השפעת המקדם על הפרבולה $f (x) = a x^{2}$

מבוא

מה נלמד היום?

להבין כיצד סימן המקדם a משפיע על כיוון הפתיחה של הפרבולה
להבין כיצד הערך המוחלט |a| משפיע על רוחב הפרבולה
להשוות בין פרבולות שונות מהצורה $f (x) = a x^{2}$
למצוא את a כאשר ידועה נקודה על הפרבולה

הרעיון המרכזי

כלל: השפעת המקדם a

בפונקציה $f (x) = a x^{2}$ (כאשר $a \neq = 0$ ):

כיוון הפתיחה — תלוי בסימן:

a > 0 → הפרבולה פתוחה כלפי מעלה (קודקוד = מינימום)
a < 0 → הפרבולה פתוחה כלפי מטה (קודקוד = מקסימום)

רוחב הפרבולה — תלוי ב-|a|:

|a| > 1 → הפרבולה צרה יותר מ- $x^{2}$
|a| = 1 → כמו $x^{2}$
0 < |a| < 1 → הפרבולה רחבה יותר מ- $x^{2}$

לכל a≠0: הקודקוד נשאר ב-(0, 0) וציר הסימטריה הוא x=0.

דוגמה 1: כיוון הפתיחה — a חיובי

שרטטו ותארו את $f(x)=2x^{2}$

x	-2	-1	0	1	2
$x^{2}$	4	1	0	1	4
$2 x^{2}$	8	2	0	2	8

כל ערך של $2 x^{2}$ כפול 2 מ- $x^{2}$ , ולכן הפרבולה ״עולה מהר יותר״ — כלומר צרה יותר.

שלב 1 — בודקים את סימן a

a=2>0

, לכן הפרבולה פתוחה כלפי מעלה

דוגמה 2: כיוון הפתיחה — a שלילי

שרטטו ותארו את $f(x)=-x^{2}$

x	-2	-1	0	1	2
$x^{2}$	4	1	0	1	4
$- x^{2}$	-4	-1	0	-1	-4

כש-a < 0, הפרבולה ״מתהפכת״ — פתוחה כלפי מטה.

שלב 1 — בודקים את סימן a

a=-1<0

, לכן הפרבולה פתוחה כלפי מטה

בדיקה מהירה

עבור הפונקציה $f(x)=3x^{2}$ , לאיזה כיוון הפרבולה פתוחה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

עבור הפונקציה $f(x)=-2x^{2}$ , לאיזה כיוון הפרבולה פתוחה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: ציר הסימטריה של $f(x)=ax^{2}$ הוא $x=0$ לכל $a \ne 0$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: השפעת |a| על הרוחב

השוו את הפרבולות: $f(x)=0.5x^{2}, g(x)=x^{2}, h(x)=3x^{2}$

x	$0.5 x^{2}$	$x^{2}$	$3 x^{2}$
1	0.5	1	3
2	2	4	12
3	4.5	9	27

כלל: |a| גדול = צרה, |a| קטן = רחבה.

שלב 1 — ערכים ב- $x=2$

f(2)=0.5 \cdot 4=2, g(2)=4, h(2)=3 \cdot 4=12

בדיקה מהירה

סדרו את הפרבולות מהרחבה לצרה: $f(x)=x^{2}, g(x)=4x^{2}, h(x)=0.5x^{2}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: חישוב ערכים עם מקדם שלילי

חשבו $f(-3)$ עבור $f(x)=-2x^{2}$

f (- 3) = - 2 \cdot (- 3)^{2} = - 2 \cdot 9 = - 18

סדר הפעולות: קודם העלאה בריבוע, אחר כך כפל במקדם a.

