תכונות שורשים ופעולות

מבוא

מה נלמד היום?

להכיר את תכונת המכפלה: $a \cdot b = a \cdot b$
להכיר את תכונת המנה: $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$
לפשט ביטויים עם שורשים (לדוגמה $50 = 52$ )
לחבר ולחסר שורשים דומים (לדוגמה $32 + 52 = 82$ )

הרעיון המרכזי

תכונות השורש הריבועי

תכונת המכפלה: לכל $a, b \geq 0$ :

a \cdot b = a \cdot b

תכונת המנה: לכל $a \geq 0$ ו-b > 0:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}

פישוט שורשים: מוציאים את הריבוע השלם הגדול ביותר מתחת לשורש.

חיבור שורשים דומים: ניתן לחבר/לחסר רק שורשים עם אותו מספר תחת השורש:

a n + b n = (a + b) n

זהירות! $a + b \neq = a + b$

דוגמאות מפורטות

חשבו: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$

2 \cdot 8 = 2 \cdot 8 = 16 = 4

שלב 1 — משתמשים בתכונת המכפלה

\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 8}

בדיקה מהירה

איזה כלל נכון עבור כפל שורשים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חשבו: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = ?$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

$\sqrt{a \cdot b} = √a \cdot √b$ לכל $a, b \ge 0$ . נכון או לא נכון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

פשטו: $\sqrt{18}$

18 = 9 \cdot 2 = 9 \cdot 2 = 32

הכלל: מחפשים את הריבוע השלם הגדול ביותר שמחלק את המספר.

שלב 1 — מפרקים לגורמים

18 = 9 \times 2

, כאשר 9 הוא ריבוע שלם.

בדיקה מהירה

מהו הפישוט של $\sqrt{18}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ . נכון או לא נכון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

פשטו: $\sqrt{72}$

72 = 36 \cdot 2 = 62

שימו לב: אפשר גם לפרק בשלבים: $72 = 4 \cdot 18 = 218 = 2 \cdot 32 = 62$ . התוצאה זהה!

שלב 1 — מחפשים ריבוע שלם

72 = 36 \times 2 (36

הוא הריבוע השלם הגדול ביותר שמחלק 72)

פשטו: $\sqrt{200}$

200 = 100 \cdot 2 = 102

שלב 1 — מפרקים

200 = 100 \times 2

חשבו: $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3}$

23 + 53 = (2 + 5) 3 = 73

חיבור שורשים דומים דומה לחיבור איברים דומים באלגברה: 2x + 5x = 7x.

שלב 1 — מזהים שורשים דומים

שני הביטויים כוללים

\sqrt{3}

, לכן הם שורשים דומים.

תשובה מספרית

חשבו: $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = ?\sqrt{3} ($ כתבו את המקדם)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

פשטו: $\sqrt{8} + \sqrt{18}$

8 + 18 = 22 + 32 = 52

שימו לב: לפני החיבור, חייבים לפשט כל שורש כדי לזהות שורשים דומים!

שלב 1 — מפשטים כל שורש

\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}, \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}

בדיקה מהירה

מהו הפישוט של $\sqrt{8} + \sqrt{18}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

פשטו: $\sqrt{12} + \sqrt{27}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

חשבו: $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$

\frac{12}{3} = \frac{12}{3} = 4 = 2

שלב 1 — משתמשים בתכונת המנה

\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}}

חשבו: $(2\sqrt{3})^{2}$

(23)^{2} = 2^{2} \cdot (3)^{2} = 4 \cdot 3 = 12

כלל: $(a b)^{2} = a^{2} \cdot b$

שלב 1 — פותחים את הריבוע

(2\sqrt{3})^{2} = 2^{2} \cdot (\sqrt{3})^{2}

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: $\sqrt{a+b} = √a + √b$

טעות: $9 + 16 = 9 + 16 = 3 + 4 = 7$

נכון: $9 + 16 = 25 = 5$

למה זה קורה?

תלמידים מניחים שתכונת המכפלה חלה גם על חיבור.

איך מתקנים?

תכונה זו לא קיימת

! \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5

, אבל

\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7

. ברור ש-

5 \ne 7

נכון או לא נכון

$\sqrt{a + b} = √a + √b$ . נכון או לא נכון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: $\sqrt{a-b} = √a - √b$

טעות: $25 - 16 = 25 - 16 = 5 - 4 = 1$

נכון: $25 - 16 = 9 = 3$

למה זה קורה?

תלמידים מרחיבים את הטעות הקודמת גם לחיסור.

איך מתקנים?

זה לא נכון

! \sqrt{25-16} = \sqrt{9} = 3

, אבל

\sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1

טעות נפוצה: $3\sqrt{2} + 5\sqrt{3} = 8\sqrt{5}$

טעות: $32 + 53 = 85$

נכון: $32 + 53$ — לא ניתן לפשט (שורשים שונים).

