יישומי דמיון

מבוא

מה נלמד היום?

התלמיד יוכל למדוד גבהים בשיטת הצל (מדידה עקיפה)
התלמיד יוכל להשתמש בשיטת המראה (שיקוף) למדידת גובה
התלמיד יוכל לחשב מרחקים ושטחים לפי קנה מידה
התלמיד יוכל להבחין בין יחס אורכים ליחס שטחים בקנה מידה
התלמיד יוכל לפתור בעיות מדידה עקיפה בגאומטריה (רוחב נהר, גובה מגדל)

דמיון משולשים אינו רק מושג תיאורטי — הוא כלי מעשי שבו השתמשו כבר לפני אלפי שנים! תאלס (המאה ה-6 לפנה"ס) חישב את גובה הפירמידה בעזרת צל מקל. בשיעור זה נלמד כיצד להשתמש בדמיון למדידות שלא ניתן לבצע ישירות.

הרעיון המרכזי

עקרונות מפתח ביישומי דמיון

מדידה עקיפה: שימוש בדמיון משולשים לחישוב אורך שלא ניתן למדוד ישירות.

שיטה 1 — שיטת הצל: כשקרני השמש מקבילות, כל עצם וצילו יוצרים משולש ישר-זווית. שני משולשים כאלה — דומים! $\frac{גובה עצם}{צל עצם} = \frac{גובה מקל}{צל מקל}$

שיטה 2 — שיטת המראה (שיקוף): זווית פגיעה = זווית החזרה → משולשים דומים. $\frac{גובה אדם}{מרחק מהמראה} = \frac{גובה עצם}{מרחק עצם מהמראה}$

שיטה 3 — קנה מידה:

יחס אורכים: קנה מידה 1:n
יחס שטחים: $1 : n^{2}$

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שיטת הצל — גובה עץ

עמוד גובהו 2 מ' מטיל צל באורך 3 מ'. באותו זמן, עץ מטיל צל באורך 12 מ'. מהו גובה העץ?

\frac{2}{3} = \frac{H}{12}

$H = \frac{2 \times 12}{3} = 8$ מ'

חשוב: יש למדוד את שני הצללים באותו זמן (כדי שזווית השמש תהיה זהה).

מה נתון?

גובה עמוד

= 2

מ', צל עמוד

= 3

מ', צל עץ

= 12

מ'

נכון או לא נכון

נכון או לא: אפשר להשתמש בדמיון משולשים כדי למדוד גובה של בניין ללא טיפוס עליו.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מקל באורך 1.5 מ' עומד אנכית. צילו 2 מ'. באותו רגע, צל של מגדל הוא 40 מ'. מהו גובה המגדל במטרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: שיטת המראה

אדם גבוה 1.6 מ' מניח מראה 4 מ' מבסיס עמוד. הוא הולך 2 מ' מהמראה ורואה את ראש העמוד. מהו גובה העמוד?

\frac{1.6}{2} = \frac{H}{4}

$H = \frac{1.6 \times 4}{2} = 3.2$ מ'

העיקרון: חוק ההחזרה — זווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה.

מה נתון?

גובה אדם

= 1.6

מ', מרחק אדם מהמראה

= 2

מ', מרחק מראה מהעמוד

= 4

מ'

תשובה מספרית

עמוד גובהו 2 מ' מטיל צל באורך 3 מ'. באותו זמן, עץ מטיל צל באורך 12 מ'. מהו גובה העץ במטרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: קנה מידה — חישוב מרחק

במפה בקנה מידה 1:50,000, המרחק בין שתי ערים הוא 6 ס״מ. מהו המרחק האמיתי?

6 \times 50, 000 = 300, 000 ס"מ = 3 ק"מ

טיפ: $1 ק"מ = 100, 000 ס"מ$ . לכן $\frac{300 , 000}{100 , 000} = 3$ ק"מ.

שלב 1 — משמעות קנה המידה

1:50,000 → 1 ס״מ במפה

= 50{,}000

ס״מ במציאות

תשובה מספרית

מרחק אמיתי בין שתי ערים הוא 15 ק"מ. במפה בקנה מידה 1:100,000, מהו המרחק בין הערים במפה בסנטימטרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: קנה מידה — יחס שטחים (k²)

בתוכנית בניין בקנה מידה 1:50, שטח חדר הוא 60 סמ״ר. מהו שטח החדר האמיתי?

n^{2} = 5 0^{2} = 2, 500

60 \times 2, 500 = 150, 000 סמ"ר = 15 מ"ר

שימו לב: לאורכים מכפילים ב-n, לשטחים מכפילים ב- $n^{2}$ !