שלב 1 — מציבים

f(-3) = -2 \cdot (-3)^{2}

דוגמה 5: מציאת a מנקודה על הפרבולה

הפרבולה $f(x)=ax^{2}$ עוברת דרך $(3, 27)$ . מצאו את a

f (3) = a \cdot 3^{2} = 9 a = 27 \Rightarrow a = 3

בדיקה: $f (x) = 3 x^{2}$ , $f (3) = 3 \cdot 9 = 27$ ✓

שלב 1 — מציבים את הנקודה

f(3) = a \cdot 3^{2} = 9a

בדיקה מהירה

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הפרבולה $f(x)=-5x^{2}$ פתוחה כלפי מעלה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

איזו פרבולה צרה יותר ("דחוסה" יותר)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חשבו: $f(2)$ עבור $f(x)=3x^{2}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 6: טווח של f(x)=ax²

מצאו את הטווח של $f(x)=-4x^{2}$

כאשר a > 0: טווח = $y \geq 0$ (מינימום בקודקוד)
כאשר a < 0: טווח = $y \leq 0$ (מקסימום בקודקוד)

שלב 1 — כיוון

a=-4<0

, לכן הפרבולה פתוחה כלפי מטה

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: אם $0 < a < 1$ , הפרבולה $f(x)=ax^{2}$ רחבה יותר מ- $f(x)=x^{2}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 7: השוואת פרבולות עם סימנים שונים

השוו את $f(x)=2x^{2}$ ו- $g(x)=-2x^{2}$ בנקודה $x=3$

כאשר |a| זהה אך הסימנים מנוגדים, הפרבולות הן שיקוף זו של זו ביחס לציר x.

שתיהן באותו רוחב, אך בכיוונים מנוגדים.

שלב 1 — $f(3)$

f(3) = 2 \cdot 9 = 18

דוגמה 8: מציאת a מנקודה שלילית

הפרבולה $f(x)=ax^{2}$ עוברת דרך $(-2, -12)$ . מצאו את a וקבעו את כיוון הפתיחה

4 a = - 12 \Rightarrow a = - 3

בדיקה: $f (- 2) = - 3 \cdot (- 2)^{2} = - 3 \cdot 4 = - 12$ ✓

שלב 1 — מציבים

f(-2) = a \cdot (-2)^{2} = 4a = -12

בדיקה מהירה

מהו הקודקוד של הפונקציה $f(x)=ax^{2} ($ לכל $a \ne 0)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הפרבולה $f(x)=-3x^{2}$ רחבה יותר מ- $f(x)=-x^{2}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהו הטווח של הפונקציה $f(x)=-4x^{2}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בין סימן a לרוחב הפרבולה

טעות: ״ $f (x) = - 3 x^{2}$ צרה יותר מ- $f (x) = 2 x^{2}$ כי -3 < 2״

נכון: |-3|=3 > |2|=2, לכן $- 3 x^{2}$ אכן צרה יותר, אבל בגלל ש-|a| גדול יותר, לא בגלל הסימן.

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שמקדם שלילי אומר שהפרבולה צרה יותר.

איך מתקנים?

הסימן קובע כיוון פתיחה, הערך המוחלט קובע רוחב

. -2x^{2}

ו-

2x^{2}

באותו רוחב!

טעות נפוצה: חשיבה ש-a משנה את מיקום הקודקוד

טעות: ״הקודקוד של $f (x) = 3 x^{2}$ הוא (3, 0)״

נכון: הקודקוד תמיד ב-(0, 0). המקדם a משנה רק צורה, לא מיקום.

למה זה קורה?

תלמידים רואים שהגרף משתנה וחושבים שהקודקוד זז.

איך מתקנים?

לכל

a \ne 0

, הקודקוד של

f(x)=ax^{2}

הוא תמיד

(0,0)

. רק הכיוון והרוחב משתנים.

טעות נפוצה: סדר פעולות שגוי: כפל ב-a לפני הריבוע

טעות: $f (- 3) = - 2 \cdot (- 3)^{2} = - 2 \cdot (- 3) \cdot (- 3) = 6 \cdot (- 3) = - 18$

נכון: $f (- 3) = - 2 \cdot (- 3)^{2} = - 2 \cdot 9 = - 18$

(התוצאה כאן זהה, אבל הסדר חשוב כשזה מתבלבל!)

למה זה קורה?

תלמידים כופלים ב-a לפני שמעלים בריבוע.

איך מתקנים?

קודם מעלים את x בריבוע, ורק אחר כך כופלים ב-a.

טעות נפוצה: בלבול: a גדול = פרבולה רחבה

טעות: ״ $f (x) = 10 x^{2}$ רחבה יותר מ- $f (x) = x^{2}$ ״

נכון: $f (x) = 10 x^{2}$ צרה הרבה יותר. f(1)=10 לעומת g(1)=1 — הפרבולה ״עולה״ מהר יותר.