למה זה קורה?

תלמידים מחברים שורשים שונים כאילו הם דומים.

איך מתקנים?

ניתן לחבר רק שורשים דומים

! 3\sqrt{2} + 5\sqrt{3}

נשאר כפי שהוא — אי אפשר לפשט.

נכון או לא נכון

$3\sqrt{2} + 5\sqrt{3} = 8\sqrt{5}$ . נכון או לא נכון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: $\sqrt{50} = 25 ($ חילוק ב-2)

טעות: $50 = 25$

נכון: $50 = 25 \cdot 2 = 52 \approx 7.07$

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים בין שורש לחילוק ב-2.

איך מתקנים?

\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} ≈ 7.07

. לא 25!

טעות נפוצה: $\sqrt{72} = \sqrt{36} + \sqrt{36}$

טעות: $72 = 36 + 36 = 12$

נכון: $72 = 36 \times 2 = 62 \approx 8.49$

למה זה קורה?

תלמידים מפרקים את 72 לסכום במקום למכפלה.

איך מתקנים?

72 = 36 \times 2

, ולכן

\sqrt{72} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}

. השורש עובד עם כפל, לא עם חיבור!

טעות נפוצה: שוכחים לפשט לפני חיבור

טעות: $8 + 18 = 26$

נכון: $8 + 18 = 22 + 32 = 52$

למה זה קורה?

תלמידים מנסים לחבר

\sqrt{8} + \sqrt{18}

ישירות בלי לפשט.

איך מתקנים?

חייבים לפשט קודם:

\sqrt{8} = 2\sqrt{2}

ו-

\sqrt{18} = 3\sqrt{2}

, ואז

2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}

טעות נפוצה: $\sqrt{48} = 6\sqrt{2}$

טעות: $48 = 62$

נכון: $48 = 16 \cdot 3 = 43$

למה זה קורה?

תלמידים לא מוצאים את הריבוע השלם הגדול ביותר.

איך מתקנים?

48 = 16 \times 3 (

לא

4 \times 12). \sqrt{48} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}

טעות נפוצה: $(2\sqrt{3})^{2} = 2 \cdot 3 = 6$

טעות: $(23)^{2} = 6$

נכון: $(23)^{2} = 4 \cdot 3 = 12$

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים להעלות בריבוע גם את המקדם.

איך מתקנים?

(2\sqrt{3})^{2} = 2^{2} \cdot (\sqrt{3})^{2} = 4 \cdot 3 = 12

טעות נפוצה: $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{1}} = 4$

טעות: $\frac{12}{3} = 4$

נכון: $\frac{12}{3} = \frac{12}{3} = 4 = 2$

למה זה קורה?

תלמידים מחלקים את המספרים בנפרד בצורה שגויה.

איך מתקנים?

\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2

טעות נפוצה: לא מפשטים עד הסוף

טעות: $32 = 28$ (עוצרים כאן)

נכון: $32 = 28 = 2 \cdot 22 = 42$

תמיד ודאו שתחת השורש אין ריבוע שלם שאפשר להוציא!

למה זה קורה?

תלמידים עוצרים לפני שהגיעו לצורה הפשוטה ביותר.

איך מתקנים?

\sqrt{32} = 2\sqrt{8}

— זה לא מפושט! צריך להמשיך:

2\sqrt{8} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}

טעות נפוצה: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{5}$

טעות: $2 \cdot 3 = 5$

נכון: $2 \cdot 3 = 6$

למה זה קורה?

תלמידים מחברים את המספרים תחת השורש במקום לכפול.

איך מתקנים?

\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}

, לא

\sqrt{5}

טעות נפוצה: $3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$

טעות: $32 \cdot 52 = 152$

נכון: $32 \cdot 52 = 15 \cdot 2 = 30$

למה זה קורה?

תלמידים מכפילים רק את המקדמים ושוכחים את השורשים.

איך מתקנים?

3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = (3 \cdot 5) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 15 \cdot 2 = 30

טעות נפוצה: $\sqrt{50} - \sqrt{32} = \sqrt{18}$

טעות: $50 - 32 = 18$

נכון: $50 - 32 = 52 - 42 = 2$

למה זה קורה?

תלמידים מחסרים תחת השורש ישירות.

איך מתקנים?

\sqrt{50} - \sqrt{32} = 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = \sqrt{2}

. לעומת זאת

\sqrt{18} = 3\sqrt{2} \ne \sqrt{2}

טעות נפוצה: $\sqrt{200} = 20\sqrt{2}$

טעות: $200 = 202$

נכון: $200 = 102$

כי $100 = 10$ , לא 20.

למה זה קורה?

תלמידים מוציאים שורש מ-200 כ-20 במקום 10.

