נוסחת השורשים

מבוא

מה נלמד היום?

התלמיד יוכל לזהות את המקדמים a, b, c במשוואה ריבועית בצורה תקנית
התלמיד יוכל להציב בנוסחת השורשים ולחשב את הפתרונות
התלמיד יוכל לזהות מתי יש שני פתרונות, פתרון כפול, או אין פתרון ממשי
התלמיד יוכל להעביר משוואה לצורה תקנית לפני השימוש בנוסחה

הרעיון המרכזי

נוסחת השורשים

לכל משוואה ריבועית מהצורה $a x^{2} + b x + c = 0$ (כאשר $a \neq = 0$ ), הפתרונות הם:

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

הביטוי $Δ = b^{2} - 4 a c$ נקרא דיסקרימיננטה והוא קובע את מספר הפתרונות:

$Δ > 0$ → שני פתרונות שונים
$Δ = 0$ → פתרון כפול (יחיד)
$Δ < 0$ → אין פתרון ממשי

בדיקה מהירה

מהי נוסחת השורשים למשוואה $ax^{2} + bx + c = 0$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

זיהוי a, b, c — דוגמה בסיסית

2 x^{2} + 5 x - 3 = 0

a = 2, b = 5, c = - 3

חשוב: c כולל את הסימן! כאן c = -3 (לא 3).

שלב 1 — כותבים בצורה תקנית

2x^{2} + 5x - 3 = 0

— כבר בצורה תקנית

בדיקה מהירה

במשוואה $2x^{2} + 5x - 3 = 0$ , מהם הערכים של a, b, c?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

פתרון: $x^{2} - 3x - 10 = 0$

a=1,\; b=-3,\; c=-10

Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10) = 9 + 40 = 49

x = \frac{- ( - 3 ) \pm 49}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 7}{2}

x_{1} = \frac{3 + 7}{2} = 5, x_{2} = \frac{3 - 7}{2} = - 2

שלב 1 — מזהים a, b, c

a = 1, b = -3, c = -10

בדיקה מהירה

במשוואה $x^{2} - 7x + 2 = 0$ , מהו הערך של $b^{2}-4ac$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

פתרון: $2x^{2} + 5x - 3 = 0$

a=2,\; b=5,\; c=-3

Δ = 25 + 24 = 49, 49 = 7

x = \frac{- 5 \pm 7}{4}

x_{1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, x_{2} = \frac{- 12}{4} = - 3

שימו לב: כשא $a \neq = 1$ , המכנה הוא 2a (כאן 4, לא 2).

שלב 1 — מזהים a, b, c

a = 2, b = 5, c = -3

פתרון כפול: $x^{2} + 4x + 4 = 0$

Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0

x = \frac{- 4 \pm 0}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2

כש- $Δ = 0$ , ה- $\pm$ לא משנה — יש פתרון כפול אחד.

שלב 1 — מזהים a, b, c

a = 1, b = 4, c = 4

אין פתרון: $x^{2} + 2x + 5 = 0$

Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = - 16 < 0

כש- $Δ < 0$ , אין פתרון ממשי — הפרבולה לא חותכת את ציר x.

שלב 1 — מזהים a, b, c

a = 1, b = 2, c = 5

בדיקה מהירה

פתרו: $x^{2} + 2x + 5 = 0$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

במשוואה $3x^{2} - 2x + 5 = 0$ , מהו ערך הדיסקרימיננטה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

העברה לצורה תקנית: $3x = x^{2} + 2$

3 x = x^{2} + 2 \Rightarrow x^{2} - 3 x + 2 = 0

Δ = 9 - 8 = 1, x = \frac{3 \pm 1}{2}

x_{1} = 2, x_{2} = 1

שלב 1 — מעבירים לצד אחד

x^{2} - 3x + 2 = 0 (

מעבירים 3x שמאלה, ומסדרים כך ש-

a > 0)

בדיקה מהירה

העבירו לצורה תקנית $ax^{2}+bx+c=0: 3x = x^{2} + 2$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

פישוט לפני הצבה: $3x^{2} - 6x - 9 = 0$

טיפ: אם יש גורם משותף למקדמים — חלקו קודם! זה מפשט את החישוב.

