חישובים עם יחס דמיון

מבוא

מה נלמד היום?

התלמיד יוכל לחשב צלעות חסרות במשולשים דומים לפי יחס הדמיון
התלמיד יוכל לחשב יחס היקפים של משולשים דומים
התלמיד יוכל לחשב יחס שטחים של משולשים דומים ( $k^{2}$ )
התלמיד יוכל לחשב גבהים, תיכונים וחוצי זווית במשולשים דומים
התלמיד יוכל לפתור בעיות מורכבות המשלבות דמיון עם שטחים

כשאנו יודעים ששני משולשים דומים עם יחס דמיון k, פותח בפנינו עולם שלם של חישובים: כל צלע, כל גובה, כל היקף — ניתן לחישוב!

הרעיון המרכזי

יחסי דמיון — צלעות, היקפים ושטחים

יחס הדמיון k: היחס הקבוע בין כל זוג צלעות מתאימות.

k = \frac{A B}{D E} = \frac{BC}{EF} = \frac{A C}{D F}

יחס קטעים מתאימים = k:

יחס צלעות = k
יחס גבהים = k
יחס תיכונים = k
יחס חוצי זווית = k

יחס היקפים = k: $\frac{P _{1}}{P _{2}} = k$

יחס שטחים = $k^{2}$ : $\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2}$

חשוב: הזוויות שוות (לא ביחס k!)

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב צלע חסרה

$\triangle ABC ∼ \triangle DEF. AB = 6, DE = 9, BC = 8$ . מצאו את EF.

\frac{D E}{A B} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}

EF = BC \times \frac{3}{2} = 8 \times \frac{3}{2} = 12

טיפ: שימו לב לכיוון היחס — DEF הוא המשולש הגדול!

שלב 1 — מציאת יחס הדמיון

k = \frac{DE}{AB} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}

תשובה מספרית

△ABC ∼ △DEF. נתון: $AB = 6, DE = 9, BC = 8$ . מצאו את אורך EF.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

△ABC ∼ △DEF עם יחס דמיון $k = 2$ . אם $AB = 8$ ס"מ, מהו אורך DE בסנטימטרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: יחס היקפים

שני משולשים דומים. צלעות הקטן: 3, 4, 5. היקף הגדול: 36. מהו יחס הדמיון?

היקף קטן: 3 + 4 + 5 = 12

k = \frac{36}{12} = 3

יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון! לכן אם k = 3, כל צלע גדולה פי 3.

שלב 1 — היקף הקטן

3 + 4 + 5 = 12

תשובה מספרית

שני משולשים דומים. צלעות המשולש הקטן הן 3, 4, 5. ההיקף של המשולש הגדול הוא 36 ס"מ. מהו יחס הדמיון k?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

אם יחס הדמיון בין שני משולשים דומים הוא $k = 3$ , מהו היחס בין היקפיהם?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

שני משולשים דומים. היקף הראשון 24 ס"מ והיקף השני 36 ס"מ. מהו יחס שטחיהם (שטח גדול / שטח קטן)?

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: יחס שטחים — k²

△ABC ∼ △DEF עם יחס דמיון $k = 2$ . שטח $\triangle DEF = 20$ סמ״ר. מצאו שטח △ABC.

\frac{S _{A BC}}{S _{D EF}} = k^{2} = 4

S_{A BC} = 4 \times 20 = 80 סמ"ר

מדוע $k^{2}$ ? שטח = $\frac{1}{2} \times בסיס \times גובה$ . הבסיס גדל פי k והגובה גדל פי k → השטח גדל פי $k \times k = k^{2}$ .

שלב 1 — יחס שטחים

יחס שטחים

= k^{2} = 2^{2} = 4

בדיקה מהירה

אם יחס הדמיון בין שני משולשים דומים הוא $k = 3$ , מהו היחס בין שטחיהם?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מצאו את הטעות: 'יחס הדמיון בין שני משולשים הוא $k = 2$ , לכן שטח הגדול גדול פי 2 מהקטן.'

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

שטח משולש ABC הוא 50 סמ"ר. △ABC ∼ △DEF עם יחס דמיון $k = 2 (ABC$ גדול יותר). מהו שטח △DEF בסמ"ר?