איך מתקנים?

200 = 100 \times 2. \sqrt{200} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{2}

, לא

20\sqrt{2}

טעות נפוצה: $\sqrt{75} + \sqrt{48} = \sqrt{123}$

טעות: $75 + 48 = 123$

נכון: $75 + 48 = 53 + 43 = 93$

למה זה קורה?

תלמידים מחברים מספרים תחת השורש.

איך מתקנים?

\sqrt{75} = 5\sqrt{3}, \sqrt{48} = 4\sqrt{3}

. לכן

\sqrt{75} + \sqrt{48} = 5\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 9\sqrt{3}

תשובה מספרית

חשבו: $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = ?$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חשבו: $(2\sqrt{3})^{2} = ?$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו היום?

תכונות שורשים:

מכפלה: $a \cdot b = a \cdot b$
מנה: $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$
אין תכונה לחיבור/חיסור! $a + b \neq = a + b$

פישוט שורשים:

מחפשים ריבוע שלם גדול ביותר: $72 = 36 \cdot 2 = 62$
$50 = 52$ , $200 = 102$

חיבור שורשים דומים:

$32 + 52 = 82$
לפני חיבור — תמיד לפשט קודם!

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לעבוד עם תכונות שורשים!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על תכונות שורשים ופעולות!

תכונות שורשים ופעולות

תכונות שורשים ופעולות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

חשבו: 2⋅8\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}2​⋅8​

פשטו: 18\sqrt{18}18​

פשטו: 72\sqrt{72}72​

פשטו: 200\sqrt{200}200​

חשבו: 23+532\sqrt{3} + 5\sqrt{3}23​+53​

פשטו: 8+18\sqrt{8} + \sqrt{18}8​+18​

חשבו: 123\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}3​12​​

חשבו: (23)2(2\sqrt{3})^{2}(23​)2

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: a+b=√a+√b\sqrt{a+b} = √a + √ba+b​=√a+√b

טעות נפוצה: a−b=√a−√b\sqrt{a-b} = √a - √ba−b​=√a−√b

טעות נפוצה: 32+53=853\sqrt{2} + 5\sqrt{3} = 8\sqrt{5}32​+53​=85​

טעות נפוצה: 50=25(\sqrt{50} = 25 (50​=25(חילוק ב-2)

טעות נפוצה: 72=36+36\sqrt{72} = \sqrt{36} + \sqrt{36}72​=36​+36​

טעות נפוצה: שוכחים לפשט לפני חיבור

טעות נפוצה: 48=62\sqrt{48} = 6\sqrt{2}48​=62​

טעות נפוצה: (23)2=2⋅3=6(2\sqrt{3})^{2} = 2 \cdot 3 = 6(23​)2=2⋅3=6

טעות נפוצה: 123=41=4\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{1}} = 43​12​​=1​4​​=4

טעות נפוצה: לא מפשטים עד הסוף

טעות נפוצה: 2⋅3=5\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{5}2​⋅3​=5​

טעות נפוצה: 32⋅52=1523\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 15\sqrt{2}32​⋅52​=152​

טעות נפוצה: 50−32=18\sqrt{50} - \sqrt{32} = \sqrt{18}50​−32​=18​

טעות נפוצה: 200=202\sqrt{200} = 20\sqrt{2}200​=202​

טעות נפוצה: 75+48=123\sqrt{75} + \sqrt{48} = \sqrt{123}75​+48​=123​

סיכום

תרגול נוסף

חשבו: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$

פשטו: $\sqrt{18}$

פשטו: $\sqrt{72}$

פשטו: $\sqrt{200}$

חשבו: $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3}$

פשטו: $\sqrt{8} + \sqrt{18}$

חשבו: $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$

חשבו: $(2\sqrt{3})^{2}$

טעות נפוצה: $\sqrt{a+b} = √a + √b$

טעות נפוצה: $\sqrt{a-b} = √a - √b$

טעות נפוצה: $3\sqrt{2} + 5\sqrt{3} = 8\sqrt{5}$

טעות נפוצה: $\sqrt{50} = 25 ($ חילוק ב-2)

טעות נפוצה: $\sqrt{72} = \sqrt{36} + \sqrt{36}$

טעות נפוצה: $\sqrt{48} = 6\sqrt{2}$

טעות נפוצה: $(2\sqrt{3})^{2} = 2 \cdot 3 = 6$

טעות נפוצה: $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{1}} = 4$

טעות נפוצה: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{5}$

טעות נפוצה: $3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$

טעות נפוצה: $\sqrt{50} - \sqrt{32} = \sqrt{18}$

טעות נפוצה: $\sqrt{200} = 20\sqrt{2}$

טעות נפוצה: $\sqrt{75} + \sqrt{48} = \sqrt{123}$