3 x^{2} - 6 x - 9 = 0 \div 3 x^{2} - 2 x - 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16, x = \frac{2 \pm 4}{2}

x_{1} = 3, x_{2} = - 1

שלב 1 — מחלקים ב-3

x^{2} - 2x - 3 = 0 (

פישוט מקל על החישוב)

פתרון: $x^{2} - 5x + 4 = 0$

a=1,\; b=-5,\; c=4

Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9

x = \frac{5 \pm 3}{2} \Rightarrow x_{1} = 4, x_{2} = 1

שלב 1 — מזהים a, b, c

a = 1, b = -5, c = 4

בדיקה מהירה

מתי עדיף להשתמש בנוסחת השורשים במקום פירוק לגורמים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מה הטעות בפתרון הבא $? x^{2} + 6x + 5 = 0 → x = \frac{-6 \pm \sqrt{36-20}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 \pm 4}{2}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים מינוס לפני b

טעות: $x = \frac{b \pm Δ}{2 a}$

נכון: $x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$

למה זה קורה?

תלמידים כותבים b במקום -b בתחילת הנוסחה.

איך מתקנים?

הנוסחה מתחילה ב-(-b). אם

b = 5

, אז

-b = -5

. אם

b = -3

, אז

-b = 3

טעות נפוצה: (-b) כשב-b שלילי: מינוס כפול מינוס

טעות: $b = - 3 \Rightarrow - b = - 3$

נכון: $b = - 3 \Rightarrow - b = - (- 3) = 3$

למה זה קורה?

כש-

b = -3

, תלמידים כותבים

-(-3) = -3

במקום

+3

איך מתקנים?

מינוס כפול מינוס = פלוס. אם

b = -3

, אז

-b = -(-3) = +3

טעות נפוצה: $b^{2}$ כש-b שלילי

טעות: $(- 3)^{2} = - 9$

נכון: $(- 3)^{2} = (- 3) \times (- 3) = 9$

למה זה קורה?

תלמידים כותבים

(-3)^{2} = -9

במקום 9. שוכחים שריבוע מספר שלילי חיובי.

איך מתקנים?

ריבוע של מספר (חיובי או שלילי) תמיד חיובי:

(-3)^{2} = 9

בדיקה מהירה

מה הטעות הנפוצה בהצבת $b = -3$ בנוסחה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: מכנה 2 במקום 2a

טעות: $x = \frac{- b \pm Δ}{2}$ (חסר a!)

נכון: $x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים לכפול a ב-2 במכנה.

איך מתקנים?

המכנה הוא תמיד 2a. אם

a = 3

, המכנה הוא 6 (לא 2).

טעות נפוצה: 4ac עם סימן שגוי כש-c שלילי

טעות: a=1, c=-3: \;\; 4ac = 12 (שכחו את המינוס)

נכון: $4 a c = 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = - 12, b^{2} - 4 a c = b^{2} + 12$

למה זה קורה?

תלמידים לא מתייחסים לסימן של c בחישוב 4ac.

איך מתקנים?

חשוב להציב את c כולל הסימן:

4 \cdot 1 \cdot (-3) = -12

, לכן

b^{2} - 4ac = b^{2} - (-12) = b^{2} + 12

טעות נפוצה: שוכחים להעביר לצורה תקנית

טעות: $3 x = x^{2} + 2$ → מציבים a=1, b=3, c=2

נכון: קודם: $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ → a=1, b=-3, c=2

למה זה קורה?

תלמידים מציבים בנוסחה כשהמשוואה לא בצורה

ax^{2} + bx + c = 0

איך מתקנים?

קודם כל מעבירים הכול לצד אחד

! 3x = x^{2} + 2 → x^{2} - 3x + 2 = 0

, ורק אז מזהים a, b, c.

טעות נפוצה: מחלקים את הפלוס/מינוס רק על חלק מהמכנה

טעות: $x = - b \pm \frac{Δ}{2 a}$

נכון: $x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ (הכול חלקי 2a)

למה זה קורה?

תלמידים מחשבים

\frac{-b \pm √\Delta }{2a}

ומחלקים רק את

√\Delta

ב-2a.

איך מתקנים?

הקו השבר מפריד את כל המונה מכל המכנה:

(-b + √\Delta )

חלקי 2a, ו-

(-b - √\Delta )

חלקי 2a.

