יסודות ההסתברות

מבוא

מה נלמד היום?

להגדיר מרחב מדגם ומאורע
לחשב הסתברות של מאורע פשוט: $P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣ S ∣}$
להכיר מאורע בלתי אפשרי (P = 0) ומאורע ודאי (P = 1)
להשתמש בחוק המאורע המשלים: P(A') = 1 - P(A)
לחשב הסתברות של איחוד מאורעות זרים
להבחין בין הסתברות תיאורטית לאמפירית

הרעיון המרכזי

מהי הסתברות?

הסתברות היא מידת הסבירות שמאורע מסוים יקרה.

מרחב מדגם (S) — קבוצת כל התוצאות האפשריות של ניסוי.

מאורע (A) — תת-קבוצה של מרחב המדגם.

נוסחת ההסתברות (כאשר כל התוצאות שוות סיכוי):

P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣ S ∣} = \frac{מספר התוצאות הרצויות}{מספר התוצאות האפשריות}

ההסתברות תמיד מקיימת: $0 \leq P (A) \leq 1$

דוגמאות מפורטות

מרחב מדגם בהטלת קוביה

מרחב המדגם מכיל את כל התוצאות האפשריות. בקוביה: 6 פאות = 6 תוצאות.

שלב 1 — זיהוי הניסוי

הניסוי: הטלת קוביה רגילה (שש פאות).

חישוב הסתברות — מספר זוגי בקוביה

P (זוגי) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

שלב 1 — הגדרת המאורע

A = '

מספר זוגי

' = {2, 4, 6}. |A| = 3

בדיקה מהירה

מהו מרחב המדגם בהטלת קוביה רגילה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהי ההסתברות לקבל מספר זוגי בהטלת קוביה הוגנת?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

בהטלת קוביה הוגנת, מהי ההסתברות לקבל מספר גדול מ-4?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

הסתברות בשליפה מתוך שקית

P (אדום) = \frac{3}{10} = 0.3

שלב 1 — נתונים

בשקית: 3 כדורים אדומים, 5 כחולים, 2 ירוקים. סה״כ 10 כדורים.

תשובה מספרית

בשקית יש 3 כדורים אדומים, 5 כחולים ו-2 ירוקים. שולפים כדור אחד באקראי. מהי ההסתברות לשלוף כדור אדום? (רשמו תשובה עשרונית)

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

מאורע ודאי ומאורע בלתי אפשרי

P (S) = 1, P (\emptyset) = 0

מאורע ודאי

A = '

מספר בין 1 ל-6' בקוביה

. A = {1,2,3,4,5,6} = S. P(A) = \frac{6}{6} = 1

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: ההסתברות של כל מאורע היא מספר בין 0 ל-1 (כולל)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: ההסתברות לקבל 7 בהטלת קוביה רגילה היא 0

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

מאורע משלים — $P(A') = 1 - P(A)$

P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.35 = 0.65

חוק המאורע המשלים שימושי כשקל יותר לחשב את ה"לא" מאשר את ה"כן".

שלב 1 — בעיה

P(גשם מחר)

= 0.35

. מצאו P(לא גשם).

תשובה מספרית

ההסתברות שירד גשם מחר היא 0.35. מהי ההסתברות שלא ירד גשם מחר? (רשמו תשובה עשרונית)

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: אם $P(A) = 0.7$ , אז $P(A') = 0.3$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

איחוד מאורעות זרים

P (A \cup B) = P (A) + P (B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}

חוק הסכום למאורעות זרים: אם $A \cap B = \emptyset$ , אז $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

שלב 1 — נתונים

A = '

לקבל 1' בקוביה

, B = '

לקבל 6' בקוביה. A ו-B זרים (לא יכולים לקרות יחד).

הטלת שתי מטבעות — דיאגרמת עץ

P (לפחות עץ אחד) = 1 - P (אף עץ) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

דיאגרמת עץ עוזרת לרשום בצורה מסודרת את כל התוצאות.

שלב 1 — רישום מרחב המדגם

מטבע 1: {עץ, פלי}. מטבע 2: {עץ, פלי}. S = {עע, עפ, פע, פפ}. |S| = 4.