שלב 1 — יחס שטחים

קנה מידה 1:50 → יחס שטחים

= (50)^{2} = 2{,}500

בדיקה מהירה

במפה בקנה מידה 1:50,000, המרחק בין שתי ערים הוא 6 ס"מ. מהו המרחק האמיתי?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בתוכנית בניין (שרטוט) בקנה מידה 1:50, שטח חדר הוא 60 סמ"ר. מהו שטח החדר האמיתי במ"ר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא: במפה בקנה מידה 1:25,000, שטח של 1 סמ"ר במפה מייצג שטח של 25,000 סמ"ר במציאות.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: מדידת רוחב נהר

כדי למדוד רוחב נהר AB, סמנו $BC = 20$ מ' לאורך הגדה. מנקודה C סמנו $CD = 5$ מ' ו-DE ∥ BA כאשר $DE = 3$ מ'. מהו רוחב הנהר?

\frac{C D}{CB} = \frac{D E}{B A}

$\frac{5}{20} = \frac{3}{B A} \Rightarrow B A = \frac{3 \times 20}{5} = 12$ מ'

העיקרון: בנינו משולש קטן וקל למדידה שדומה למשולש הגדול שכולל את הנהר.

מה נתון?

BC = 20, CD = 5, DE = 3, DE ∥ BA

תשובה מספרית

כדי למדוד רוחב נהר, סמנו נקודה A בגדה הנגדית. מנקודה B בגדה שלכם, מדדתם $BC = 20$ מ' לאורך הגדה. מנקודה C סמנתם נקודה D על הגדה כך ש- $CD = 5$ מ' ו-DE ∥ BA כאשר $DE = 3$ מ'. מהו רוחב הנהר AB במטרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

איזו שיטה מתבססת על דמיון משולשים למדידה עקיפה של רוחב נהר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 6: פנס רחוב — צל אדם

אדם גובהו 1.8 מ' עומד 4 מ' מפנס רחוב. צילו $= 2$ מ'. מהו גובה הפנס?

מרחק כולל מהפנס לקצה הצל: 4 + 2 = 6 מ'

$\frac{1.8}{2} = \frac{H}{6} \Rightarrow H = 5.4$ מ'

שימו לב: הצל של האדם מתחיל מרגליו (ולא מהפנס!), לכן המרחק הכולל = מרחק מהפנס + אורך הצל.

מה נתון?

גובה אדם

= 1.8

, מרחק מפנס

= 4

, צל

= 2

תשובה מספרית

אדם גובהו 1.8 מ' עומד 4 מ' מפנס רחוב. צילו על הקרקע הוא 2 מ'. מהו גובה הפנס במטרים?

סטייה מותרת: ±0.1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 7: מודל בקנה מידה — אורכים ושטחים

מודל מכונית בקנה מידה 1:18. אורך המודל 25 ס״מ, רוחבו 10 ס״מ. מצאו מידות אמיתיות ושטח גג המכונית אם שטח גג המודל $= 200$ סמ״ר.

אורכים: הכפלה ב-18.

שטח = 200 \times 1 8^{2} = 200 \times 324 = 64, 800 סמ"ר = 6.48 מ"ר

כלל: אורכים × n, שטחים × $n^{2}$ .

שלב 1 — אורך אמיתי

25 \times 18 = 450

ס״מ

= 4.5

מ'

תשובה מספרית

במודל של בניין בקנה מידה 1:200, גובה הדגם הוא 15 ס"מ. מהו גובה הבניין האמיתי במטרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 8: בעיה מורכבת — שטח במפה

במפה 1:5,000, חלקת אדמה משולשת שטחה 8 סמ״ר. מהו שטחה האמיתי בדונמים?

8 \times (5, 000)^{2} = 8 \times 25, 000, 000 = 200, 000, 000 סמ"ר

= 20, 000 מ"ר = 2 דונם

תזכורת: $1 מ"ר = 10, 000 סמ"ר$ , $1 דונם = 1, 000 מ"ר$ .

