נפח מנסרה וגליל

מבוא

מה נלמד היום?

להגדיר מהי מנסרה ומהו גליל
לחשב נפח מנסרה באמצעות הנוסחה: $V = S_{בסיס} \times h$
לחשב נפח גליל באמצעות הנוסחה: $V = π r^{2} h$
לחשב שטח פנים של מנסרה וגליל
לפתור בעיות מילוליות הקשורות לנפח מנסרות וגלילים

הרעיון המרכזי

נוסחאות נפח ושטח פנים

מנסרה היא גוף תלת-ממדי שבו שני בסיסים זהים ומקבילים, והדפנות הצדדיות הן מלבנים.

נפח מנסרה:

V = S_{בסיס} \times h

כאשר $S_{בסיס}$ הוא שטח הבסיס ו-h הוא הגובה (המרחק בין שני הבסיסים).

סוגי מנסרות:

מנסרה מלבנית (תיבה): $V = a \times b \times h$
מנסרה משולשת: $V = \frac{1}{2} \times a \times h_{△} \times H$ (כאשר a ו- $h_{△}$ הם צלע וגובה המשולש, ו-H גובה המנסרה)
מנסרה שבסיסה טרפז: $V = \frac{( a + b )}{2} \times h_{טרפז} \times H$

גליל הוא גוף תלת-ממדי שבסיסיו שני עיגולים זהים ומקבילים.

נפח גליל:

V = π r^{2} h

שטח פנים של מנסרה מלבנית:

S = 2(ab + ah + bh)

שטח פנים של גליל:

S = 2 π r^{2} + 2 π r h = 2 π r (r + h)

(שני בסיסים + שטח צדדי)

בדיקה מהירה

מהי הנוסחה לנפח מנסרה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: נפח גליל שווה ל- $\pi r^{2}h$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

נפח תיבה (מנסרה מלבנית)

V = 5 \times 3 \times 8 = 120 סמ״ק

נפח התיבה הוא 120 סנטימטרים מעוקבים.

שלב 1 — נתונים

אורך

a = 5

ס״מ, רוחב

b = 3

ס״מ, גובה

h = 8

ס״מ

תשובה מספרית

חשבו את נפח תיבה (מנסרה מלבנית) שאורכה 6 ס"מ, רוחבה 4 ס"מ וגובהה 5 ס"מ.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מהו נפח קוביה שצלעה 7 ס"מ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נפח מנסרה משולשת

V = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 \times 10 = 12 \times 10 = 120 סמ״ק

קודם מחשבים את שטח הבסיס המשולש, ואז כופלים בגובה המנסרה.

שלב 1 — נתונים

צלע בסיס המשולש

a = 6

ס״מ, גובה המשולש

h\triangle = 4

ס״מ, גובה המנסרה

H = 10

ס״מ

בדיקה מהירה

מנסרה משולשת: צלע בסיס המשולש 10 ס"מ, גובה המשולש 6 ס"מ, גובה המנסרה 8 ס"מ. מהו שטח הבסיס?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חשבו את נפח מנסרה משולשת שבסיסה משולש עם צלע 10 ס"מ וגובה 6 ס"מ, וגובה המנסרה 8 ס"מ.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מנסרה משולשת שנפחה 150 סמ"ק וגובהה 10 ס"מ. מהו שטח בסיסה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נפח גליל

V = π \times 5^{2} \times 12 = 300 π \approx 942 סמ״ק

שטח הבסיס הוא $π r^{2} = 25 π$ , וכופלים בגובה 12.

שלב 1 — נתונים

רדיוס

r = 5

ס״מ, גובה

h = 12

ס״מ

תשובה מספרית

גליל שגובהו 15 ס"מ ורדיוסו 4 ס"מ. חשבו את הנפח (השתמשו ב- $\pi ≈ 3.14)$ . עגלו למספר שלם.

סטייה מותרת: ±1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נפח גליל כשנתון הקוטר

V = π \times 7^{2} \times 20 = 980 π \approx 3077.2 סמ״ק

זכרו: כשנתון קוטר, חלקו ב-2 כדי לקבל רדיוס!

