פתרון משולשים ישרי-זווית

מבוא

מה נלמד היום?

מציאת צלע חסרה: בעזרת sin, cos או tan כשנתונים זווית וצלע
מציאת זווית חסרה: בעזרת $sin^{- 1}, cos^{- 1}, tan^{- 1}$ כשנתונות שתי צלעות
שילוב עם פיתגורס: שימוש במשפט פיתגורס יחד עם טריגונומטריה
פתרון מלא של משולש: מציאת כל הצלעות והזוויות

הרעיון המרכזי

אסטרטגיה לפתרון משולש ישר-זווית

שלב 1: זהו מה נתון ומה מבוקש.

שלב 2: בחרו את הכלי המתאים:

נתון	מבוקש	כלי
זווית + יתר	ניצב נגדי	$נגדי = יתר \cdot sin α$
זווית + יתר	ניצב סמוך	$סמוך = יתר \cdot cos α$
זווית + ניצב סמוך	ניצב נגדי	$נגדי = סמוך \cdot tan α$
זווית + ניצב נגדי	יתר	$יתר = \frac{נגדי}{s i n α}$
זווית + ניצב סמוך	יתר	$יתר = \frac{סמוך}{c o s α}$
שתי צלעות	זווית	$α = sin^{- 1}, cos^{- 1}, tan^{- 1}$

שלב 3: חשבו ובדקו הגיוניות (היתר תמיד הארוך ביותר, סכום זוויות = 180°).

דוגמאות מפורטות

מציאת ניצב נגדי — $\angle A = 30^{\circ}$ , יתר $= 10$

BC = A B \cdot sin 30° = 10 \cdot 0.5 = 5

הכלל: ניצב נגדי = יתר · sin(זווית).

שלב 1 — זיהוי

נתון:

\angle A = 30^{\circ}, AB (

יתר)

= 10

. מבוקש: BC (ניצב נגדי ל-A)

בדיקה מהירה

במשולש ישר-זווית $, \angle A = 30^{\circ}$ והיתר $= 10$ . באיזה יחס טריגונומטרי נשתמש כדי למצוא את הניצב שמול הזווית?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

במשולש ישר-זווית $, \angle A = 30^{\circ}$ והיתר $= 10$ . מצאו את אורך הניצב שמול הזווית

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

מציאת ניצב סמוך — $\angle A = 45^{\circ}$ , יתר $= 10$

A C = A B \cdot cos 45° = 10 \cdot \frac{2}{2} \approx 7.07

הכלל: ניצב סמוך = יתר · cos(זווית).

שלב 1 — זיהוי

נתון:

\angle A = 45^{\circ}, AB (

יתר)

= 10

. מבוקש: AC (ניצב סמוך ל-A)

תשובה מספרית

במשולש ישר-זווית $, \angle A = 45^{\circ}$ והיתר $= 10$ . מצאו את אורך הניצב הסמוך לזווית A (עגלו לשתי ספרות)

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

מציאת יתר — $\angle A = 60^{\circ}$ , ניצב נגדי $= 12$

A B = \frac{12}{s i n 60°} = \frac{12}{\frac{3}{2}} = \frac{24}{3} = 83 \approx 13.86

הכלל: יתר = ניצב נגדי / sin(זווית).

שלב 1 — זיהוי

נתון:

\angle A = 60^{\circ}, BC (

ניצב נגדי)

= 12

. מבוקש: AB (יתר)

מציאת זווית — ניצבים 6 ו-8

∠ A = tan^{- 1} (\frac{6}{8}) = tan^{- 1} (0.75) \approx 36.87°

הכלל: כדי למצוא זווית, משתמשים בפונקציה ההופכית: $sin^{- 1}, cos^{- 1}, tan^{- 1}$ .

שלב 1 — זיהוי

במשולש ישר-זווית

, \angle C = 90^{\circ}, AC = 8, BC = 6

. מבוקש: ∠A

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: כדי למצוא זווית חדה במשולש ישר-זווית כאשר נתונים שני ניצבים, נשתמש בפונקציית $\tan ^{-1}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: אם $\sin \alpha = 0.5$ , אז $\alpha = 30^{\circ}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

במשולש ישר-זווית, הניצבים הם 7 ו-24. מצאו את הזווית החדה שמול הניצב באורך 7 (בצעות, עגלו למספר שלם)

סטייה מותרת: ±1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

שילוב פיתגורס וטריגונומטריה

BC = 1 5^{2} - 1 2^{2} = 9, ∠ A = sin^{- 1} (\frac{9}{15}) \approx 36.87°

הכלל: השתמשו בפיתגורס לצלע חסרה, ואז בטריגונומטריה לזוויות.

