = \frac{1}{2} ∠ A OB$
זוויות היקפיות על אותה קשת שוות: אם C, D על אותו צד, אז $∠ A CB = ∠ A D B$
משפט תאלס: זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל-90°. וההיפך: אם $∠ A CB = 90°$ אז AB הוא קוטר.
מרובע ציקלי (חסום במעגל): סכום כל זוג זוויות נגדיות = 180°

בדיקה מהירה

מהי זווית מרכזית במעגל?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהי זווית היקפית במעגל?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: זווית מרכזית שווה לקשת שהיא חוסמת.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

חישוב זווית היקפית מזווית מרכזית

שאלה: $∠ A OB = 120°$ (זווית מרכזית). מהו גודל הזווית ההיקפית $∠ A CB$ על אותה קשת?

מה נתון

מעגל שמרכזו

O. \angle AOB = 120^{\circ} (

זווית מרכזית). C נקודה על הקשת הגדולה.

בדיקה מהירה

מהו הקשר בין זווית היקפית לקשת שהיא חוסמת?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

זווית מרכזית $\angle AOB = 120^{\circ}$ . מהו גודל הזווית ההיקפית ∠ACB הנשענת על אותה קשת AB (C על המעגל, בצד הנגדי ל-O)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

חישוב זווית מרכזית מזווית היקפית

שאלה: $∠ A CB = 50°$ . מהו $∠ A OB$ ?

מה נתון

\angle ACB = 50^{\circ} (

זווית היקפית). O מרכז המעגל.

משפט תאלס — זווית על קוטר

שאלה: AB קוטר, C על המעגל. מצאו את $∠ A CB$ .

מה נתון

AB הוא קוטר במעגל. C נקודה על המעגל (שונה מ-A ו-B).

זוויות היקפיות על אותה קשת

שאלה: $∠ A CB = 35°$ . D על אותה קשת כמו C. מצאו $∠ A D B$ .

מה נתון

\angle ACB = 35^{\circ}. D

נקודה על המעגל, באותו צד כמו C ביחס ל-AB.

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל- $90^{\circ}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

שתי זוויות היקפיות ∠ACB ו-∠ADB נשענות על אותה קשת $AB. \angle ACB = 35^{\circ}$ . מהו גודל ∠ADB?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

מרובע חסום במעגל — זוויות נגדיות

שאלה: ABCD מרובע חסום. $∠ A = 70°$ . מצאו $∠ C$ .

מה נתון

ABCD מרובע חסום במעגל

. \angle A = 70^{\circ}

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: במרובע חסום במעגל, סכום כל זוג זוויות נגדיות שווה ל- $180^{\circ}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מרובע ABCD חסום במעגל $. \angle A = 70^{\circ}$ . מהו גודל ∠C?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

משוואה עם זוויות נגדיות במרובע חסום

שאלה: $∠ A = 3 x$ , $∠ C = 2 x + 30$ במרובע חסום. מצאו x.

מה נתון

ABCD חסום במעגל

. \angle A = 3x, \angle C = 2x + 30

הוכחת משפט תאלס

הוכיחו: זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל-90°.

מה נתון

AB קוטר, C על המעגל.

חישוב קשתות במעגל עם מרובע חסום

שאלה: ארבע נקודות על מעגל. קשתות: AB = 100°, BC = 80°, CD = 110°. מצאו קשת DA.

מה נתון

A, B, C, D על המעגל. קשת

AB = 100^{\circ}

, קשת

BC = 80^{\circ}

, קשת

CD = 110^{\circ}

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בין זווית מרכזית להיקפית

$∠ A OB$ (מרכזית) = הקשת. $∠ A CB$ (היקפית) = חצי הקשת. הן לא שוות!

למה זה קורה?

שתי הזוויות קשורות לאותה קשת, אבל הן לא שוות.

איך מתקנים?

זווית מרכזית: קודקוד במרכז, שווה לקשת. זווית היקפית: קודקוד על המעגל, שווה לחצי הקשת.

טעות נפוצה: חשיבה שזווית היקפית = זווית מרכזית

אם $∠ A OB = 100°$ , אז $∠ A CB = 50°$ — לא 100°!

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים את מקדם ה-

\frac{1}{2}

איך מתקנים?

זווית היקפית = חצי הזווית המרכזית על אותה קשת. לעולם לא שוות (אלא אם שתיהן 0).

טעות נפוצה: שכחה שהזווית ההיקפית צריכה להיות 'באותו צד'

C ו-D באותו צד: $∠ A CB = ∠ A D B$ . בצדדים שונים: $∠ A CB + ∠ A D B = 180°$ .

למה זה קורה?