שלב 1 — נתונים

קוטר

d = 14

ס״מ, גובה

h = 20

ס״מ

שטח פנים של תיבה

S = 2 (4 \times 3 + 4 \times 6 + 3 \times 6) = 2 (12 + 24 + 18) = 108 סמ״ר

שטח הפנים כולל 3 זוגות של פאות מלבניות.

שלב 1 — נתונים

a = 4

ס״מ

, b = 3

ס״מ

, h = 6

ס״מ

תשובה מספרית

חשבו את שטח הפנים של תיבה שמידותיה 5 ס"מ, 3 ס"מ ו-4 ס"מ.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

שטח פנים של גליל

S = 2 π r^{2} + 2 π r h = 2 π (3)^{2} + 2 π (3) (10) = 18 π + 60 π = 78 π \approx 244.9 סמ״ר

השטח הצדדי של גליל הוא מלבן שנפרש — אורכו הוא היקף הבסיס ( $2 π r$ ) וגובהו הוא גובה הגליל.

שלב 1 — נתונים

r = 3

ס״מ

, h = 10

ס״מ

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: שטח הפנים של גליל כולל שני עיגולים (בסיסים) ומלבן אחד (שטח צדדי)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בעיה מילולית — מילוי מיכל מים

V = π \times 0. 5^{2} \times 2 = 0.5 π מ״ק = 500 π \approx 1570 ליטר

כלל חשוב: 1 מטר מעוקב = 1000 ליטרים.

שלב 1 — הבנת השאלה

מיכל מים בצורת גליל, רדיוס 0.5 מ', גובה 2 מ'. כמה ליטרים מים הוא מכיל?

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: 1 מטר מעוקב שווה ל-1000 ליטרים

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

מנסרה שבסיסה טרפז

V = \frac{( 8 + 5 )}{2} \times 4 \times 15 = 26 \times 15 = 390 סמ״ק

הכלל תמיד אותו דבר: שטח בסיס כפול גובה!

שלב 1 — נתונים

בסיסי הטרפז:

a = 8

ס״מ

, b = 5

ס״מ. גובה הטרפז:

h = 4

ס״מ. גובה המנסרה:

H = 15

ס״מ

בדיקה מהירה

מנסרה שבסיסה טרפז עם בסיסים 8 ס"מ ו-12 ס"מ, גובה הטרפז 5 ס"מ, וגובה המנסרה 10 ס"מ. מהו הנפח?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים להכפיל את שטח הבסיס בגובה

טעות: נפח תיבה $4 \times 3$ = 12 סמ״ק

נכון: $V = 4 \times 3 \times h$ — חסר הגובה!

למה זה קורה?

תלמידים מחשבים רק את שטח הבסיס וחושבים שזה הנפח.

איך מתקנים?

נפח = שטח בסיס × גובה. השטח הוא דו-ממדי (סמ״ר), הנפח הוא תלת-ממדי (סמ״ק).

טעות נפוצה: מבלבלים בין רדיוס לקוטר

טעות: קוטר = 10, $V = π \times 1 0^{2} \times h$

נכון: r = 5, $V = π \times 5^{2} \times h$

למה זה קורה?

תלמידים מציבים את הקוטר במקום הרדיוס בנוסחת הגליל.

איך מתקנים?

הרדיוס הוא חצי הקוטר. אם נתון קוטר d, חלקו ב-

2: r = \frac{d}{2}

טעות נפוצה: שוכחים לרבע את הרדיוס

טעות: $V = π \times 5 \times 10 = 50 π$

נכון: $V = π \times 5^{2} \times 10 = 250 π$

למה זה קורה?

תלמידים כופלים

\pi \times r \times h

במקום

\pi \times r^{2} \times h

איך מתקנים?

שטח עיגול הוא

\pi r^{2}

, לא

\pi r

. צריך לרבע את הרדיוס!

טעות נפוצה: מבלבלים בין נפח לשטח פנים

טעות: ביקשו נפח, וחישבו S = 2(ab + ah + bh)

נכון: $V = a \times b \times h$

למה זה קורה?

תלמידים משתמשים בנוסחת שטח הפנים כשמבקשים נפח ולהיפך.

איך מתקנים?

נפח = כמות המקום בתוך הגוף (סמ״ק). שטח פנים = שטח העטיפה החיצונית (סמ״ר).