שלב 1 — נתונים

\angle C = 90^{\circ}, AB = 15, AC = 12

. מצאו BC ו-∠B

פתרון מלא — $\angle A = 35^{\circ}, AB = 20$

BC = 20 sin 35° \approx 11.47, A C = 20 cos 35° \approx 16.38

בדיקה: $11.4 7^{2} + 16.3 8^{2} \approx 400 = 2 0^{2}$ — התוצאות עקביות!

שלב 1 — נתונים

\angle C = 90^{\circ}, \angle A = 35^{\circ}, AB (

יתר)

= 20

. מצאו הכל

תשובה מספרית

במשולש ישר-זווית $ABC, \angle C = 90^{\circ}, \angle A = 35^{\circ}, AB = 20$ . מצאו את BC (עגלו לשתי ספרות)

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

מציאת ניצב מתוך ניצב וזווית

BC = A C \cdot tan 40° = 15 \cdot tan 40° \approx 12.59

הכלל: ניצב נגדי = ניצב סמוך · tan(זווית).

שלב 1 — נתונים

\angle A = 40^{\circ}, AC (

ניצב סמוך)

= 15

. מבוקש: BC (ניצב נגדי)

תשובה מספרית

במשולש ישר-זווית $, \angle A = 40^{\circ}$ והניצב הסמוך ל-A הוא 15. מצאו את אורך הניצב הנגדי ל-A (עגלו לשתי ספרות)

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

מציאת זווית מתוך ניצב ויתר

∠ A = sin^{- 1} (\frac{6}{10}) = sin^{- 1} (0.6) \approx 36.87°

טיפ: בדקו הגיוניות — sin 30° = 0.5 ו-sin 45° ≈ 0.71, לכן 0.6 → זווית בין 30° ל-45°. ✓

שלב 1 — נתונים

\angle C = 90^{\circ}, BC = 6, AB = 10

. מצאו ∠A

בדיקה מהירה

במשולש ישר-זווית $ABC, \angle C = 90^{\circ}, BC = 6, AB = 10$ . מצאו את ∠A

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין $\sin$ ל- $\cos$ כשמוצאים צלע

טעות: ניצב סמוך = יתר · sin α

נכון: ניצב סמוך = יתר · cos α

למה זה קורה?

תלמידים משתמשים ב-

\sin

כשצריך

\cos

, ולהיפך.

איך מתקנים?

\sin →

ניצב נגדי

, \cos →

ניצב סמוך. קודם זהו איזה ניצב מבוקש!

טעות נפוצה: שוכחים לבודד את הנעלם

טעות: $sin 30° = \frac{x}{10}$ ← נתקעים

נכון: $x = 10 \cdot sin 30° = 10 \cdot 0.5 = 5$

למה זה קורה?

תלמידים רושמים

\sin \alpha = \frac{x}{c}

אך לא מבודדים את x.

איך מתקנים?

אם

\sin \alpha = \frac{x}{c}

, אז

x = c \cdot \sin \alpha

. כפלו בשני האגפים!

טעות נפוצה: כשהנעלם במכנה — כופלים במקום לחלק

טעות: יתר = 12 · sin 60° (כשנגדי = 12)

נכון: $יתר = \frac{12}{s i n 60°} \approx 13.86$

למה זה קורה?

כשצריך למצוא את היתר, תלמידים כופלים במקום לחלק.

איך מתקנים?

אם

\sin \alpha = \frac{a}{c}

ומבוקש c, אז

c = \frac{a}{\sin } \alpha (

חילוק, לא כפל!).

טעות נפוצה: שוכחים לבדוק הגיוניות

טעות: יתר = 10, ניצב = 15 (ניצב גדול מיתר — בלתי אפשרי!)

נכון: ניצב חייב להיות קטן מהיתר: a < c

למה זה קורה?

תלמידים מקבלים תוצאה ולא בודקים אם היא הגיונית.

איך מתקנים?

היתר תמיד הצלע הארוכה ביותר! אם ניצב יצא גדול מהיתר — יש טעות.

טעות נפוצה: מבלבלים $\sin ^{-1}$ עם $\frac{1}{\sin }$

טעות: $sin^{- 1} (0.5) = \frac{1}{s i n ( 0.5 )} = \frac{1}{0.0087}$

נכון: $sin^{- 1} (0.5) = 30°$ (הזווית שהסינוס שלה הוא 0.5)

למה זה קורה?

תלמידים חושבים ש-

\sin ^{-1}(x) = \frac{1}{\sin (x)}

איך מתקנים?

\sin ^{-1} (

ארקסינוס) הוא הפונקציה ההפוכה:

\sin ^{-1}(0.5) = 30^{\circ}

. אבל

\frac{1}{\sin (30^{\circ})} = \frac{1}{0.5} = 2

טעות נפוצה: לא מוצאים את הזווית השנייה

טעות: מצאו ∠A = 35° ולא חישבו את ∠B

נכון: $∠ B = 90° - 35° = 55°$

למה זה קורה?