טעות נפוצה: שוכחים שפתרון כפול הוא פתרון לגיטימי

טעות: $Δ = 0 \Rightarrow$ "אין פתרון" ✗

נכון: $Δ = 0 \Rightarrow x = \frac{- b}{2 a}$ (פתרון כפול)

למה זה קורה?

תלמידים מקבלים

\Delta = 0

וחושבים שעשו טעות, או כותבים 'אין פתרון'.

איך מתקנים?

\Delta = 0 →

יש פתרון כפול אחד:

x = -\frac{b}{2a}

. זה פתרון לגיטימי!

טעות נפוצה: שוכחים שיש שני פתרונות

טעות: $x = \frac{3 + 7}{2} = 5$ (שכחו את הפתרון השני)

נכון: $x_{1} = \frac{3 + 7}{2} = 5, x_{2} = \frac{3 - 7}{2} = - 2$

למה זה קורה?

תלמידים מחשבים רק את

x_{1} (

עם הפלוס) ושוכחים את

x_{2} (

עם המינוס).

איך מתקנים?

הסימן ± אומר: חשבו פעמיים! פעם עם + ופעם עם -.

טעות נפוצה: מערבבים בין a, b, c

טעות: ב- $2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$ → a=5, b=2

נכון: a=2 (מקדם $x^{2}$ ), b=5 (מקדם x), c=-3

למה זה קורה?

תלמידים מזהים b כמקדם של

x^{2}

ו-a כמקדם של x.

איך מתקנים?

a =

מקדם

x^{2} (

תמיד

!), b =

מקדם

x, c =

מספר חופשי. לפי הסדר של החזקות.

טעות נפוצה: לא מפשטים לפני הצבה

טיפ: $3 x^{2} - 6 x - 9 = 0 \div 3 x^{2} - 2 x - 3 = 0$ — הרבה יותר פשוט!

למה זה קורה?

תלמידים מציבים בנוסחה עם מקדמים גדולים, מה שמוביל לטעויות חישוב.

איך מתקנים?

אם יש גורם משותף (כמו

3x^{2} - 6x - 9 = 0)

, חלקו ב-3 קודם ואז הציבו.

טעות נפוצה: שורש של $\Delta$ — שוכחים לפשט

טעות: $x = \frac{3 \pm 49}{2}$ (עוצרים כאן)

נכון: $x = \frac{3 \pm 7}{2}$ (כי $49 = 7$ )

למה זה קורה?

תלמידים כותבים

\sqrt{49}

ולא מפשטים ל-7.

איך מתקנים?

תמיד פשטו את השורש אם אפשר:

\sqrt{49} = 7, \sqrt{16} = 4, \sqrt{25} = 5

טעות נפוצה: שגיאה בסימן של a שלילי

טיפ: $- x^{2} + 6 x - 5 = 0$ → כפלו ב-(-1): $x^{2} - 6 x + 5 = 0$

למה זה קורה?

כש-a שלילי (למשל

-x^{2} + 6x - 5 = 0)

, תלמידים מתעלמים מהמינוס.

איך מתקנים?

אפשר לכפול את כל המשוואה ב-

(-1)

כדי לקבל a חיובי, או להציב בזהירות

a = -1

בדיקה מהירה

במשוואה $-x^{2} + 6x - 5 = 0$ , מהם הערכים a, b, c?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: שוכחים לבדוק את התשובה

בדיקה ל-x = 5 ב- $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ :

25 - 15 - 10 = 0 ✓

למה זה קורה?

תלמידים לא מציבים חזרה כדי לוודא שהפתרון נכון.

איך מתקנים?

תמיד הציבו את הפתרון בחזרה במשוואה המקורית. אם שני הצדדים שווים — הפתרון נכון!

טעות נפוצה: חושבים שנוסחת השורשים עובדת רק כש- $a = 1$

הנוסחה עובדת לכל $a \neq = 0$ : $2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$ , $5 x^{2} + 3 x - 2 = 0$ , וכו'.

למה זה קורה?

תלמידים רגילים לפרק עם

a = 1

וחושבים שהנוסחה מוגבלת.

איך מתקנים?

נוסחת השורשים עובדת לכל

a \ne 0

! זה היתרון הגדול שלה על פני פירוק לגורמים.