בדיקה מהירה

מטילים מטבע הוגן. מהי ההסתברות לקבל 'עץ'?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מטילים שתי מטבעות הוגנות. מהי ההסתברות לקבל שני 'עץ'? (רשמו תשובה עשרונית)

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

הסתברות אמפירית מול תיאורטית

הסתברות תיאורטית מחושבת מהמודל. הסתברות אמפירית נמדדת מניסויים. ככל שמספר הניסויים גדל, האמפירית מתקרבת לתיאורטית (חוק המספרים הגדולים).

שלב 1 — ניסוי

הטלנו מטבע 50 פעמים וקיבלנו 28 פעמים עץ.

תשובה מספרית

בכיתה יש 30 תלמידים, מתוכם 18 בנות. בוחרים תלמיד אחד באקראי. מהי ההסתברות שייבחר בן? (רשמו תשובה עשרונית)

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מחפיסת קלפים רגילה $(52$ קלפים) שולפים קלף אחד. מהי ההסתברות לשלוף קלף לב (♥)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה:

למה זה קורה?

ההסתברות היא יחס: מספר תוצאות רצויות חלקי סה״כ. המונה תמיד ≤ המכנה.

טעות נפוצה:

למה זה קורה?

S =

כל מה שיכול לקרות, לא רק מה שאנחנו רוצים.

טעות נפוצה:

למה זה קורה?

אם הסיכוי לגשם 30%, הסיכוי שלא ירד גשם הוא 70%, לא 30%.

טעות נפוצה:

למה זה קורה?

זוהי 'הטעיית המהמר'. המטבע לא 'זוכר' תוצאות קודמות.

טעות נפוצה:

למה זה קורה?

ל-7 יש 6 צירופים, ל-12 רק צירוף אחד

(6,6)

טעות נפוצה:

למה זה קורה?

אם A ו-B יכולים לקרות יחד, צריך להוריד:

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

טעות נפוצה:

למה זה קורה?

בניסוי בודד ייתכנו סטיות. חוק המספרים הגדולים מבטיח התכנסות בטווח הארוך.

טעות נפוצה:

למה זה קורה?

הטלות קוביה הן בלתי תלויות — תוצאה אחת לא משפיעה על הבאה.

טעות נפוצה:

למה זה קורה?

יש אס אחד בכל סמל (לב, יהלום, תלתן, עלה)

= 4

אסים סה״כ.

טעות נפוצה:

למה זה קורה?

P = 0

בלבד אומר בלתי אפשרי

. P = 0.01

אומר שבממוצע יקרה פעם מ-100.

טעות נפוצה:

למה זה קורה?

צריך להבחין בין שתי המטבעות. 'עפ' ≠ 'פע' — הן שתי תוצאות שונות.

טעות נפוצה:

למה זה קורה?

אם המאורעות תלויים זה בזה, צריך הסתברות מותנית.

טעות נפוצה:

למה זה קורה?

אם שלפנו כדור אדום ולא החזרנו, יש פחות כדורים אדומים בשליפה הבאה.

טעות נפוצה:

למה זה קורה?

ב-10 הטלות, 4 או 6 עץ סבירים לגמרי למרות

P = 0.5

טעות נפוצה:

למה זה קורה?

כל קוביה עצמאית עם 6 תוצאות. כלל הכפל:

6 \times 6 = 36

זוגות.

טעות נפוצה:

למה זה קורה?

'או' = חיבור הסתברויות (למאורעות זרים). 'וגם' = כפל (למאורעות בלתי תלויים). אל תבלבלו!

סיכום

נקודות מפתח

$P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣ S ∣}$ — הסתברות = תוצאות רצויות / כל התוצאות
$0 \leq P (A) \leq 1$
P(A') = 1 - P(A) — מאורע משלים
מאורעות זרים: $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$
הסתברות אמפירית מתקרבת לתיאורטית עם הרבה ניסויים

יסודות ההסתברות

יסודות ההסתברות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

מרחב מדגם בהטלת קוביה

חישוב הסתברות — מספר זוגי בקוביה

הסתברות בשליפה מתוך שקית

מאורע ודאי ומאורע בלתי אפשרי

מאורע משלים — P(A′)=1−P(A)P(A') = 1 - P(A)P(A′)=1−P(A)

איחוד מאורעות זרים

הטלת שתי מטבעות — דיאגרמת עץ

הסתברות אמפירית מול תיאורטית

טעויות נפוצות

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

סיכום

מאורע משלים — $P(A') = 1 - P(A)$