סטייה מותרת: ±0.1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מיחס שטחים ליחס צלעות

שני משולשים דומים, שטחיהם 18 סמ״ר ו-50 סמ״ר. צלע בקטן: 6 ס״מ. מצאו צלע מתאימה בגדול.

k^{2} = \frac{50}{18} = \frac{25}{9} \Rightarrow k = \frac{5}{3}

הצלע המתאימה: $6 \times \frac{5}{3} = 10$ ס"מ.

שימו לב לכיוון: שטח גדול / שטח קטן = $k^{2}$ , ולכן k > 1.

שלב 1 — יחס שטחים

\frac{50}{18} = \frac{25}{9}

נכון או לא נכון

נכון או לא: אם יחס השטחים של שני משולשים דומים הוא 25, אז יחס הדמיון הוא 5.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

שני משולשים דומים, שטחיהם 8 סמ"ר ו-32 סמ"ר. מהו יחס ההיקפים (היקף גדול / היקף קטן)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

שני משולשים דומים. צלע במשולש הגדול היא 15 ס"מ והצלע המתאימה בקטן היא 5 ס"מ. אם שטח המשולש הגדול הוא 135 סמ"ר, מהו שטח הקטן בסמ"ר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: גובה במשולש ישר-זווית — ממוצע גאומטרי

במשולש ישר-זווית $(\angle C = 90^{\circ})$ , הגובה CD ליתר $. AD = 4, DB = 9$ . מצאו CD.

מהדמיון: $\frac{A D}{C D} = \frac{C D}{D B}$

C D^{2} = A D \times D B = 4 \times 9 = 36

CD = 6

זהו הממוצע הגאומטרי: הגובה ליתר הוא הממוצע הגאומטרי של שני חלקי היתר.

שלב 1 — דמיון

△ACD ∼ △CBD (שלושה משולשים דומים)

דוגמה 6: גבהים, תיכונים וחוצי זווית

$\triangle ABC ∼ \triangle DEF, AB = 10, DE = 6$ . חוצה הזווית מ-A: 8 ס״מ. מצאו חוצה הזווית מ-D.

k = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}

כל הקטעים המתאימים ביחס k: $\frac{8}{חוצה _{D}} = \frac{5}{3}$

$חוצה_{D} = \frac{8 \times 3}{5} = 4.8$ ס"מ

שלב 1 — יחס דמיון

k = \frac{AB}{DE} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}

נכון או לא נכון

נכון או לא: אם יחס הדמיון בין שני משולשים הוא $k = 4$ , אז יחס הגבהים המתאימים הוא גם 4.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 7: שטח טרפז — חיסור שטחים

במשולש ABC, DE ∥ BC כך ש- $\frac{AD}{AB} = \frac{2}{5}$ . שטח הטרפז $BCED = 63$ סמ״ר. מצאו שטח △ADE.

k = \frac{2}{5}, k^{2} = \frac{4}{25}

סימון: $S_{A D E} = S$ , אז $S_{A BC} = \frac{25 S}{4}$ .

שטח הטרפז: $\frac{25 S}{4} - S = \frac{21 S}{4} = 63$

$S = \frac{63 \times 4}{21} = 12$ סמ"ר.

שלב 1 — יחס דמיון

k = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{5}

דוגמה 8: סכום/הפרש שטחים

שני משולשים דומים. סכום שטחיהם 325 סמ״ר ויחס הדמיון $k = 2$ . מצאו שטח כל אחד.

סימון: שטח קטן = S, שטח גדול = $k^{2} \cdot S = 4 S$ .

S + 4 S = 325 \Rightarrow 5 S = 325 \Rightarrow S = 65

שטח קטן: 65 סמ"ר, שטח גדול: 260 סמ"ר.

בדיקה: 65 + 260 = 325 ✓, $260/65 = 4 = k^{2}$ ✓

שלב 1 — יחס שטחים

k^{2} = 4

. שטח גדול

= 4 \times

שטח קטן

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין יחס שטחים ליחס צלעות

טעות: "k = 3 → שטח גדול פי 3"

נכון: $k = 3 \Rightarrow שטח גדול פי k^{2} = 9$

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שאם

k = 2

אז השטח גדול פי 2.

איך מתקנים?

יחס שטחים

= k^{2}

, לא k! אם

k = 2

, השטח גדול פי 4.