טעות נפוצה: מבלבלים בין סכום ומכפלת שורשים לנוסחה

ב- $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ : סכום = -(-3)/1 = 3, מכפלה = -10/1 = -10

בדיקה: 5 + (-2) = 3 ✓, $5 \times (- 2) = - 10$ ✓

למה זה קורה?

תלמידים משתמשים בנוסחאות ויאטה (סכום

= -\frac{b}{a}

, מכפלה

= \frac{c}{a})

אבל מתבלבלים בסימנים.

איך מתקנים?

סכום שורשים

= -\frac{b}{a} (

מינוס b חלקי a). מכפלת שורשים

= \frac{c}{a}

תשובה מספרית

פתרו: $x^{2} - 6x + 5 = 0$ באמצעות נוסחת השורשים. מהו סכום הפתרונות?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

פתרו: $x^{2} - 5x + 4 = 0$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

נוסחת השורשים:

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

שלבי העבודה:

העבירו לצורה תקנית: $a x^{2} + b x + c = 0$
זהו a, b, c (כולל סימנים!)
חשבו $Δ = b^{2} - 4 a c$
אם $Δ \geq 0$ — הציבו בנוסחה
בדקו ע"י הצבה חזרה

זכרו:

$Δ > 0$ → שני פתרונות
$Δ = 0$ → פתרון כפול
$Δ < 0$ → אין פתרון ממשי

כל הכבוד! עכשיו אתם מוכנים לתרגל.

נוסחת השורשים

נוסחת השורשים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

זיהוי a, b, c — דוגמה בסיסית

פתרון: x2−3x−10=0x^{2} - 3x - 10 = 0x2−3x−10=0

פתרון: 2x2+5x−3=02x^{2} + 5x - 3 = 02x2+5x−3=0

פתרון כפול: x2+4x+4=0x^{2} + 4x + 4 = 0x2+4x+4=0

אין פתרון: x2+2x+5=0x^{2} + 2x + 5 = 0x2+2x+5=0

העברה לצורה תקנית: 3x=x2+23x = x^{2} + 23x=x2+2

פישוט לפני הצבה: 3x2−6x−9=03x^{2} - 6x - 9 = 03x2−6x−9=0

פתרון: x2−5x+4=0x^{2} - 5x + 4 = 0x2−5x+4=0

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים מינוס לפני b

טעות נפוצה: (-b) כשב-b שלילי: מינוס כפול מינוס

טעות נפוצה: b2b^{2}b2 כש-b שלילי

טעות נפוצה: מכנה 2 במקום 2a

טעות נפוצה: 4ac עם סימן שגוי כש-c שלילי

טעות נפוצה: שוכחים להעביר לצורה תקנית

טעות נפוצה: מחלקים את הפלוס/מינוס רק על חלק מהמכנה

טעות נפוצה: שוכחים שפתרון כפול הוא פתרון לגיטימי

טעות נפוצה: שוכחים שיש שני פתרונות

טעות נפוצה: מערבבים בין a, b, c

טעות נפוצה: לא מפשטים לפני הצבה

טעות נפוצה: שורש של Δ\DeltaΔ — שוכחים לפשט

טעות נפוצה: שגיאה בסימן של a שלילי

טעות נפוצה: שוכחים לבדוק את התשובה

טעות נפוצה: חושבים שנוסחת השורשים עובדת רק כש-a=1a = 1a=1

טעות נפוצה: מבלבלים בין סכום ומכפלת שורשים לנוסחה

סיכום

פתרון: $x^{2} - 3x - 10 = 0$

פתרון: $2x^{2} + 5x - 3 = 0$

פתרון כפול: $x^{2} + 4x + 4 = 0$

אין פתרון: $x^{2} + 2x + 5 = 0$

העברה לצורה תקנית: $3x = x^{2} + 2$

פישוט לפני הצבה: $3x^{2} - 6x - 9 = 0$

פתרון: $x^{2} - 5x + 4 = 0$

טעות נפוצה: $b^{2}$ כש-b שלילי

טעות נפוצה: שורש של $\Delta$ — שוכחים לפשט

טעות נפוצה: חושבים שנוסחת השורשים עובדת רק כש- $a = 1$