טעות נפוצה: שוכחים להוסיף את שני הבסיסים בשטח פנים

טעות: שטח פנים גליל = $2 π r h$

נכון: $S = 2 π r^{2} + 2 π r h$

למה זה קורה?

תלמידים מחשבים רק שטח צדדי ושוכחים את שטח שני הבסיסים.

איך מתקנים?

שטח פנים = שטח שני הבסיסים + שטח צדדי. בגליל:

S = 2\pi r^{2} + 2\pi rh

טעות נפוצה: לא ממירים יחידות נכון

טעות: $1 מ״ק = 100 סמ״ק$

נכון: $1 מ״ק = 10 0^{3} = 1, 000, 000 סמ״ק$

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים שיחידות נפח הן בחזקת 3 ויחידות שטח בחזקת 2.

איך מתקנים?

1 מ

' = 100

ס״מ, אבל 1 מ״ק

= 1{,}000,000

סמ״ק

(= 100^{3})

טעות נפוצה: מחשבים שטח בסיס משולש כמלבן

טעות: שטח בסיס משולשי = $6 \times 4 = 24$

נכון: $S = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים לחלק ב-2 כשהבסיס הוא משולש.

איך מתקנים?

שטח משולש

= \frac{1}{2} \times

צלע × גובה. אל תשכחו את ה-

\frac{1}{2}

טעות נפוצה: חושבים שכל הצדדים שווים בתיבה

טעות: $V = a^{3}$ (בתיבה שהיא לא קוביה)

נכון: $V = a \times b \times h$

למה זה קורה?

תלמידים מניחים שמנסרה מלבנית היא קוביה ומשתמשים בצלע אחת בלבד.

איך מתקנים?

קוביה היא מקרה פרטי. בתיבה כללית יש 3 מידות שונות: אורך, רוחב וגובה.

טעות נפוצה: מציבים גובה המשולש במקום גובה המנסרה

טעות: שטח בסיס = $\frac{1}{2} \times 6 \times H_{מנסרה}$

נכון: שטח בסיס = $\frac{1}{2} \times 6 \times h_{△}$ , ואז $V = S \times H_{מנסרה}$

למה זה קורה?

בשאלה יש שני 'גבהים' — אחד של הבסיס המשולש ואחד של המנסרה — ותלמידים מתבלבלים.

איך מתקנים?

גובה הבסיס משמש לחישוב שטח הבסיס. גובה המנסרה הוא המרחק בין שני הבסיסים.

טעות נפוצה: שוכחים לכתוב יחידות מתאימות

טעות: V = 120 סמ״ר

נכון: V = 120 סמ״ק

למה זה קורה?

תלמידים כותבים סמ״ר במקום סמ״ק או ללא יחידות.

איך מתקנים?

נפח תמיד ביחידות מעוקבות: סמ״ק, דמ״ק, מ״ק. שטח ביחידות מרובעות: סמ״ר, מ״ר.

טעות נפוצה: מחשבים נפח גליל עם $2\pi rh$

טעות: $V = 2 π \times 3 \times 10 = 60 π$

נכון: $V = π \times 3^{2} \times 10 = 90 π$

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים בין נוסחת השטח הצדדי של הגליל לנוסחת הנפח.

איך מתקנים?

2\pi rh

הוא השטח הצדדי. נפח הגליל הוא

\pi r^{2}h

— יש ריבוע על הרדיוס!

טעות נפוצה: מעגלים את $\pi$ מוקדם מדי

טעות: $π \approx 3.14$ , $3.14 \times 25 = 78.5$ , $78.5 \times 12 = 942$

נכון: $π \times 25 \times 12 = 300 π \approx 942.48$

למה זה קורה?

תלמידים מציבים 3.14 כבר בהתחלה ומאבדים דיוק.

איך מתקנים?

עדיף לחשב עם

\pi

עד הסוף, ולהציב 3.14 רק בשלב האחרון.

טעות נפוצה: חושבים שנפח מנסרה משולשת $= a \times b \times h$

טעות: $V = 6 \times 4 \times 10 = 240$

נכון: $V = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 \times 10 = 120$

למה זה קורה?

תלמידים מתייחסים למנסרה משולשת כמו מלבנית ושוכחים לחלק ב-2.

איך מתקנים?