טעות נפוצה: חושבים שיחס הזוויות הוא k

טעות: "∠A = k × ∠D"

נכון: $∠ A = ∠ D$ (שוויון, לא יחס!)

למה זה קורה?

תלמידים מכלילים את יחס k לכל דבר.

איך מתקנים?

הזוויות שוות (לא ביחס k)! דמיון שומר על זוויות.

טעות נפוצה: טועים בכיוון היחס

טעות: "k = AB/DE = 3, לכן DE = 3 × AB"

נכון: אם k = AB/DE = 3 אז $A B = 3 \times D E$ , כלומר AB הוא הגדול!

למה זה קורה?

תלמידים מערבבים בין k ל-

\frac{1}{k}

איך מתקנים?

הגדירו מראש:

k =

גדול/קטן. אם

k = 3

, המשולש הגדול גדול פי 3.

טעות נפוצה: מחשבים שורש ריבועי של יחס שטחים במקום לעלות בריבוע

מצלעות לשטח: $k = 3 \Rightarrow k^{2} = 9$

משטח לצלעות: $k^{2} = 16 \Rightarrow k = 16 = 4$

למה זה קורה?

תלמידים מתבלבלים אם צריך

k^{2}

או

√k

איך מתקנים?

מצלעות לשטח:

k^{2} (

מעלים בריבוע). משטח לצלעות:

√ (

מוציאים שורש).

טעות נפוצה: שוכחים שגבהים ביחס k (לא $k^{2})$

טעות: "יחס הגבהים = $k^{2}$ "

נכון: יחס הגבהים = k, יחס השטחים = $k^{2}$ .

למה זה קורה?

תלמידים מערבבים בין קטעים (k) לשטחים

(k^{2})

איך מתקנים?

כל קטע (צלע, גובה, תיכון, חוצה זווית) ביחס k. רק שטח ביחס

k^{2}

טעות נפוצה: שוכחים שהיקף הוא ביחס k (לא $k^{2})$

גודל	יחס
צלעות, גבהים, תיכונים	k
היקף	k
שטח	$k^{2}$

למה זה קורה?

תלמידים מתבלבלים מה ביחס k ומה ביחס

k^{2}

איך מתקנים?

היקף = סכום צלעות. כל צלע ביחס k → הסכום ביחס k. רק שטח ביחס

k^{2}

טעות נפוצה: לא מזהים שצריך להוסיף/לחסר שטחים

בעיה: למצוא שטח טרפז BCED

פתרון: $S_{BCE D} = S_{A BC} - S_{A D E} = S_{A D E} (\frac{1}{k ^{2}} - 1)$

כאשר k = AD/AB.

למה זה קורה?

תלמידים לא רואים שהטרפז = משולש גדול - משולש קטן.

איך מתקנים?

כשיש DE ∥ BC במשולש: שטח טרפז

BCED =

שטח △ABC - שטח △ADE.

טעות נפוצה: טעות בחישוב k כשנתון יחס חלוקה

טעות: "AD:DB = 3:2 → k = 3/2"

נכון: $A D : D B = 3 : 2 \Rightarrow A D / A B = 3/ (3 + 2) = 3/5$

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים בין

AD:DB = 3:2

לבין

\frac{AD}{AB} = \frac{3}{2}

איך מתקנים?

אם

AD:DB = 3:2

אז

AB = AD + DB = 5

, ולכן

\frac{AD}{AB} = \frac{3}{5} (

לא

\frac{3}{2}!)

טעות נפוצה: שוכחים שהגובה ליתר הוא הממוצע הגאומטרי

לא: $C D = \frac{A D + D B}{2}$ (ממוצע חשבוני)

כן: $C D = A D \times D B$ (ממוצע גאומטרי)

למה זה קורה?

תלמידים לא מקשרים את הדמיון במשולש ישר-זווית לנוסחה.

איך מתקנים?

במשולש ישר-זווית:

CD^{2} = AD \times DB (

גובה ליתר = ממוצע גאומטרי של חלקי היתר).

טעות נפוצה: לא מבינים מדוע יחס שטחים הוא $k^{2}$

S = \frac{1}{2} \times b \times h \Rightarrow S^{'} = \frac{1}{2} \times kb \times kh = k^{2} \times \frac{1}{2} bh = k^{2} S

למה זה קורה?

