אי-שוויונות ריבועיים

מבוא

מה נלמד היום?

מהו אי-שוויון ריבועי ומה ההבדל בינו למשוואה ריבועית
כיצד לפתור אי-שוויון ריבועי בעזרת פירוק לגורמים
כיצד לנתח סימנים של ביטוי ריבועי בעזרת גרף הפרבולה
כיצד לרשום את קבוצת הפתרון בסימון קטע/קרן
מה קורה כשאין שורשים ממשיים או כשיש שורש כפול

הרעיון המרכזי

אי-שוויון ריבועי הוא אי-שוויון מהצורה $ax^2 + bx + c > 0$ (או $<, \geq, \leq$ ).

שיטת הפתרון:

פרקו את הביטוי הריבועי (או מצאו שורשים בנוסחה)
שרטטו את הפרבולה (סכמטית) — היא חותכת את ציר $x$ בשורשים
קבעו היכן הפרבולה מעל ציר $x$ (חיובית) או מתחתיו (שלילית)

כלל הזהב: אם הפרבולה פונה כלפי מעלה ( $a > 0$ ):

הביטוי חיובי מחוץ לשורשים
הביטוי שלילי בין השורשים

דוגמה 1: אי-שוויון מסוג "גדול מאפס"

פתרו: $x^2 - 4 > 0$

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2) > 0

השורשים: $x = -2, x = 2$

הפרבולה פונה כלפי מעלה → חיובית מחוץ לשורשים.

קבוצת הפתרון: $x < -2$ או $x > 2$

שלב 1 — פירוק לגורמים

נפרק כהפרש ריבועים:

x^2 - 4 = (x-2)(x+2)

דוגמה 2: אי-שוויון מסוג "קטן-שווה מאפס"

פתרו: $x^2 - 5x + 6 \leq 0$

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3) \leq 0

הפרבולה פונה מעלה → שלילית בין השורשים.

שימו לב: הסימן $\leq$ כולל גם את הנקודות שבהן הביטוי שווה לאפס (כלומר, את השורשים עצמם).

קבוצת הפתרון: $2 \leq x \leq 3$

שלב 1 — פירוק

x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)

בדיקה מהירה

מהו קבוצת הפתרון של אי-השוויון $x^2 - 4 > 0$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהו קבוצת הפתרון של אי-השוויון $x^2 - 5x + 6 \leq 0$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מקדם שלילי של $x^2$

פתרו: $-x^2 + 3x - 2 > 0$

חשוב: כשכופלים אי-שוויון ב- $(-1)$ , מהפכים את הכיוון!

- x^{2} + 3 x - 2 > 0 \Rightarrow x^{2} - 3 x + 2 < 0

(x-1)(x-2) < 0

הפרבולה פונה מעלה → שלילית בין השורשים.

קבוצת הפתרון: $1 < x < 2$

שלב 1 — כפל ב- $(-1)$

נכפיל את שני האגפים ב-

(-1)

ונהפוך את כיוון אי-השוויון:

x^2 - 3x + 2 < 0

דוגמה 4: חילוק במקדם חיובי

פתרו: $3x^2 - 12x + 9 \leq 0$

\frac{3 x ^{2} - 12 x + 9}{3} \leq 0 \Rightarrow x^{2} - 4 x + 3 \leq 0

(x - 1) (x - 3) \leq 0

קבוצת הפתרון: $1 \leq x \leq 3$

שלב 1 — חילוק ב-3

נחלק ב-

3

(חיובי, אז הכיוון לא משתנה):

x^2 - 4x + 3 \leq 0

בדיקה מהירה

פתרו: $x^2 < 16$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: מ- $x^2 < c$ לקטע

פתרו: $x^2 < 16$

x^{2} < 16 \Rightarrow x^{2} - 16 < 0 \Rightarrow (x - 4) (x + 4) < 0

קבוצת הפתרון: $-4 < x < 4$

טיפ: $x^2 < c$ (כאשר $c > 0$ ) שקול ל- $-\sqrt{c} < x < \sqrt{c}$

שלב 1 — העברת אגפים

x^2 - 16 < 0

דוגמה 6: ריבוע שלם — שורש כפול

פתרו: $x^2 + 4x + 4 \leq 0$

(x + 2)^{2} \leq 0

ריבוע תמיד $\geq 0$ . הוא שווה לאפס רק ב- $x = -2$ .

קבוצת הפתרון: $\{-2\}$ (נקודה בודדת!)

שלב 1 — זיהוי ריבוע שלם

x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2

דוגמה 7: אין שורשים — $\Delta < 0$

פתרו: $x^2 + 1 > 0$

x^{2} + 1 > 0 תמיד!

$x^2 \geq 0$ לכל $x$ , ולכן $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ .

קבוצת הפתרון: כל $x$ ממשי — $\mathbb{R}$

שלב 1 — דיסקרימיננטה

\Delta = 0 - 4 = -4 < 0

. אין שורשים ממשיים.

בדיקה מהירה

אי-השוויון $x^2 + 1 > 0$ מתקיים עבור:

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

אי-השוויון $x^2 + 4x + 4 \leq 0$ מתקיים עבור:

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 8: דיסקרימיננטה שלילית ומקדם שלילי

פתרו: $-x^2 + 2x - 5 > 0$

- x^{2} + 2 x - 5 > 0 \Rightarrow x^{2} - 2 x + 5 < 0

$\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ → אין שורשים, הפרבולה תמיד חיובית.

$x^2 - 2x + 5 < 0$ אף פעם לא מתקיים.

קבוצת הפתרון: $\emptyset$ (אין פתרון)

שלב 1 — כפל ב- $(-1)$

x^2 - 2x + 5 < 0

בדיקה מהירה

פתרו: $x^2 - 1 \leq 0$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהו הסימן של הביטוי $x^2 - 2x - 3$ עבור $x = 0$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

פתרו: $x^2 \geq 25$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

אם $a > 0$ והדיסקרימיננטה של $ax^2 + bx + c$ שלילית, אז $ax^2 + bx + c > 0$ :

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהו קבוצת הפתרון של $x^2 - 9 \geq 0$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

לאילו ערכי $x$ מתקיים $(x-1)(x+3) > 0$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

פתרו: $x^2 + 2x - 8 < 0$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה:

סיכום

שלבי הפתרון של אי-שוויון ריבועי $ax^2 + bx + c \gtrless 0$ :

פשטו — העבירו הכול לאגף אחד. אם $a < 0$ , כפלו ב- $(-1)$ והפכו כיוון.
מצאו שורשים — פרקו לגורמים או השתמשו בנוסחה.
נתחו סימנים — שרטטו את הפרבולה:
- $a > 0$ : חיובית מחוץ לשורשים, שלילית בין השורשים
- $a < 0$ : שלילית מחוץ לשורשים, חיובית בין השורשים
רשמו את קבוצת הפתרון — שימו לב ל- $<$ מול $\leq$ .

מקרים מיוחדים:

$\Delta < 0$ : אין שורשים → הביטוי תמיד חיובי (אם $a > 0$ ) או תמיד שלילי (אם $a < 0$ )
$\Delta = 0$ : שורש כפול → הביטוי מתאפס בנקודה אחת בלבד

אי-שוויונות ריבועיים

אי-שוויונות ריבועיים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמה 1: אי-שוויון מסוג "גדול מאפס"

פתרו: x2−4>0x^2 - 4 > 0x2−4>0

דוגמה 2: אי-שוויון מסוג "קטן-שווה מאפס"

פתרו: x2−5x+6≤0x^2 - 5x + 6 \leq 0x2−5x+6≤0

בדיקה מהירה

דוגמה 3: מקדם שלילי של x2x^2x2

פתרו: −x2+3x−2>0-x^2 + 3x - 2 > 0−x2+3x−2>0

דוגמה 4: חילוק במקדם חיובי

פתרו: 3x2−12x+9≤03x^2 - 12x + 9 \leq 03x2−12x+9≤0

בדיקה מהירה

דוגמה 5: מ-x2<cx^2 < cx2<c לקטע

פתרו: x2<16x^2 < 16x2<16

דוגמה 6: ריבוע שלם — שורש כפול

פתרו: x2+4x+4≤0x^2 + 4x + 4 \leq 0x2+4x+4≤0

דוגמה 7: אין שורשים — Δ<0\Delta < 0Δ<0

פתרו: x2+1>0x^2 + 1 > 0x2+1>0

בדיקה מהירה

דוגמה 8: דיסקרימיננטה שלילית ומקדם שלילי

פתרו: −x2+2x−5>0-x^2 + 2x - 5 > 0−x2+2x−5>0

בדיקה מהירה

בדיקה מהירה

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

טעות נפוצה:

סיכום

פתרו: $x^2 - 4 > 0$

פתרו: $x^2 - 5x + 6 \leq 0$

דוגמה 3: מקדם שלילי של $x^2$

פתרו: $-x^2 + 3x - 2 > 0$

פתרו: $3x^2 - 12x + 9 \leq 0$

דוגמה 5: מ- $x^2 < c$ לקטע

פתרו: $x^2 < 16$

פתרו: $x^2 + 4x + 4 \leq 0$

דוגמה 7: אין שורשים — $\Delta < 0$

פתרו: $x^2 + 1 > 0$

פתרו: $-x^2 + 2x - 5 > 0$