בסיס משולשי → שטח הבסיס כולל חלוקה ב-

2. V = \frac{1}{2} \times

צלע × גובה_משולש × גובה_מנסרה.

טעות נפוצה: מחשבים היקף במקום שטח בסיס

טעות: $V = 2 π r \times h$

נכון: $V = π r^{2} \times h$

למה זה קורה?

תלמידים מחשבים את היקף הבסיס ומכפילים בגובה במקום שטח הבסיס.

איך מתקנים?

נפח = שטח בסיס × גובה, לא היקף בסיס × גובה. היקף × גובה = שטח צדדי.

טעות נפוצה: בהמרת מ״ק לליטרים — מכפילים ב-100

טעות: $0.5 מ״ק = 50 ליטר$

נכון: $0.5 מ״ק = 500 ליטר$

למה זה קורה?

תלמידים אינם זוכרים את יחס ההמרה הנכון.

איך מתקנים?

1 מ״ק

= 1000

ליטרים. 1 דמ״ק

= 1

ליטר.

טעות נפוצה: מבלבלים קוביה ותיבה — $V = a^{3}$ תמיד

טעות: תיבה עם צלעות 3, 4, 5: $V = 3^{3} = 27$

נכון: $V = 3 \times 4 \times 5 = 60$

למה זה קורה?

תלמידים לומדים

V = a^{3}

ומנסים להשתמש בזה לכל מנסרה מלבנית.

איך מתקנים?

V = a^{3}

רק לקוביה (כל הצלעות שוות). לתיבה כללית:

V = a \times b \times h

סיכום

מה למדנו?

נוסחת הנפח הכללית למנסרה וגליל:

V = S_{בסיס} \times h

מנסרה מלבנית (תיבה): $V = a \times b \times h$

מנסרה משולשת: $V = \frac{1}{2} \times a \times h_{△} \times H$

גליל: $V = π r^{2} h$

שטח פנים של תיבה: S = 2(ab + ah + bh)

שטח פנים של גליל: $S = 2 π r^{2} + 2 π r h$

זכרו:

הרדיוס הוא חצי הקוטר
נפח נמדד ביחידות מעוקבות (סמ״ק, מ״ק)
1 מ״ק = 1000 ליטרים

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב נפח מנסרות וגלילים!

נפח מנסרה וגליל

נפח מנסרה וגליל

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

נפח תיבה (מנסרה מלבנית)

נפח מנסרה משולשת

נפח גליל

נפח גליל כשנתון הקוטר

שטח פנים של תיבה

שטח פנים של גליל

בעיה מילולית — מילוי מיכל מים

מנסרה שבסיסה טרפז

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים להכפיל את שטח הבסיס בגובה

טעות נפוצה: מבלבלים בין רדיוס לקוטר

טעות נפוצה: שוכחים לרבע את הרדיוס

טעות נפוצה: מבלבלים בין נפח לשטח פנים

טעות נפוצה: שוכחים להוסיף את שני הבסיסים בשטח פנים

טעות נפוצה: לא ממירים יחידות נכון

טעות נפוצה: מחשבים שטח בסיס משולש כמלבן

טעות נפוצה: חושבים שכל הצדדים שווים בתיבה

טעות נפוצה: מציבים גובה המשולש במקום גובה המנסרה

טעות נפוצה: שוכחים לכתוב יחידות מתאימות

טעות נפוצה: מחשבים נפח גליל עם 2πrh2\pi rh2πrh

טעות נפוצה: מעגלים את π\piπ מוקדם מדי

טעות נפוצה: חושבים שנפח מנסרה משולשת =a×b×h= a \times b \times h=a×b×h

טעות נפוצה: מחשבים היקף במקום שטח בסיס

טעות נפוצה: בהמרת מ״ק לליטרים — מכפילים ב-100

טעות נפוצה: מבלבלים קוביה ותיבה — V=a3V = a^{3}V=a3 תמיד

סיכום

תרגול נוסף

טעות נפוצה: מחשבים נפח גליל עם $2\pi rh$

טעות נפוצה: מעגלים את $\pi$ מוקדם מדי

טעות נפוצה: חושבים שנפח מנסרה משולשת $= a \times b \times h$

טעות נפוצה: מבלבלים קוביה ותיבה — $V = a^{3}$ תמיד