ייצוב מכנה

מבוא

מה נלמד היום?

להבין מדוע מייצבים מכנה ומה המשמעות של התהליך
לייצב מכנה כשהמכנה הוא שורש פשוט (כמו $\frac{1}{2}$ )
להכיר את מושג הצמוד (conjugate) ולהשתמש בו לייצוב
לייצב מכנה כשהמכנה כולל סכום/הפרש עם שורש (כמו $\frac{3}{1 + 2}$ )

הרעיון המרכזי

ייצוב מכנה — מהו ולמה?

ייצוב מכנה הוא תהליך שבו הופכים את המכנה של שבר למספר רציונלי (ללא שורשים).

שיטה 1 — מכנה עם שורש פשוט:

כופלים מונה ומכנה בשורש שבמכנה:

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot b}{b \cdot b} = \frac{a b}{b}

שיטה 2 — מכנה עם שורש וחיבור/חיסור:

כופלים מונה ומכנה בצמוד (conjugate):

\frac{a}{c + d} \cdot \frac{c - d}{c - d} = \frac{a ( c - d )}{c ^{2} - d}

הצמוד של $a + b$ הוא $a - b$ .

למה? כי $(a + b) (a - b) = a^{2} - b$ — מספר רציונלי!

בדיקה מהירה

מהו ייצוב מכנה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

ייצבו: $\frac{1}{\sqrt{2}}$

\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{2}

זה הדוגמה הבסיסית ביותר לייצוב מכנה.

שלב 1 — מזהים את השורש במכנה

המכנה הוא

\sqrt{2}

בדיקה מהירה

כדי לייצב את המכנה בשבר $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , באיזה ביטוי נכפיל מונה ומכנה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

ייצבו את המכנה: $\frac{1}{\sqrt{2}} = ?$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ . נכון או לא נכון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

ייצבו: $\frac{5}{\sqrt{2}}$

\frac{5}{2} = \frac{5 2}{2}

שלב 1 — כופלים ב- $\sqrt{2}$

\frac{5 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}

ייצבו: $\frac{6}{\sqrt{3}}$

\frac{6}{3} = \frac{6 3}{3} = 23

שימו לב: אחרי ייצוב המכנה, תמיד לפשט!

שלב 1 — כופלים ב- $\sqrt{3}$

\frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = 6\frac{\sqrt{3}}{3}

ייצבו: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{3}

שלב 1 — כופלים ב- $\sqrt{3}$

\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}

ייצבו: $\frac{3}{1+\sqrt{2}}$

\frac{3}{1 + 2} = \frac{3 ( 1 - 2 )}{( 1 + 2 ) ( 1 - 2 )} = \frac{3 ( 1 - 2 )}{1 - 2} = \frac{3 ( 1 - 2 )}{- 1} = - 3 + 32

שלב 1 — מזהים שצריך צמוד

הצמוד של

1+\sqrt{2}

הוא

1-\sqrt{2}

בדיקה מהירה

כדי לייצב את המכנה בשבר $\frac{3}{1+\sqrt{2}}$ , באיזה ביטוי נכפיל מונה ומכנה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

הצמוד (conjugate) של $3 + \sqrt{5}$ הוא $3 - \sqrt{5}$ . נכון או לא נכון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

ייצבו: $\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

\frac{2 + 3}{2 - 3} = \frac{( 2 + 3 ) ^{2}}{( 2 - 3 ) ( 2 + 3 )} = \frac{7 + 4 3}{1} = 7 + 43

שלב 1 — הצמוד של $2-\sqrt{3}$ הוא $2+\sqrt{3}$

כופלים מונה ומכנה ב-

(2+\sqrt{3})

תשובה מספרית

חשבו: $(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2}) = ?$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חשבו: $(5-\sqrt{7})(5+\sqrt{7}) = ?$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חשבו: $(4+\sqrt{3})(4-\sqrt{3}) = ?$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

ייצבו: $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

\frac{1}{5 - 3} = \frac{5 + 3}{( 5 - 3 ) ( 5 + 3 )} = \frac{5 + 3}{2}

שלב 1 — הצמוד של $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ הוא $\sqrt{5}+\sqrt{3}$

כופלים מונה ומכנה ב-

(\sqrt{5}+\sqrt{3})

ייצבו: $\frac{2}{3-\sqrt{5}}$

\frac{2}{3 - 5} = \frac{2 ( 3 + 5 )}{( 3 - 5 ) ( 3 + 5 )} = \frac{6 + 2 5}{4} = \frac{3 + 5}{2}

שלב 1 — הצמוד של $3-\sqrt{5}$ הוא $3+\sqrt{5}$

כופלים מונה ומכנה ב-

(3+\sqrt{5})

נכון או לא נכון

$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 1$ . נכון או לא נכון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

הצמוד של $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ הוא $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ . נכון או לא נכון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כופלים רק את המכנה ולא את המונה

טעות: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$

נכון: $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{2}$

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים שצריך לכפול גם את המונה כדי לא לשנות את ערך השבר.

איך מתקנים?