תלמידים מוצאים זווית אחת ושוכחים שיש עוד זווית חדה.

איך מתקנים?

במשולש ישר-זווית:

\angle A + \angle B = 90^{\circ}

. אם מצאתם ∠A, אז

\angle B = 90^{\circ} - \angle A

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: אם במשולש ישר-זווית $\angle A = 25^{\circ}$ , אז $\angle B = 65^{\circ}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: משתמשים ב- $\tan$ כשהיתר נתון

טעות: tan 30° = BC/AB (AB הוא היתר)

נכון: $sin 30° = \frac{BC}{A B}$ (sin מקשר נגדי ויתר)

למה זה קורה?

תלמידים בוחרים

\tan

כברירת מחדל גם כשהיתר מעורב.

איך מתקנים?

\tan

מקשר בין שני ניצבים. אם היתר מעורב — השתמשו ב-

\sin

או

\cos

טעות נפוצה: לא מזהים שנתונות שתי צלעות

טעות: שימוש ב-sin כדי למצוא את הצלע השלישית כשנתונות שתי צלעות

נכון: $c = a^{2} + b^{2}$ — פיתגורס פשוט וישיר יותר

למה זה קורה?

תלמידים מנסים להשתמש בטריגונומטריה כשמספיק פיתגורס.

איך מתקנים?

אם נתונות שתי צלעות ומבוקשת השלישית — פיתגורס מספיק! טריגונומטריה נחוצה רק לזוויות.

טעות נפוצה: חושבים שלא ניתן לפתור ללא מחשבון

טעות: "אי אפשר לחשב sin 30° ללא מחשבון"

נכון: $sin 30° = \frac{1}{2}$ — זהו ערך מדויק שצריך לזכור!

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שחייבים מחשבון לכל חישוב טריגונומטרי.

איך מתקנים?

עם זוויות מיוחדות

(30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ})

אפשר לחשב בדיוק

! \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2,} \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}

...

טעות נפוצה: מציבים זווית במעלות כמספר רגיל

טעות: $sin \cdot 30 = 15$

נכון: $sin (30°) = 0.5$ — פונקציה שמקבלת זווית

למה זה קורה?

תלמידים כותבים

\sin \cdot 30

במקום

\sin (30^{\circ})

איך מתקנים?

\sin

הוא פונקציה

! \sin (30^{\circ}) \ne \sin \cdot 30

. השתמשו במחשבון במצב DEG.

טעות נפוצה: לא מציינים יחידות בתשובה

טעות: AB = 13.86

נכון: AB ≈ 13.86 ס"מ (או מ', לפי הנתון)

למה זה קורה?

תלמידים רושמים מספר ללא יחידות.

איך מתקנים?

אם מבוקש אורך — ציינו יחידות (ס״מ, מ'). אם מבוקשת זווית — ציינו מעלות

(^{\circ})

טעות נפוצה: טעות בסימון הפונקציה ההפוכה

טעות: $sin^{- 1} (30°) = 0.5$

נכון: $sin (30°) = 0.5$ ו- $sin^{- 1} (0.5) = 30°$

למה זה קורה?

תלמידים כותבים

\sin ^{-1}

כשהם מתכוונים ל-

\sin

, ולהיפך.

איך מתקנים?

\sin (30^{\circ}) = 0.5

, ו-

\sin ^{-1}(0.5) = 30^{\circ}

. הפונקציה ההפוכה מחזירה זווית!

טעות נפוצה: לא בודקים עם פיתגורס

טעות: מקבלים BC = 11.47 ו-AC = 16.38 ולא בודקים

נכון: $11.4 7^{2} + 16.3 8^{2} \approx 400 = 2 0^{2}$ ✓

למה זה קורה?

אחרי מציאת שתי צלעות בטריגונומטריה, תלמידים לא מאמתים עם פיתגורס.

איך מתקנים?

תמיד אפשר לבדוק:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

. אם התוצאה לא יוצאת — חפשו טעות!

טעות נפוצה: חושבים ששתי זוויות מספיקות לפתור משולש

טעות: "∠A = 30°, ∠B = 60° → AB = ?"

נכון: צריך לפחות צלע אחת כדי לקבוע את גודל המשולש

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שניתן למצוא צלעות רק מזוויות.

איך מתקנים?

שתי זוויות קובעות צורה (דמיון) אך לא גודל. חייבים לפחות צלע אחת!

טעות נפוצה: שימוש ביחס הלא נכון כשנתון ניצב

טעות: יתר = $8 \cdot sin 28° \approx 3.76$

נכון: יתר = $\frac{8}{s i n 28°} \approx 17.05$

למה זה קורה?

כשנתון ניצב ומבוקש היתר, תלמידים כופלים במקום לחלק.

איך מתקנים?