תלמידים שוננים את הנוסחה ללא הבנה.

איך מתקנים?

שטח

= \frac{1}{2} \times

בסיס × גובה. בסיס

\times k

, גובה

\times k →

שטח

\times k \times k = k^{2}

. שני ממדים — כל אחד

\times k

טעות נפוצה: טועים כשיחס הדמיון הוא שבר

דוגמה: $k = \frac{2}{3}$ , שטח גדול = 81.

שטח קטן = $81 \times (\frac{2}{3})^{2} = 81 \times \frac{4}{9} = 36$ .

למה זה קורה?

תלמידים מתקשים עם

k < 1

או

k = \frac{p}{q}

איך מתקנים?

אם

k = \frac{2}{3}

, השטח ביחס

k^{2} = \frac{4}{9}

. אם

k < 1

, המשולש 'ההתאמה' קטן יותר.

טעות נפוצה: מניחים שאם שטח כפול, אז הצלעות כפולות

טעות: "שטח גדל פי 2 → צלעות גדלות פי 2"

נכון: שטח גדל פי 2 → $k^{2} = 2 \Rightarrow k = 2 \approx 1.41$

למה זה קורה?

חשיבה לינארית — לא מבינים את ההשפעה הריבועית.

איך מתקנים?

אם שטח כפול, הצלעות גדולות פי

\sqrt{2} ≈ 1.41 (

לא פי 2!).

טעות נפוצה: לא בודקים את התשובה

בדיקה: אם k = 3 ושטח קטן = 10, שטח גדול = $10 \times 9 = 90$ . האם הגיוני ש-90 > 10? ✓

למה זה קורה?

תלמידים לא מאמתים שהתוצאה הגיונית.

איך מתקנים?

בדקו: אם

k > 1

, המשולש הגדול צריך שטח/היקף/צלעות גדולים יותר.

טעות נפוצה: שוכחים לעבוד עם יחידות מידה עקביות

טעות: AB = 2 מ', DE = 50 ס"מ → k = 2/50 = 0.04

נכון: AB = 200 ס"מ, DE = 50 ס"מ → k = 200/50 = 4

למה זה קורה?

תלמידים מערבבים ס״מ עם מ' בחישוב.

איך מתקנים?

הקפידו שכל המידות באותן יחידות לפני החישוב!

טעות נפוצה: מחשבים יחס דמיון שלילי

טעות: "AB = 10, DE = 6, k = 10 - 6 = 4"

נכון: $k = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

למה זה קורה?

תלמידים מחסרים במקום לחלק.

איך מתקנים?

יחס דמיון הוא תמיד חיובי

! k =

צלע/צלע (חילוק, לא חיסור).

טעות נפוצה: חושבים ש- $k = 0$ אפשרי

k > 0 תמיד. אם k = 1: חפיפה. אם k > 1: הראשון גדול. אם 0 < k < 1: הראשון קטן.

למה זה קורה?

טעות מתמטית.

איך מתקנים?

יחס דמיון תמיד

k > 0 (

משולש לא יכול להתכווץ לנקודה!).

סיכום

טבלת סיכום — יחסים בין צורות דומות

גודל	יחס	דוגמה (k = 3)
צלע, גובה, תיכון, חוצה זווית	k	3
היקף	k	3
שטח	$k^{2}$	9
זוויות	שוות (1)	שוות

מפתח לפתרון:

מצאו את k מנתון ידוע (צלעות / היקפים / שטחים)
מהיקפים: $k = P_{1} / P_{2}$
משטחים: $k = S_{1} / S_{2}$
השתמשו ב-k לחישוב הנדרש

חישובים עם יחס דמיון

חישובים עם יחס דמיון

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב צלע חסרה

△ABC∼△DEF.AB=6,DE=9,BC=8\triangle ABC ∼ \triangle DEF. AB = 6, DE = 9, BC = 8△ABC∼△DEF.AB=6,DE=9,BC=8. מצאו את EF.

דוגמה 2: יחס היקפים

שני משולשים דומים. צלעות הקטן: 3, 4, 5. היקף הגדול: 36. מהו יחס הדמיון?