תמיד כופלים מונה ומכנה באותו ביטוי — זה כמו לכפול ב-1!

טעות נפוצה: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} ($ בלי מכנה)

טעות: $\frac{1}{2} = 2$

נכון: $\frac{1}{2} = \frac{2}{2} \approx 0.707$

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שהכפלה ב-

\sqrt{2}

מבטלת את המכנה.

איך מתקנים?

הכפלה ב-

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1

לא מבטלת את המכנה, אלא הופכת אותו ל-2.

טעות נפוצה: שוכחים לפשט אחרי ייצוב

טעות: $\frac{6}{3} = \frac{6 3}{3}$ (עוצרים כאן)

נכון: $\frac{6}{3} = \frac{6 3}{3} = 23$

למה זה קורה?

תלמידים עוצרים אחרי ייצוב המכנה ולא מפשטים.

איך מתקנים?

תמיד לבדוק אם אפשר לצמצם את השבר!

טעות נפוצה: הצמוד של $a+√b$ הוא $a+√b$

טעות: הצמוד של $3 + 2$ הוא $3 + 2$

נכון: הצמוד של $3 + 2$ הוא $3 - 2$

למה זה קורה?

תלמידים לא משנים את הסימן בצמוד.

איך מתקנים?

הצמוד של

a+√b

הוא

a-√b (

משנים את הסימן לפני השורש).

טעות נפוצה: כופלים בצמוד כשמספיק לכפול בשורש

עבור $\frac{3}{5}$ — מספיק לכפול ב- $5$ .

צמוד נדרש עבור $\frac{3}{2 + 5}$ — כאן כופלים ב- $2 - 5$ .

למה זה קורה?

תלמידים משתמשים בשיטת הצמוד גם כשהמכנה הוא שורש פשוט.

איך מתקנים?

כשהמכנה הוא

√b

בלבד, מספיק לכפול ב-

√b

. צמוד נדרש רק כשיש חיבור/חיסור.

טעות נפוצה: $(a+√b)(a-√b) = a^{2} - √b$

טעות: $(3 + 5) (3 - 5) = 9 - 5$

נכון: $(3 + 5) (3 - 5) = 9 - 5 = 4$

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים להעלות את

√b

בריבוע.

איך מתקנים?

(a+√b)(a-√b) = a^{2} - (√b)^{2} = a^{2} - b

טעות נפוצה: ייצוב משנה את ערך השבר

\frac{1}{2} = \frac{2}{2}

שני הביטויים שווים: $\frac{1}{1.414...} \approx 0.707 = \frac{1.414...}{2}$

למה זה קורה?

תלמידים חוששים שייצוב מכנה ישנה את ערך הביטוי.

איך מתקנים?

ייצוב מכנה לא משנה את הערך! אנחנו כופלים ב-1 (כלומר ב-

√b/√b

או ב-

\frac{conjugate}{conjugate})

נכון או לא נכון

כשמייצבים מכנה, ערך השבר משתנה. נכון או לא נכון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: $\frac{3}{1+\sqrt{2}}$ — כופלים ב- $\sqrt{2}$ במקום בצמוד

טעות: $\frac{3}{1 + 2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{3 2}{2 + 2}$ (עדיין שורש במכנה!)

נכון: $\frac{3}{1 + 2} \cdot \frac{1 - 2}{1 - 2} = \frac{3 ( 1 - 2 )}{- 1} = - 3 + 32$

למה זה קורה?

תלמידים לא מבדילים בין שורש פשוט במכנה לבין סכום עם שורש.

איך מתקנים?

כשהמכנה הוא

1+\sqrt{2}

, צריך לכפול בצמוד:

1-\sqrt{2}

טעות נפוצה: שוכחים סימן שלילי אחרי ייצוב

טעות: $\frac{3}{1 + 2} = \frac{3 ( 1 - 2 )}{1} = 3 - 32$

נכון: $\frac{3}{1 + 2} = \frac{3 ( 1 - 2 )}{- 1} = - 3 + 32$

למה זה קורה?

תלמידים לא שמים לב שהמכנה יוצא שלילי.

איך מתקנים?

(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1-2 = -1

. המכנה שלילי! חשוב לא לשכוח את הסימן.

טעות נפוצה: פותחים סוגריים במונה בטעות

טעות: $(2 + 3)^{2} = 4 + 3 = 7$

נכון: $(2 + 3)^{2} = 4 + 2 \cdot 2 \cdot 3 + 3 = 7 + 43$

למה זה קורה?

תלמידים טועים בפתיחת הסוגריים

(2+\sqrt{3})^{2}

איך מתקנים?

(2+\sqrt{3})^{2} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7+4\sqrt{3}

, ולא

4+3 = 7

טעות נפוצה: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3}$

טעות: $\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

נכון: $\frac{2}{3} = \frac{6}{3} \approx 0.816$

למה זה קורה?

תלמידים מוציאים את סימן השורש ומשאירים רק את המספרים.

איך מתקנים?