שלב 1 — יחס שטחים

n^{2} = (5{,}000)^{2} = 25{,}000,000

נכון או לא נכון

נכון או לא: אם מגדילים תמונה פי 2 (בכל כיוון), שטח התמונה גדל פי 2.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים למדוד צללים באותו זמן

טעות: מדידת צל המקל בבוקר וצל הבניין בצהריים.

נכון: מודדים את שני הצללים באותו רגע כדי שזווית השמש תהיה זהה.

למה זה קורה?

תלמידים לא מבינים שזווית השמש משתנה.

איך מתקנים?

שיטת הצל עובדת רק כשקרני השמש באותה זווית — חובה למדוד את שני הצללים באותו רגע!

טעות נפוצה: מכפילים שטח בקנה מידה במקום בריבועו

טעות: "מפה 1:25,000, שטח 4 סמ"ר → שטח אמיתי = 4 × 25,000 = 100,000 סמ"ר"

נכון: שטח אמיתי = $4 \times (25, 000)^{2} = 4 \times 625, 000, 000$ סמ"ר

למה זה קורה?

תלמידים מתייחסים לשטח כמו לאורך.

איך מתקנים?

קנה מידה 1:n → אורכים

\times n

, שטחים

\times n^{2}

. שטח תלוי בשני ממדים!

טעות נפוצה: מבלבלים את כיוון קנה המידה

ממפה למציאות: הכפלה בקנה המידה (הגדלה)

ממציאות למפה: חילוק בקנה המידה (הקטנה)

למה זה קורה?

תלמידים לא יודעים אם להכפיל או לחלק.

איך מתקנים?

1:50,000 → המפה קטנה. ממפה למציאות:

\times 50{,}000

. ממציאות למפה:

\div 50{,}000

טעות נפוצה: שוכחים להמיר יחידות

טעות: "300,000 ס"מ" (ללא המרה)

נכון: $300, 000 ס"מ = 3, 000 מ’ = 3 ק"מ$

למה זה קורה?

תלמידים מקבלים תשובה בסנטימטרים במקום בקילומטרים.

איך מתקנים?

תמיד המירו ליחידות המתאימות! 100,000 ס״מ

= 1

ק״מ, 10,000 סמ״ר

= 1

מ״ר.

טעות נפוצה: בשיטת המראה — שוכחים שהאדם צריך לעמוד ישר

תנאים לשימוש בשיטת המראה:

קרקע אופקית ושטוחה
העצמים (אדם, בניין) אנכיים
חוק ההחזרה: $α = β$

למה זה קורה?

תלמידים לא מבינים את התנאים הגאומטריים.

איך מתקנים?

שיטת המראה מניחה:

(1)

הקרקע אופקית

, (2)

האדם והעצם אנכיים

, (3)

זווית פגיעה = זווית החזרה.

טעות נפוצה: בבעיית פנס — שוכחים לחבר מרחק + צל

טעות: $\frac{1.8}{H} = \frac{2}{4}$

נכון: $\frac{1.8}{H} = \frac{2}{4 + 2} = \frac{2}{6}$

המרחק הכולל הוא 4 + 2 = 6.

למה זה קורה?

תלמידים משתמשים רק במרחק מהפנס, בלי להוסיף את אורך הצל.

איך מתקנים?

המרחק הכולל מהפנס לקצה הצל = מרחק האדם מהפנס + אורך הצל.

טעות נפוצה: חושבים שכל בעיית צל דומה

שמש: קרני אור מקבילות → יחס ישיר גובה/צל

פנס: קרני אור מנקודה → צריך לשים לב למרחקים מנקודת האור

למה זה קורה?

תלמידים מיישמים נוסחה אחת בלי לחשוב.

איך מתקנים?

בבעיות שמש: קרני שמש מקבילות → דמיון ישיר. בבעיות פנס: קרני אור מנקודה → משולשים דומים שמשתפים קודקוד.

טעות נפוצה: שוכחים להוסיף גובה עיניים

חסר: $H = d \times tan (α)$

מלא: $H = d \times tan (α) + h_{עיניים}$

למה זה קורה?

תלמידים מתעלמים מגובה המדידה.

איך מתקנים?

בבעיית זווית הגבהה: גובה העצם = מרחק

\times \tan (\alpha ) +

גובה העיניים.

