נפח פירמידה וחרוט

מבוא

מה נלמד היום?

להגדיר מהי פירמידה ומהו חרוט
לחשב נפח פירמידה באמצעות: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{בסיס} \cdot h$
לחשב נפח חרוט באמצעות: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$
להבין את הקשר בין גובה, רדיוס ואורך אלכסון (slant height) בחרוט
להשוות בין נפח פירמידה/חרוט לנפח מנסרה/גליל מתאימים

הרעיון המרכזי

נוסחאות נפח פירמידה וחרוט

פירמידה היא גוף תלת-ממדי שבו בסיס מצולע אחד, וכל הפאות הצדדיות הן משולשים שנפגשים בקודקוד אחד (קדקוד הפירמידה).

נפח פירמידה:

V = \frac{1}{3} \cdot S_{בסיס} \cdot h

פירמידה עם בסיס ריבועי: $V = \frac{1}{3} a^{2} h$
פירמידה עם בסיס משולש: $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a \cdot h_{△} \cdot H = \frac{a \cdot h _{△} \cdot H}{6}$

חרוט הוא גוף תלת-ממדי עם בסיס עיגולי וקודקוד אחד.

נפח חרוט:

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

הקשר בין גובה, רדיוס ואורך אלכסון:

l^{2} = r^{2} + h^{2}

כאשר l הוא אורך האלכסון (slant height), r הרדיוס, ו-h הגובה.

שטח פנים של חרוט:

S = π r^{2} + π r l = π r (r + l)

כלל חשוב: נפח פירמידה/חרוט = $\frac{1}{3}$ מנפח המנסרה/גליל עם אותו בסיס ואותו גובה.

בדיקה מהירה

מהי הנוסחה לנפח פירמידה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

נפח פירמידה עם בסיס ריבועי

V = \frac{1}{3} \times 6^{2} \times 10 = \frac{360}{3} = 120 סמ״ק

נפח הפירמידה הוא שליש מנפח הקוביה עם אותו בסיס וגובה.

שלב 1 — נתונים

צלע הבסיס

a = 6

ס״מ, גובה

h = 10

ס״מ

תשובה מספרית

חשבו את נפח פירמידה עם בסיס ריבועי שצלעו 6 ס"מ וגובהה 9 ס"מ.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: נפח פירמידה עם בסיס ריבועי בצלע 10 ס"מ וגובה 15 ס"מ הוא 500 סמ"ק

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נפח חרוט

V = \frac{1}{3} π \times 4^{2} \times 9 = \frac{144 π}{3} = 48 π \approx 150.7 סמ״ק

שימו לב: $\frac{1}{3} \times 16 \times 9 = \frac{144}{3} = 48$ .

שלב 1 — נתונים

רדיוס

r = 4

ס״מ, גובה

h = 9

ס״מ

תשובה מספרית

חשבו את נפח חרוט שרדיוסו 3 ס"מ וגובהו 12 ס"מ. הביעו את התשובה כמכפלה של $\pi$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

נפח חרוט הוא $48\pi$ סמ"ק ורדיוסו 4 ס"מ. מהו הגובה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

פירמידה עם בסיס משולשי

V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 8 \times 6.93 \times 12 = \frac{332.64}{3} \approx 110.88 סמ״ק

קודם מחשבים את שטח הבסיס המשולש, ואז מכפילים ב-⅓ × גובה.

שלב 1 — נתונים

בסיס: משולש שוה-צלעות עם צלע 8 ס״מ וגובה 6.93 ס״מ. גובה הפירמידה: 12 ס״מ

מציאת אורך אלכסון של חרוט

l = r^{2} + h^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5 ס״מ

זהו שלשה פיתגורית מוכרת: 3, 4, 5!

שלב 1 — נתונים

רדיוס

r = 3

ס״מ, גובה

h = 4

ס״מ

בדיקה מהירה

מהו הקשר בין גובה (h), רדיוס (r) ואורך אלכסון (l) בחרוט?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חרוט שרדיוסו 6 ס"מ וגובהו 8 ס"מ. מהו אורך האלכסון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נפח חרוט כשנתון אורך האלכסון

h = 1 3^{2} - 5^{2} = 144 = 12

V = \frac{1}{3} π \times 5^{2} \times 12 = 100 π \approx 314 סמ״ק

כשנתון אורך אלכסון ולא הגובה — השתמשו בפיתגורס!