למה זה קורה?

תלמידים חושבים ש״גדול״ = ״רחב״.

איך מתקנים?

ההפך! |a| גדול = פרבולה צרה. |a| קטן = פרבולה רחבה.

טעות נפוצה: שכחה שפרבולה הפוכה = מקסימום

טעות: ״הערך המינימלי של $f (x) = - 2 x^{2}$ הוא 0״

נכון: 0 הוא הערך המקסימלי. הפונקציה יורדת לאינסוף.

למה זה קורה?

תלמידים רגילים שקודקוד = מינימום.

איך מתקנים?

כש-

a<0

, הקודקוד הוא נקודת מקסימום, לא מינימום.

טעות נפוצה: חשיבה ש- $f(x)=0.5x^{2}$ ו- $f(x)=2x^{2}$ הן אותו דבר

ב-x=2: $0.5 \cdot 4 = 2$ לעומת $2 \cdot 4 = 8$ .

$f (x) = 0.5 x^{2}$ נותנת ערכים קטנים יותר → רחבה יותר.

למה זה קורה?

תלמידים מתבלבלים בין כפולה לחצי.

איך מתקנים?

0.5x^{2}

רחבה יותר מ-

x^{2} (

ערכים נמוכים יותר)

, 2x^{2}

צרה יותר (ערכים גבוהים יותר).

טעות נפוצה: חשיבה ש- $a=0$ נותן פרבולה

טעות: ״ $f (x) = 0 \cdot x^{2}$ היא פרבולה שטוחה״

נכון: f(x)=0 היא קו ישר (y=0), לא פונקציה ריבועית.

למה זה קורה?

תלמידים לא שמים לב שצריך

a \ne 0

איך מתקנים?

כאשר

a=0, f(x)=0 \cdot x^{2}=0

— זהו קו ישר (ציר x), לא פרבולה!

טעות נפוצה: חישוב שגוי של a מנקודה

טעות: הנקודה (3, 27): a = 27/3 = 9

נכון: $27 = a \cdot 3^{2} = 9 a \Rightarrow a = 27/9 = 3$

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים להעלות את x בריבוע לפני חילוק.

איך מתקנים?

הציבו בקפידה:

f(x)=ax^{2} → y=a \cdot x^{2}

, חלקו ב-

x^{2} (

לא ב-x) כדי למצוא a.

טעות נפוצה: בלבול בין מינימום למקסימום

a > 0	a < 0
פתוחה למעלה	פתוחה למטה
קודקוד = מינימום	קודקוד = מקסימום
טווח: $y \geq 0$	טווח: $y \leq 0$

למה זה קורה?

תלמידים לא מבחינים שכיוון הפתיחה קובע את סוג הקודקוד.

איך מתקנים?

a>0 →

קודקוד = מינימום

. a<0 →

קודקוד = מקסימום.

טעות נפוצה: חשיבה ש-|a| קובע את סימן הערכים

טעות: ״ $f (x) = 0.5 x^{2}$ נותנת ערכים שליליים כי 0.5 < 1״

נכון: a=0.5 > 0, לכן כל הערכים אי-שליליים.

למה זה קורה?

תלמידים מתבלבלים בין גודל a לסימן הפלט.

איך מתקנים?

|a| קובע רוחב בלבד. הסימן של f(x) תלוי בסימן של a.

טעות נפוצה: בלבול בין ציר סימטריה לקודקוד

ציר סימטריה = הישר x=0 (קו אנכי)

קודקוד = הנקודה (0, 0)

הציר עובר דרך הקודקוד, אבל הם לא אותו דבר!

למה זה קורה?

תלמידים מתבלבלים בין שתי תכונות שקשורות.

איך מתקנים?

ציר הסימטריה הוא קו

(x=0)

, הקודקוד הוא נקודה

(0,0)

. הציר עובר דרך הקודקוד.

טעות נפוצה: חשיבה שכל הפרבולות מהצורה $ax^{2}$ עוברות דרך $(1,1)$

עבור $f (x) = 3 x^{2}$ : f(1)=3, לא 1.