טעות נפוצה: לא מזהים מתי להשתמש בדמיון בבעיה מעשית

מילות מפתח: צל, מראה, קנה מידה, מודל, שרטוט, תמונה, מפה, הגדלה, הקטנה.

למה זה קורה?

תלמידים לא מקשרים בין 'בעיה מהעולם האמיתי' לכלים גאומטריים.

איך מתקנים?

סימני היכר: צל, מראה, קנה מידה, מודל, מדידה עקיפה → חשבו על דמיון משולשים!

טעות נפוצה: מניחים שקנה מידה 1:50 אומר 'הכל קטן פי 50'

קנה מידה 1:50:

אורך בתוכנית = אורך אמיתי / 50
שטח בתוכנית = שטח אמיתי / $5 0^{2} = 2, 500$

למה זה קורה?

תלמידים מכלילים לשטחים.

איך מתקנים?

אורכים קטנים פי 50, אבל שטחים קטנים פי

50^{2} = 2{,}500

טעות נפוצה: לא מציירים סקיצה

ציור סקיצה מסודרת עוזר:

לזהות את המשולשים הדומים
לקבוע את ההתאמה (איזה קודקוד מתאים לאיזה)
לבנות את היחס הנכון

למה זה קורה?

תלמידים מנסים לפתור 'בראש' בלי ציור.

איך מתקנים?

תמיד ציירו סקיצה! סמנו את המשולשים הדומים, הצלעות המתאימות, ואת היחס.

טעות נפוצה: מערבבים בין דונם למ״ר

1 דונם = 1, 000 מ"ר = 10, 000, 000 סמ"ר

למה זה קורה?

תלמידים לא מכירים את יחידות השטח.

איך מתקנים?

1 דונם

= 1{,}000

מ״ר. 1 מ״ר

= 10{,}000

סמ״ר.

טעות נפוצה: חושבים שפיצה כפולה בקוטר = כפולה בשטח

דוגמה: פיצה קוטר 40 ס"מ לעומת 20 ס"מ:

שטח 40: $π \times 2 0^{2} = 400 π$

שטח 20: $π \times 1 0^{2} = 100 π$

יחס: $400 π /100 π = 4$ — פי 4, לא פי 2!

למה זה קורה?

חשיבה לינארית.

איך מתקנים?

קוטר כפול → שטח פי 4 (כי

r^{2} → (2r)^{2} = 4r^{2})

. זה נכון לכל צורה דומה!

טעות נפוצה: לא מבינים למה הדמיון עובד למדידה עקיפה

העיקרון: בונים משולש קטן (שאפשר למדוד) שדומה למשולש הגדול (שאי אפשר למדוד). מחשבים את יחס הדמיון ← מחשבים את הצלע הלא ידועה.

למה זה קורה?

תלמידים משננים נוסחאות בלי הבנה.

איך מתקנים?

דמיון = אותה צורה. אם שני משולשים דומים ואנחנו מודדים את הקטן, אפשר לחשב את הגדול מהיחס!

טעות נפוצה: שוכחים לוודא שהמשולשים באמת דומים

תמיד ציינו:

שיטת הצל: "קרני שמש מקבילות → זוויות הגבהה שוות → זז"
שיטת המראה: "זווית פגיעה = זווית החזרה → זז"

למה זה קורה?

תלמידים מניחים דמיון בלי הוכחה.

איך מתקנים?

גם בבעיה מעשית — ציינו מדוע המשולשים דומים! (קרני שמש מקבילות → זז, שיקוף → זז, וכו')

טעות נפוצה: לא מבחינים בין הגדלה להקטנה

קנה מידה 1:200:

מדגם למציאות: × 200
ממציאות לדגם: ÷ 200

למה זה קורה?

תלמידים לא שמים לב לכיוון.

איך מתקנים?

ממודל למציאות: הכפלה (הגדלה). ממציאות למודל: חילוק (הקטנה). שימו לב לכיוון!