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \ne \frac{2}{3.} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} ≈ 0.816

, בעוד ש-

\frac{2}{3} ≈ 0.667

טעות נפוצה: $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ — כופלים ב- $(\sqrt{5}-\sqrt{3})$

טעות: כופלים ב- $\frac{5 - 3}{5 - 3}$ — עדיין שורשים במכנה!

נכון: כופלים ב- $\frac{5 + 3}{5 + 3}$ — המכנה הופך ל-5-3 = 2

למה זה קורה?

תלמידים כופלים באותו ביטוי במקום בצמוד.

איך מתקנים?

כופלים בצמוד:

\sqrt{5}+\sqrt{3}

. כך

(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = 5-3 = 2

טעות נפוצה: $(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = 5+3 = 8$

טעות: $(5 + 3) (5 - 3) = 5 + 3 = 8$

נכון: $(5 + 3) (5 - 3) = 5 - 3 = 2$

למה זה קורה?

תלמידים מחברים במקום לחסר.

איך מתקנים?

(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^{2} - (\sqrt{3})^{2} = 5 - 3 = 2

טעות נפוצה: ניתן לייצב מכנה רק עם שורש פשוט

גם $\frac{3}{2 - 5}$ ניתן לייצוב — כופלים ב- $\frac{2 + 5}{2 + 5}$ .

למה זה קורה?

תלמידים לא מכירים את שיטת הצמוד.

איך מתקנים?

ניתן לייצב כל מכנה הכולל שורשים! עבור

a+√b

— כופלים בצמוד

a-√b

סיכום

מה למדנו היום?

ייצוב מכנה — שיטה 1 (שורש פשוט):

$\frac{a}{b} = \frac{a b}{b}$
דוגמה: $\frac{1}{2} = \frac{2}{2}$

ייצוב מכנה — שיטה 2 (צמוד):

$\frac{a}{c + d} = \frac{a ( c - d )}{c ^{2} - d}$
דוגמה: $\frac{3}{1 + 2} = - 3 + 32$

כללים חשובים:

ייצוב לא משנה את ערך השבר
תמיד לפשט אחרי ייצוב
$(a + b) (a - b) = a^{2} - b$

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לייצב מכנה בכל מצב!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על ייצוב מכנה!

ייצוב מכנה

ייצוב מכנה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

ייצבו: 12\frac{1}{\sqrt{2}}2​1​

ייצבו: 52\frac{5}{\sqrt{2}}2​5​

ייצבו: 63\frac{6}{\sqrt{3}}3​6​

ייצבו: 23\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}3​2​​

ייצבו: 31+2\frac{3}{1+\sqrt{2}}1+2​3​

ייצבו: 2+32−3\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}2−3​2+3​​

ייצבו: 15−3\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}5​−3​1​

ייצבו: 23−5\frac{2}{3-\sqrt{5}}3−5​2​

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כופלים רק את המכנה ולא את המונה

טעות נפוצה: 12=2(\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} (2​1​=2​(בלי מכנה)

טעות נפוצה: שוכחים לפשט אחרי ייצוב

טעות נפוצה: הצמוד של a+√ba+√ba+√b הוא a+√ba+√ba+√b

טעות נפוצה: כופלים בצמוד כשמספיק לכפול בשורש

טעות נפוצה: (a+√b)(a−√b)=a2−√b(a+√b)(a-√b) = a^{2} - √b(a+√b)(a−√b)=a2−√b

טעות נפוצה: ייצוב משנה את ערך השבר

טעות נפוצה: 31+2\frac{3}{1+\sqrt{2}}1+2​3​ — כופלים ב-2\sqrt{2}2​ במקום בצמוד

טעות נפוצה: שוכחים סימן שלילי אחרי ייצוב

טעות נפוצה: פותחים סוגריים במונה בטעות

טעות נפוצה: 23=23\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3}3​2​​=32​

טעות נפוצה: 15−3\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}5​−3​1​ — כופלים ב-(5−3)(\sqrt{5}-\sqrt{3})(5​−3​)

טעות נפוצה: (5+3)(5−3)=5+3=8(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = 5+3 = 8(5​+3​)(5​−3​)=5+3=8

טעות נפוצה: ניתן לייצב מכנה רק עם שורש פשוט

סיכום

תרגול נוסף

ייצבו: $\frac{1}{\sqrt{2}}$

ייצבו: $\frac{5}{\sqrt{2}}$

ייצבו: $\frac{6}{\sqrt{3}}$

ייצבו: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

ייצבו: $\frac{3}{1+\sqrt{2}}$

ייצבו: $\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

ייצבו: $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

ייצבו: $\frac{2}{3-\sqrt{5}}$

טעות נפוצה: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} ($ בלי מכנה)

טעות נפוצה: הצמוד של $a+√b$ הוא $a+√b$

טעות נפוצה: $(a+√b)(a-√b) = a^{2} - √b$

טעות נפוצה: $\frac{3}{1+\sqrt{2}}$ — כופלים ב- $\sqrt{2}$ במקום בצמוד

טעות נפוצה: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3}$

טעות נפוצה: $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ — כופלים ב- $(\sqrt{5}-\sqrt{3})$

טעות נפוצה: $(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = 5+3 = 8$