הנקודה (1, a) ו-(-1, a) תמיד על הפרבולה.

למה זה קורה?

תלמידים זוכרים שעבור

f(x)=x^{2}, f(1)=1

איך מתקנים?

f(1)=a

, לא 1. הנקודה

(1, a)

נמצאת על הפרבולה.

טעות נפוצה: בלבול בין כפל לחיבור

טעות: $f (2) = 3 + 2^{2} = 3 + 4 = 7$ עבור $f (x) = 3 x^{2}$

נכון: $f (2) = 3 \cdot 2^{2} = 3 \cdot 4 = 12$

למה זה קורה?

תלמידים מחשבים

ax^{2}

כ-

a+x^{2}

איך מתקנים?

ax^{2} = a \cdot x^{2} (

כפל!), לא

a+x^{2}

טעות נפוצה: חשיבה ש- $(ax)^{2} = ax^{2}$

טעות: $(2 x)^{2} = 2 x^{2}$

נכון: $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ . כאן a=4, לא a=2.

למה זה קורה?

תלמידים לא מבחינים בין

(ax)^{2}

לבין

a \cdot x^{2}

איך מתקנים?

(ax)^{2} = a^{2}x^{2} \ne ax^{2}

. למשל:

(3x)^{2} = 9x^{2}

, אבל

3x^{2} = 3x^{2}

טעות נפוצה: חשיבה שערך a משפיע על מיקום הקודקוד בציר x

$f (x) = 2 x^{2}$ ו- $f (x) = 5 x^{2}$ — לשניהם קודקוד ב-x = 0!

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שערך a מזיז את הפרבולה ימינה או שמאלה.

איך מתקנים?

ערך a משפיע על רוחב ופתיחה בלבד. מיקום הקודקוד בציר x נקבע ע״י

-\frac{b}{2a}

טעות נפוצה: בלבול בין c לגובה הקודקוד

$f (x) = x^{2} + 4 x + 3$ : חיתוך עם ציר y ב-(0,3), אבל הקודקוד ב-(-2, -1)

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שהאיבר החופשי c הוא תמיד גובה הקודקוד.

איך מתקנים?

c הוא נקודת החיתוך עם ציר y (כלומר

f(0))

. גובה הקודקוד הוא

f(-\frac{b}{2a})

, שווה ל-c רק כאשר

b=0

בדיקה מהירה

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $f(x)=-2x^{2}$ ו- $g(x)=2x^{2}$ הן פרבולות באותו רוחב.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

באיזה מקרה לפרבולה $f(x)=ax^{2}$ יש נקודת מקסימום (ולא מינימום)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

הפרבולה $f(x)=ax^{2}$ עוברת דרך הנקודה $(1, -4)$ . מהו ערך a?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

בנקודה $x=1$ , עבור איזו פונקציה ערך y הוא הגדול ביותר? $f(x)=2x^{2}, g(x)=5x^{2}, h(x)=0.5x^{2}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: אם $a>1$ , הפרבולה $f(x)=ax^{2}$ צרה יותר מ- $f(x)=x^{2}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

סיכום: השפעת המקדם a על $f(x)=ax^{2}$

תכונה	a > 0	a < 0
כיוון פתיחה	כלפי מעלה	כלפי מטה
קודקוד	מינימום (0, 0)	מקסימום (0, 0)
טווח	$y \geq 0$	$y \leq 0$

| |a| | רוחב | |:---:|:---:| | |a| > 1 | צרה מ- $x^{2}$ | | |a| = 1 | כמו $x^{2}$ | | 0 < |a| < 1 | רחבה מ- $x^{2}$ |

חשוב: הקודקוד תמיד ב-(0, 0) וציר הסימטריה תמיד x=0.