סיכום

סיכום שיטות המדידה העקיפה

שיטה	מתי?	למה דומים?
שיטת הצל	כשיש שמש	קרני שמש מקבילות → זז (AA)
שיטת המראה	כשיש מראה על קרקע שטוחה	זווית פגיעה = החזרה → זז (AA)
קו מקביל (נהר)	כשאפשר למדוד בצד אחד	בניית משולש דומה קטן
קנה מידה	מפות, תוכניות, מודלים	אורכים ×n, שטחים ×n²

זכרו:

תמיד ציירו סקיצה
ודאו שהמשולשים דומים (ציינו תנאי!)
שימו לב ליחידות מידה
אורכים ביחס k, שטחים ביחס $k^{2}$

יישומי דמיון

יישומי דמיון

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שיטת הצל — גובה עץ

עמוד גובהו 2 מ' מטיל צל באורך 3 מ'. באותו זמן, עץ מטיל צל באורך 12 מ'. מהו גובה העץ?

דוגמה 2: שיטת המראה

אדם גבוה 1.6 מ' מניח מראה 4 מ' מבסיס עמוד. הוא הולך 2 מ' מהמראה ורואה את ראש העמוד. מהו גובה העמוד?

דוגמה 3: קנה מידה — חישוב מרחק

במפה בקנה מידה 1:50,000, המרחק בין שתי ערים הוא 6 ס״מ. מהו המרחק האמיתי?

דוגמה 4: קנה מידה — יחס שטחים (k²)

בתוכנית בניין בקנה מידה 1:50, שטח חדר הוא 60 סמ״ר. מהו שטח החדר האמיתי?

דוגמה 5: מדידת רוחב נהר

כדי למדוד רוחב נהר AB, סמנו BC=20BC = 20BC=20 מ' לאורך הגדה. מנקודה C סמנו CD=5CD = 5CD=5 מ' ו-DE ∥ BA כאשר DE=3DE = 3DE=3 מ'. מהו רוחב הנהר?

דוגמה 6: פנס רחוב — צל אדם

אדם גובהו 1.8 מ' עומד 4 מ' מפנס רחוב. צילו =2= 2=2 מ'. מהו גובה הפנס?

דוגמה 7: מודל בקנה מידה — אורכים ושטחים

מודל מכונית בקנה מידה 1:18. אורך המודל 25 ס״מ, רוחבו 10 ס״מ. מצאו מידות אמיתיות ושטח גג המכונית אם שטח גג המודל =200= 200=200 סמ״ר.

דוגמה 8: בעיה מורכבת — שטח במפה

במפה 1:5,000, חלקת אדמה משולשת שטחה 8 סמ״ר. מהו שטחה האמיתי בדונמים?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים למדוד צללים באותו זמן

טעות נפוצה: מכפילים שטח בקנה מידה במקום בריבועו

טעות נפוצה: מבלבלים את כיוון קנה המידה

טעות נפוצה: שוכחים להמיר יחידות

טעות נפוצה: בשיטת המראה — שוכחים שהאדם צריך לעמוד ישר

טעות נפוצה: בבעיית פנס — שוכחים לחבר מרחק + צל

טעות נפוצה: חושבים שכל בעיית צל דומה

טעות נפוצה: שוכחים להוסיף גובה עיניים

טעות נפוצה: לא מזהים מתי להשתמש בדמיון בבעיה מעשית

טעות נפוצה: מניחים שקנה מידה 1:50 אומר 'הכל קטן פי 50'

טעות נפוצה: לא מציירים סקיצה

טעות נפוצה: מערבבים בין דונם למ״ר

טעות נפוצה: חושבים שפיצה כפולה בקוטר = כפולה בשטח

טעות נפוצה: לא מבינים למה הדמיון עובד למדידה עקיפה

טעות נפוצה: שוכחים לוודא שהמשולשים באמת דומים

טעות נפוצה: לא מבחינים בין הגדלה להקטנה

סיכום

כדי למדוד רוחב נהר AB, סמנו $BC = 20$ מ' לאורך הגדה. מנקודה C סמנו $CD = 5$ מ' ו-DE ∥ BA כאשר $DE = 3$ מ'. מהו רוחב הנהר?

אדם גובהו 1.8 מ' עומד 4 מ' מפנס רחוב. צילו $= 2$ מ'. מהו גובה הפנס?

מודל מכונית בקנה מידה 1:18. אורך המודל 25 ס״מ, רוחבו 10 ס״מ. מצאו מידות אמיתיות ושטח גג המכונית אם שטח גג המודל $= 200$ סמ״ר.