שלב 1 — נתונים

רדיוס

r = 5

ס״מ, אורך אלכסון

l = 13

ס״מ

תשובה מספרית

חרוט שרדיוסו 5 ס"מ ואורך האלכסון שלו 13 ס"מ. מהו הגובה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חרוט שרדיוסו 5 ס"מ ואורך אלכסונו 13 ס"מ. חשבו את הנפח והביעו כמכפלה של $\pi$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

השוואה בין חרוט לגליל

V_{חרוט} = \frac{1}{3} \times V_{גליל} = \frac{360 π}{3} = 120 π

כלל: חרוט = $\frac{1}{3}$ גליל (עם אותו בסיס וגובה). צריך בדיוק 3 חרוטים למלא גליל!

שלב 1 — נתונים

גליל וחרוט עם אותו רדיוס

r = 6

ס״מ ואותו גובה

h = 10

ס״מ

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: נפח חרוט שווה לשליש מנפח גליל עם אותו בסיס ואותו גובה

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

שטח פנים של חרוט

S = π r^{2} + π r l = π (3)^{2} + π (3) (5) = 9 π + 15 π = 24 π \approx 75.4 סמ״ר

שטח הפנים כולל את הבסיס העיגולי ואת המעטפת הצדדית.

שלב 1 — נתונים

r = 3

ס״מ

, l = 5

ס״מ (אורך אלכסון)

תשובה מספרית

שטח הפנים הצדדי של חרוט שרדיוסו 4 ס"מ ואורך אלכסונו 10 ס"מ הוא $k\pi$ סמ"ר. מהו k?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בעיה מילולית — גביע גלידה

V = \frac{1}{3} π \times 4^{2} \times 12 = 64 π \approx 201 סמ״ק

1 סמ״ק = 1 מ״ל, לכן הגביע מכיל כ-201 מיליליטר גלידה.

שלב 1 — הבנה

גביע גלידה בצורת חרוט. קוטר עליון 8 ס״מ, גובה 12 ס״מ

בדיקה מהירה

גביע גלידה בצורת חרוט. קוטר עליון 8 ס"מ, גובה 15 ס"מ. מהו נפח הגביע?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את ה- $\frac{1}{3}$ בנוסחת הנפח

טעות: $V = π r^{2} h$ (לחרוט)

נכון: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

למה זה קורה?

תלמידים משתמשים בנוסחת מנסרה/גליל במקום פירמידה/חרוט.

איך מתקנים?

פירמידה

= \frac{1}{3}

מנסרה. חרוט

= \frac{1}{3}

גליל. תמיד כופלים ב-

\frac{1}{3}

טעות נפוצה: כופלים ב-3 במקום לחלק ב-3

טעות: $V = 3 \times π r^{2} h$

נכון: $V = \frac{1}{3} \times π r^{2} h = \frac{π r ^{2} h}{3}$

למה זה קורה?

תלמידים רואים את ה-

\frac{1}{3}

וכופלים ב-3 במקום לחלק.

איך מתקנים?

\frac{1}{3} \times

מספר = מספר

\div 3

. לדוגמה:

\frac{1}{3} \times 36 = 12

, לא 108.

טעות נפוצה: מבלבלים בין גובה לאורך אלכסון

טעות: $V = \frac{1}{3} π r^{2} l$

נכון: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ (כאשר $h = l^{2} - r^{2}$ )

למה זה קורה?

תלמידים מציבים את אורך האלכסון (l) כגובה (h) בנוסחת הנפח.

איך מתקנים?

הגובה (h) הוא המרחק האנכי מהבסיס לקודקוד. אורך האלכסון (l) הוא המרחק לאורך הדופן.

טעות נפוצה: משתמשים ב- $l^{2} = r^{2} - h^{2}$ במקום $r^{2} + h^{2}$

טעות: $l^{2} = r^{2} - h^{2}$

נכון: $l^{2} = r^{2} + h^{2}$ (l הוא היתר!)

למה זה קורה?

תלמידים לא זוכרים את הסדר הנכון במשפט פיתגורס.

איך מתקנים?

אורך האלכסון הוא היתר (הצלע הארוכה ביותר)

: l^{2} = r^{2} + h^{2}

. הגובה:

h^{2} = l^{2} - r^{2}

טעות נפוצה: שוכחים לרבע את צלע הבסיס בפירמידה ריבועית

טעות: $V = \frac{1}{3} \times 6 \times 10 = 20$

נכון: $V = \frac{1}{3} \times 6^{2} \times 10 = \frac{360}{3} = 120$

למה זה קורה?