תלמידים לא מבינים שהצד חשוב.

איך מתקנים?

זוויות היקפיות על אותה קשת שוות רק אם הקודקודים על אותו צד של המיתר. מצדדים שונים — הזוויות משלימות ל-

180^{\circ}

טעות נפוצה: חשיבה שכל מרובע ניתן לחסום במעגל

מלבן — כן. טרפז שווה-שוקיים — כן. מקבילית כללית — לא!

למה זה קורה?

תלמידים מכלילים.

איך מתקנים?

רק מרובע שסכום זוויותיו הנגדיות

= 180^{\circ}

ניתן לחסום. למשל, מקבילית כללית (שאינה מלבן) אינה חסומה.

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: כל מלבן הוא מרובע חסום במעגל.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: בלבול בין 'סכום כל הזוויות' ל'סכום זוויות נגדיות'

סכום 360° מתקיים בכל מרובע. התנאי המיוחד: $∠ A + ∠ C = 180°$ .

למה זה קורה?

בכל מרובע סכום הזוויות

360^{\circ}

. אבל זה לא מספיק למרובע חסום.

איך מתקנים?

התנאי למרובע חסום: סכום כל זוג זוויות נגדיות

= 180^{\circ}

. לא מספיק שסכום כולן

360^{\circ}

טעות נפוצה: שימוש במשפט תאלס כשהמיתר אינו קוטר

רק קוטר ⟹ 90°. מיתר רגיל ⟹ זווית היקפית = חצי הקשת (לא בהכרח 90°).

למה זה קורה?

תלמידים מניחים שכל מיתר נותן זווית

90^{\circ}

איך מתקנים?

משפט תאלס עובד רק כשהמיתר הוא קוטר (עובר דרך המרכז). מיתר רגיל נותן זווית שונה מ-

90^{\circ}

טעות נפוצה: חשיבה שמשפט תאלס תקף רק לנקודות 'מעל' הקוטר

C למעלה: $∠ A CB = 90°$ . C למטה: עדיין $∠ A CB = 90°$ !

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שהנקודה C חייבת להיות מעל הקוטר.

איך מתקנים?

C יכולה להיות בכל מקום על המעגל (חוץ מ-A ו-B). הזווית תמיד

90^{\circ}

— למעלה או למטה.

טעות נפוצה: בלבול בין ההיפוך של תאלס

ההיפוך: $∠ A CB = 90°$ ⟹ AB קוטר. זה עובד בשני הכיוונים.

למה זה קורה?

תלמידים לא מבינים שגם ההיפוך נכון.

איך מתקנים?

אם

\angle ACB = 90^{\circ}

ו-A, B, C על מעגל, אז AB חייב להיות קוטר. זהו כלי חזק לזיהוי קטרים!

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: אם $\angle ACB = 90^{\circ}$ כאשר C על המעגל, אז AB הוא בהכרח קוטר.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: שכחה שסכום קשתות $= 360^{\circ}$

אם אתם יודעים שלוש קשתות, הרביעית = 360° פחות סכום השלוש.

למה זה קורה?

תלמידים לא משתמשים בעובדה הבסיסית הזו.

איך מתקנים?

סכום כל הקשתות במעגל

= 360^{\circ}

. זה מאפשר לחשב קשתות חסרות.

טעות נפוצה: טעות בחישוב קשת גדולה

אם הקשת הקטנה = 130°, הקשת הגדולה = 360° - 130° = 230°.

למה זה קורה?

תלמידים מחשבים רק את הקשת הקטנה.

איך מתקנים?

קשת גדולה

= 360^{\circ} -

קשת קטנה. שימו לב לאיזו קשת השאלה מתייחסת.

טעות נפוצה: חשיבה שמשולש שווה-צלעות חסום ⟹ כל הקשתות $90^{\circ}$

שלוש קשתות שוות: 360° / 3 = 120°. כל זווית = 120°/2 = 60°.

למה זה קורה?

בלבול בין 'שווה' ל-'ישר-זווית'.

איך מתקנים?

במשולש שווה-צלעות חסום, כל קשת

= 120^{\circ} (

כי

\frac{360^{\circ}}{3} = 120^{\circ})

וכל זווית היקפית

= 60^{\circ}

טעות נפוצה: שכחה לבדוק מיקום הנקודה על המעגל

C על הקשת הגדולה: $∠ A CB = \frac{קשת קטנה}{2}$ . על הקטנה: $∠ A CB = \frac{קשת גדולה}{2}$ .

למה זה קורה?

תלמידים מניחים שהנקודה על הקשת הנכונה.

איך מתקנים?