אם

\sin \alpha =

נגדי/יתר, אז יתר = נגדי

/\sin \alpha

. המעבר הוא חילוק!

טעות נפוצה: מבלבלים בין $\tan ^{-1}$ ל- $\cot$

טעות: $tan^{- 1} (1) = \frac{1}{t a n ( 1 )}$

נכון: $tan^{- 1} (1) = 45°$ (הזווית שה-tan שלה הוא 1)

למה זה קורה?

תלמידים חושבים ש-

\tan ^{-1} = \frac{1}{\tan } = \cot

איך מתקנים?

\tan ^{-1} (

ארקטנגנס) מחזיר זווית:

\tan ^{-1}(1) = 45^{\circ}. \cot = \frac{\cos }{\sin } = \frac{1}{\tan }

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: אם במשולש ישר-זווית הניצבים הם 5 ו-5, אז הזוויות החדות הן $45^{\circ}$ ו- $45^{\circ}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

במשולש ישר-זווית $ABC, \angle C = 90^{\circ}, BC = 10, AC = 10\sqrt{3}$ . מצאו את ∠A במעלות

סטייה מותרת: ±1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

כיצד פותרים משולש ישר-זווית

זהו מה נתון (זוויות? צלעות?) ומה מבוקש
בחרו את הכלי: sin (נגדי-יתר), cos (סמוך-יתר), tan (נגדי-סמוך), פיתגורס
רשמו משוואה ובודדו את הנעלם
חשבו — השתמשו בערכים מיוחדים או מחשבון
בדקו — הגיוניות + אימות (פיתגורס, סכום זוויות = 180°)

פונקציות הפוכות:

$α = sin^{- 1} (\frac{נגדי}{יתר})$
$α = cos^{- 1} (\frac{סמוך}{יתר})$
$α = tan^{- 1} (\frac{נגדי}{סמוך})$

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פתרון משולשים ישרי-זווית!

פתרון משולשים ישרי-זווית

פתרון משולשים ישרי-זווית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

מציאת ניצב נגדי — ∠A=30∘\angle A = 30^{\circ}∠A=30∘, יתר =10= 10=10

מציאת ניצב סמוך — ∠A=45∘\angle A = 45^{\circ}∠A=45∘, יתר =10= 10=10

מציאת יתר — ∠A=60∘\angle A = 60^{\circ}∠A=60∘, ניצב נגדי =12= 12=12

מציאת זווית — ניצבים 6 ו-8

שילוב פיתגורס וטריגונומטריה

פתרון מלא — ∠A=35∘,AB=20\angle A = 35^{\circ}, AB = 20∠A=35∘,AB=20

מציאת ניצב מתוך ניצב וזווית

מציאת זווית מתוך ניצב ויתר

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין sin⁡\sinsin ל-cos⁡\coscos כשמוצאים צלע

טעות נפוצה: שוכחים לבודד את הנעלם

טעות נפוצה: כשהנעלם במכנה — כופלים במקום לחלק

טעות נפוצה: שוכחים לבדוק הגיוניות

טעות נפוצה: מבלבלים sin⁡−1\sin ^{-1}sin−1 עם 1sin⁡\frac{1}{\sin }sin1​

טעות נפוצה: לא מוצאים את הזווית השנייה

טעות נפוצה: משתמשים ב-tan⁡\tantan כשהיתר נתון

טעות נפוצה: לא מזהים שנתונות שתי צלעות

טעות נפוצה: חושבים שלא ניתן לפתור ללא מחשבון

טעות נפוצה: מציבים זווית במעלות כמספר רגיל

טעות נפוצה: לא מציינים יחידות בתשובה

טעות נפוצה: טעות בסימון הפונקציה ההפוכה

טעות נפוצה: לא בודקים עם פיתגורס

טעות נפוצה: חושבים ששתי זוויות מספיקות לפתור משולש

טעות נפוצה: שימוש ביחס הלא נכון כשנתון ניצב

טעות נפוצה: מבלבלים בין tan⁡−1\tan ^{-1}tan−1 ל-cot⁡\cotcot

סיכום

תרגול נוסף

מציאת ניצב נגדי — $\angle A = 30^{\circ}$ , יתר $= 10$

מציאת ניצב סמוך — $\angle A = 45^{\circ}$ , יתר $= 10$

מציאת יתר — $\angle A = 60^{\circ}$ , ניצב נגדי $= 12$

פתרון מלא — $\angle A = 35^{\circ}, AB = 20$

טעות נפוצה: מבלבלים בין $\sin$ ל- $\cos$ כשמוצאים צלע

טעות נפוצה: מבלבלים $\sin ^{-1}$ עם $\frac{1}{\sin }$

טעות נפוצה: משתמשים ב- $\tan$ כשהיתר נתון

טעות נפוצה: מבלבלים בין $\tan ^{-1}$ ל- $\cot$