תלמידים מחשבים

V = \frac{1}{3} \times a \times h

במקום

\frac{1}{3} \times a^{2} \times h

איך מתקנים?

שטח ריבוע

= a^{2}

. אל תשכחו לרבע את הצלע!

טעות נפוצה: חושבים שנפח החרוט חצי מהגליל

טעות: $V_{חרוט} = \frac{1}{2} π r^{2} h$

נכון: $V_{חרוט} = \frac{1}{3} π r^{2} h$

למה זה קורה?

תלמידים מנחשים

\frac{1}{2}

במקום

\frac{1}{3}

איך מתקנים?

נפח חרוט

= \frac{1}{3} (

לא

\frac{1}{2})

מנפח הגליל המתאים. צריך בדיוק 3 חרוטים למלא גליל!

טעות נפוצה: מציבים קוטר במקום רדיוס

טעות: קוטר 10: $V = \frac{1}{3} π \times 1 0^{2} \times h$

נכון: r = 5, $V = \frac{1}{3} π \times 5^{2} \times h$

למה זה קורה?

תלמידים לא ממירים קוטר לרדיוס לפני ההצבה.

איך מתקנים?

אם נתון קוטר d, הרדיוס הוא

r = \frac{d}{2}

. הציבו r (לא d) בנוסחה!

טעות נפוצה: מחשבים שטח פנים חרוט עם h במקום l

טעות: $S_{צדדי} = π r h$

נכון: $S_{צדדי} = π r l$

למה זה קורה?

תלמידים מציבים את הגובה במקום אורך האלכסון בנוסחת השטח הצדדי.

איך מתקנים?

שטח צדדי של חרוט

= \pi rl (

עם אורך אלכסון l), לא

\pi rh

טעות נפוצה: חושבים שפירמידה עם בסיס משולש = חרוט

טעות: שימוש ב-πr² לבסיס פירמידה

נכון: לפירמידה — חשבו שטח מצולע. לחרוט — שטח עיגול.

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים בין סוגי הגופים.

איך מתקנים?

חרוט = בסיס עיגולי. פירמידה = בסיס מצולע (ריבוע, משולש, וכו'). הנוסחה אותו דבר:

V = \frac{1}{3}Sh

טעות נפוצה: מחלקים ב-3 רק חלק מהביטוי

טעות: $V = \frac{r ^{2}}{3} \times πh = \frac{4}{3} \times π \times 9$

נכון: $V = \frac{1}{3} \times π \times 4 \times 9 = 12 π$

למה זה קורה?

תלמידים מחלקים רק גורם אחד ב-3 במקום את כל המכפלה.

איך מתקנים?

V = \frac{1}{3} \times (

שטח בסיס × גובה). ה-

\frac{1}{3}

חל על כל המכפלה!

טעות נפוצה: שוכחים שפירמידה עם בסיס מלבני: $S = a \times b$

טעות: בסיס 4×6: $S = 4^{2} = 16$

נכון: $S = 4 \times 6 = 24$

למה זה קורה?

תלמידים מניחים שהבסיס תמיד ריבועי ומשתמשים ב-

a^{2}

איך מתקנים?

אם הבסיס מלבן:

S = a \times b

. אם ריבוע:

S = a^{2}

. תמיד בדקו מה צורת הבסיס.

טעות נפוצה: חושבים ששטח פנים חרוט $= \pi r^{2} + 2\pi rh$

טעות: $S = π r^{2} + 2 π r h$ (לחרוט)

נכון: $S = π r^{2} + π r l$

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים עם נוסחת שטח הפנים של גליל.

איך מתקנים?

שטח פנים חרוט

= \pi r^{2} + \pi rl

. שטח פנים גליל

= 2\pi r^{2} + 2\pi rh

. אל תבלבלו!

טעות נפוצה: שוכחים לפשט שברים

טעות: $V = \frac{1}{3} \times 36 \times 10 = \frac{360}{3} = ?$ (נתקעים)

נכון: $\frac{1}{3} \times 36 = 12$ , ואז $12 \times 10 = 120$

למה זה קורה?

תלמידים נשארים עם שברים מורכבים במקום לפשט.

איך מתקנים?

\frac{1}{3} \times 36 = 12. \frac{1}{3} \times 48 = 16

. נסו לפשט מוקדם כדי להקל על החישוב.