שימו לב: הזווית ההיקפית תלויה באיזו קשת הקודקוד נמצא. על הקשת הגדולה — זווית אחת, על הקטנה — המשלימה.

טעות נפוצה: חשיבה שזווית בין מיתרים = חצי סכום קשתות (תמיד)

בתוך המעגל: $\frac{a + b}{2}$ . מחוץ: $\frac{a - b}{2}$ . שימו לב למיקום!

למה זה קורה?

תלמידים מיישמים את הנוסחה הלא נכונה.

איך מתקנים?

זווית בין מיתרים נחתכים בתוך המעגל = חצי סכום שתי קשתות נגדיות. מחוץ למעגל = חצי ההפרש.

טעות נפוצה: בלבול באיזו קשת הזווית ההיקפית 'נשענת'

$∠ A CB$ נשענת על קשת AB — זו שלא מכילה את C.

למה זה קורה?

תלמידים לא יודעים לזהות את הקשת הנכונה.

איך מתקנים?

הזווית ההיקפית ∠ACB נשענת על הקשת AB שלא מכילה את C. הקודקוד C לא על הקשת!

בדיקה מהירה

במעגל, קשת $AB = 140^{\circ}$ . נקודה C על הקשת הגדולה. מהו גודל ∠ACB?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: חשיבה שטרפז כללי הוא מרובע חסום

טרפז שווה-שוקיים — חסום. טרפז כללי — לא בהכרח!

למה זה קורה?

תלמידים מכלילים מטרפז שווה-שוקיים.

איך מתקנים?

רק טרפז שווה-שוקיים הוא חסום. טרפז כללי אינו בהכרח חסום.

טעות נפוצה: חשיבה שכל מעוין הוא מרובע חסום

מעוין עם זוויות 60° ו-120°: סכום נגדיות = 60° + 120° = 180°... רגע, נכון! מעוין כן חסום? לא. במעוין זוויות נגדיות שוות: 60°+60° = 120° ≠ 180°.

למה זה קורה?

מעוין הוא מקרה מיוחד של מקבילית.

איך מתקנים?

מעוין הוא מקבילית. אלא אם כל זוויותיו

90^{\circ} (=

ריבוע), הוא לא חסום.

סיכום

סיכום השיעור

זווית מרכזית = הקשת שהיא חוסמת.
זווית היקפית = חצי הקשת = חצי הזווית המרכזית.
משפט תאלס: זווית היקפית על קוטר = 90°.
זוויות היקפיות על אותה קשת שוות.
מרובע חסום במעגל: סכום זוויות נגדיות = 180°.

זוויות היקפיות וזוויות מרכזיות

זוויות היקפיות וזוויות מרכזיות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

חישוב זווית היקפית מזווית מרכזית

חישוב זווית מרכזית מזווית היקפית

משפט תאלס — זווית על קוטר

זוויות היקפיות על אותה קשת

מרובע חסום במעגל — זוויות נגדיות

משוואה עם זוויות נגדיות במרובע חסום

הוכחת משפט תאלס

חישוב קשתות במעגל עם מרובע חסום

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בין זווית מרכזית להיקפית

טעות נפוצה: חשיבה שזווית היקפית = זווית מרכזית

טעות נפוצה: שכחה שהזווית ההיקפית צריכה להיות 'באותו צד'

טעות נפוצה: חשיבה שכל מרובע ניתן לחסום במעגל

טעות נפוצה: בלבול בין 'סכום כל הזוויות' ל'סכום זוויות נגדיות'

טעות נפוצה: שימוש במשפט תאלס כשהמיתר אינו קוטר

טעות נפוצה: חשיבה שמשפט תאלס תקף רק לנקודות 'מעל' הקוטר

טעות נפוצה: בלבול בין ההיפוך של תאלס

טעות נפוצה: שכחה שסכום קשתות =360∘= 360^{\circ}=360∘

טעות נפוצה: טעות בחישוב קשת גדולה

טעות נפוצה: חשיבה שמשולש שווה-צלעות חסום ⟹ כל הקשתות 90∘90^{\circ}90∘

טעות נפוצה: שכחה לבדוק מיקום הנקודה על המעגל

טעות נפוצה: חשיבה שזווית בין מיתרים = חצי סכום קשתות (תמיד)

טעות נפוצה: בלבול באיזו קשת הזווית ההיקפית 'נשענת'

טעות נפוצה: חשיבה שטרפז כללי הוא מרובע חסום

טעות נפוצה: חשיבה שכל מעוין הוא מרובע חסום

סיכום

טעות נפוצה: שכחה שסכום קשתות $= 360^{\circ}$

טעות נפוצה: חשיבה שמשולש שווה-צלעות חסום ⟹ כל הקשתות $90^{\circ}$