דוגמה 3: יחס שטחים — k²

△ABC ∼ △DEF עם יחס דמיון k=2k = 2k=2. שטח △DEF=20\triangle DEF = 20△DEF=20 סמ״ר. מצאו שטח △ABC.

דוגמה 4: מיחס שטחים ליחס צלעות

שני משולשים דומים, שטחיהם 18 סמ״ר ו-50 סמ״ר. צלע בקטן: 6 ס״מ. מצאו צלע מתאימה בגדול.

דוגמה 5: גובה במשולש ישר-זווית — ממוצע גאומטרי

במשולש ישר-זווית (∠C=90∘)(\angle C = 90^{\circ})(∠C=90∘), הגובה CD ליתר.AD=4,DB=9. AD = 4, DB = 9.AD=4,DB=9. מצאו CD.

דוגמה 6: גבהים, תיכונים וחוצי זווית

△ABC∼△DEF,AB=10,DE=6\triangle ABC ∼ \triangle DEF, AB = 10, DE = 6△ABC∼△DEF,AB=10,DE=6. חוצה הזווית מ-A: 8 ס״מ. מצאו חוצה הזווית מ-D.

דוגמה 7: שטח טרפז — חיסור שטחים

במשולש ABC, DE ∥ BC כך ש-ADAB=25\frac{AD}{AB} = \frac{2}{5}ABAD​=52​. שטח הטרפז BCED=63BCED = 63BCED=63 סמ״ר. מצאו שטח △ADE.

דוגמה 8: סכום/הפרש שטחים

שני משולשים דומים. סכום שטחיהם 325 סמ״ר ויחס הדמיון k=2k = 2k=2. מצאו שטח כל אחד.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין יחס שטחים ליחס צלעות

טעות נפוצה: חושבים שיחס הזוויות הוא k

טעות נפוצה: טועים בכיוון היחס

טעות נפוצה: מחשבים שורש ריבועי של יחס שטחים במקום לעלות בריבוע

טעות נפוצה: שוכחים שגבהים ביחס k (לא k2)k^{2})k2)

טעות נפוצה: שוכחים שהיקף הוא ביחס k (לא k2)k^{2})k2)

טעות נפוצה: לא מזהים שצריך להוסיף/לחסר שטחים

טעות נפוצה: טעות בחישוב k כשנתון יחס חלוקה

טעות נפוצה: שוכחים שהגובה ליתר הוא הממוצע הגאומטרי

טעות נפוצה: לא מבינים מדוע יחס שטחים הוא k2k^{2}k2

טעות נפוצה: טועים כשיחס הדמיון הוא שבר

טעות נפוצה: מניחים שאם שטח כפול, אז הצלעות כפולות

טעות נפוצה: לא בודקים את התשובה

טעות נפוצה: שוכחים לעבוד עם יחידות מידה עקביות

טעות נפוצה: מחשבים יחס דמיון שלילי

טעות נפוצה: חושבים ש-k=0k = 0k=0 אפשרי

סיכום

$\triangle ABC ∼ \triangle DEF. AB = 6, DE = 9, BC = 8$ . מצאו את EF.

△ABC ∼ △DEF עם יחס דמיון $k = 2$ . שטח $\triangle DEF = 20$ סמ״ר. מצאו שטח △ABC.

במשולש ישר-זווית $(\angle C = 90^{\circ})$ , הגובה CD ליתר $. AD = 4, DB = 9$ . מצאו CD.

$\triangle ABC ∼ \triangle DEF, AB = 10, DE = 6$ . חוצה הזווית מ-A: 8 ס״מ. מצאו חוצה הזווית מ-D.

במשולש ABC, DE ∥ BC כך ש- $\frac{AD}{AB} = \frac{2}{5}$ . שטח הטרפז $BCED = 63$ סמ״ר. מצאו שטח △ADE.

שני משולשים דומים. סכום שטחיהם 325 סמ״ר ויחס הדמיון $k = 2$ . מצאו שטח כל אחד.

טעות נפוצה: שוכחים שגבהים ביחס k (לא $k^{2})$

טעות נפוצה: שוכחים שהיקף הוא ביחס k (לא $k^{2})$

טעות נפוצה: לא מבינים מדוע יחס שטחים הוא $k^{2}$

טעות נפוצה: חושבים ש- $k = 0$ אפשרי