טעות נפוצה: במציאת h מפיתגורס — שוכחים שורש

טעות: $h = l^{2} - r^{2} = 169 - 25 = 144$ (שוכחים שורש)

נכון: $h = 169 - 25 = 144 = 12$

למה זה קורה?

תלמידים מחשבים

h^{2}

ושוכחים להוציא שורש.

איך מתקנים?

h^{2} = l^{2} - r^{2} → h = \sqrt{l^{2} - r^{2}}

. אל תשכחו את השורש!

טעות נפוצה: מניחים שגובה פירמידה = גובה הפאה הצדדית

טעות: שימוש בגובה פאה במקום גובה הפירמידה

נכון: $V = \frac{1}{3} S h$ כאשר h הוא גובה אנכי בלבד

למה זה קורה?

תלמידים לא מבחינים בין גובה הפירמידה (אנכי) לגובה הפאה.

איך מתקנים?

גובה הפירמידה הוא האנך מהבסיס לקודקוד. גובה הפאה הצדדית נמדד לאורך הפאה.

טעות נפוצה: מערבבים יחידות — סמ״ק ו-מ״ק

טעות: r = 5 ס״מ, h = 0.1 מ׳: $V = \frac{1}{3} π \times 25 \times 0.1$

נכון: המירו: h = 10 ס״מ, $V = \frac{1}{3} π \times 25 \times 10$

למה זה קורה?

תלמידים מחשבים עם ס״מ ומ' מעורבים.

איך מתקנים?

וודאו שכל המידות באותן יחידות לפני החישוב! 1 מ

' = 100

ס״מ.

סיכום

מה למדנו?

נוסחת נפח פירמידה:

V = \frac{1}{3} \cdot S_{בסיס} \cdot h

נוסחת נפח חרוט:

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

אורך אלכסון (פיתגורס):

l = r^{2} + h^{2}

שטח פנים של חרוט:

S = π r^{2} + π r l

זכרו:

נפח פירמידה/חרוט = ⅓ מנפח המנסרה/גליל המתאימים
גובה (h) ≠ אורך אלכסון (l)
כשנתון אורך אלכסון, מצאו את הגובה עם פיתגורס

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב נפח פירמידות וחרוטים!

נפח פירמידה וחרוט

נפח פירמידה וחרוט

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

נפח פירמידה עם בסיס ריבועי

נפח חרוט

פירמידה עם בסיס משולשי

מציאת אורך אלכסון של חרוט

נפח חרוט כשנתון אורך האלכסון

השוואה בין חרוט לגליל

שטח פנים של חרוט

בעיה מילולית — גביע גלידה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את ה-13\frac{1}{3}31​ בנוסחת הנפח

טעות נפוצה: כופלים ב-3 במקום לחלק ב-3

טעות נפוצה: מבלבלים בין גובה לאורך אלכסון

טעות נפוצה: משתמשים ב-l2=r2−h2l^{2} = r^{2} - h^{2}l2=r2−h2 במקום r2+h2r^{2} + h^{2}r2+h2

טעות נפוצה: שוכחים לרבע את צלע הבסיס בפירמידה ריבועית

טעות נפוצה: חושבים שנפח החרוט חצי מהגליל

טעות נפוצה: מציבים קוטר במקום רדיוס

טעות נפוצה: מחשבים שטח פנים חרוט עם h במקום l

טעות נפוצה: חושבים שפירמידה עם בסיס משולש = חרוט

טעות נפוצה: מחלקים ב-3 רק חלק מהביטוי

טעות נפוצה: שוכחים שפירמידה עם בסיס מלבני: S=a×bS = a \times bS=a×b

טעות נפוצה: חושבים ששטח פנים חרוט =πr2+2πrh= \pi r^{2} + 2\pi rh=πr2+2πrh

טעות נפוצה: שוכחים לפשט שברים

טעות נפוצה: במציאת h מפיתגורס — שוכחים שורש

טעות נפוצה: מניחים שגובה פירמידה = גובה הפאה הצדדית

טעות נפוצה: מערבבים יחידות — סמ״ק ו-מ״ק

סיכום

תרגול נוסף

טעות נפוצה: שוכחים את ה- $\frac{1}{3}$ בנוסחת הנפח

טעות נפוצה: משתמשים ב- $l^{2} = r^{2} - h^{2}$ במקום $r^{2} + h^{2}$

טעות נפוצה: שוכחים שפירמידה עם בסיס מלבני: $S = a \times b$

טעות נפוצה: חושבים ששטח פנים חרוט $= \pi r^{2} + 2\pi rh$