השפעת המקדם על הפרבולה f(x)=ax²

השפעת המקדם על הפרבולה f(x)=ax2

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמה 1: כיוון הפתיחה — a חיובי

שרטטו ותארו את f(x)=2x2f(x)=2x^{2}f(x)=2x2

דוגמה 2: כיוון הפתיחה — a שלילי

שרטטו ותארו את f(x)=−x2f(x)=-x^{2}f(x)=−x2

בדיקה מהירה

דוגמה 3: השפעת |a| על הרוחב

השוו את הפרבולות: f(x)=0.5x2,g(x)=x2,h(x)=3x2f(x)=0.5x^{2}, g(x)=x^{2}, h(x)=3x^{2}f(x)=0.5x2,g(x)=x2,h(x)=3x2

דוגמה 4: חישוב ערכים עם מקדם שלילי

חשבו f(−3)f(-3)f(−3) עבור f(x)=−2x2f(x)=-2x^{2}f(x)=−2x2

דוגמה 5: מציאת a מנקודה על הפרבולה

הפרבולה f(x)=ax2f(x)=ax^{2}f(x)=ax2 עוברת דרך (3,27)(3, 27)(3,27). מצאו את a

בדיקה מהירה

דוגמה 6: טווח של f(x)=ax²

מצאו את הטווח של f(x)=−4x2f(x)=-4x^{2}f(x)=−4x2

דוגמה 7: השוואת פרבולות עם סימנים שונים

השוו את f(x)=2x2f(x)=2x^{2}f(x)=2x2 ו-g(x)=−2x2g(x)=-2x^{2}g(x)=−2x2 בנקודה x=3x=3x=3

דוגמה 8: מציאת a מנקודה שלילית

הפרבולה f(x)=ax2f(x)=ax^{2}f(x)=ax2 עוברת דרך (−2,−12)(-2, -12)(−2,−12). מצאו את a וקבעו את כיוון הפתיחה

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בין סימן a לרוחב הפרבולה

טעות נפוצה: חשיבה ש-a משנה את מיקום הקודקוד

טעות נפוצה: סדר פעולות שגוי: כפל ב-a לפני הריבוע

טעות נפוצה: בלבול: a גדול = פרבולה רחבה

טעות נפוצה: שכחה שפרבולה הפוכה = מקסימום

טעות נפוצה: חשיבה ש-f(x)=0.5x2f(x)=0.5x^{2}f(x)=0.5x2 ו-f(x)=2x2f(x)=2x^{2}f(x)=2x2 הן אותו דבר

טעות נפוצה: חשיבה ש-a=0a=0a=0 נותן פרבולה

טעות נפוצה: חישוב שגוי של a מנקודה

טעות נפוצה: בלבול בין מינימום למקסימום

טעות נפוצה: חשיבה ש-|a| קובע את סימן הערכים

טעות נפוצה: בלבול בין ציר סימטריה לקודקוד

טעות נפוצה: חשיבה שכל הפרבולות מהצורה ax2ax^{2}ax2 עוברות דרך (1,1)(1,1)(1,1)

טעות נפוצה: בלבול בין כפל לחיבור

טעות נפוצה: חשיבה ש-(ax)2=ax2(ax)^{2} = ax^{2}(ax)2=ax2

טעות נפוצה: חשיבה שערך a משפיע על מיקום הקודקוד בציר x

טעות נפוצה: בלבול בין c לגובה הקודקוד

בדיקה מהירה

בדיקה מהירה

סיכום

השפעת המקדם על הפרבולה $f (x) = a x^{2}$

שרטטו ותארו את $f(x)=2x^{2}$

שרטטו ותארו את $f(x)=-x^{2}$

השוו את הפרבולות: $f(x)=0.5x^{2}, g(x)=x^{2}, h(x)=3x^{2}$

חשבו $f(-3)$ עבור $f(x)=-2x^{2}$

הפרבולה $f(x)=ax^{2}$ עוברת דרך $(3, 27)$ . מצאו את a

מצאו את הטווח של $f(x)=-4x^{2}$

השוו את $f(x)=2x^{2}$ ו- $g(x)=-2x^{2}$ בנקודה $x=3$

הפרבולה $f(x)=ax^{2}$ עוברת דרך $(-2, -12)$ . מצאו את a וקבעו את כיוון הפתיחה

טעות נפוצה: חשיבה ש- $f(x)=0.5x^{2}$ ו- $f(x)=2x^{2}$ הן אותו דבר

טעות נפוצה: חשיבה ש- $a=0$ נותן פרבולה

טעות נפוצה: חשיבה שכל הפרבולות מהצורה $ax^{2}$ עוברות דרך $(1,1)$

טעות נפוצה: חשיבה ש- $(ax)^{2} = ax^{2}$