הגדרת שורש ריבועי

מבוא

מה נלמד היום?

להגדיר שורש ריבועי ולהבין את המשמעות שלו
לזהות ריבועים שלמים ולחשב את השורש שלהם
להבין מדוע שורש ריבועי מוגדר רק עבור מספרים אי-שליליים
להכיר את הכלל $a^{2} = ∣ a ∣$
להעריך שורשים של מספרים שאינם ריבועים שלמים

הרעיון המרכזי

מהו שורש ריבועי?

שורש ריבועי של מספר $a \geq 0$ הוא המספר האי-שלילי s שמקיים $s^{2} = a$ .

סימון: $a = s$

לדוגמה: $9 = 3$ כי $3^{2} = 9$ .

שימו לב: השורש הריבועי תמיד אי-שלילי! $9 = 3$ ולא -3.

ריבוע שלם הוא מספר שניתן לרשום כ- $n^{2}$ עבור מספר טבעי n.

הריבועים השלמים הראשונים: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169...

תשובה מספרית

חשבו: $\sqrt{9} = ?$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהי ההגדרה של $√a$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

איזה מהמספרים הבאים הוא ריבוע שלם?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

חשבו: $\sqrt{4}, \sqrt{9}, \sqrt{16}$

4 = 2, 9 = 3, 16 = 4

כל אחד מהמספרים 4, 9, 16 הוא ריבוע שלם.

שלב 1 — $\sqrt{4}$

מחפשים מספר אי-שלילי שבריבוע נותן 4. מכיוון ש-

2^{2} = 4

, נקבל

\sqrt{4} = 2

בדיקה מהירה

מהו השורש הריבועי של 4?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

חשבו: $\sqrt{0}, \sqrt{1}, \sqrt{100}$

0 = 0, 1 = 1, 100 = 10

שימו לב: גם 0 הוא ריבוע שלם!

$\sqrt{0}$

0^{2} = 0

, לכן

\sqrt{0} = 0

נכון או לא נכון

$\sqrt{0} = 0$ . נכון או לא נכון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

$\sqrt{1} = 1$ . נכון או לא נכון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

חשבו: $\sqrt{(-5}^{2})$

(- 5)^{2} = 25 = 5

הכלל החשוב: $a^{2} = ∣ a ∣$ — תמיד מקבלים ערך אי-שלילי!

שלב 1 — מחשבים את הריבוע

(-5)^{2} = (-5) \times (-5) = 25

בדיקה מהירה

מהו הערך של $\sqrt{(-5}^{2})$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

חשבו: $(\sqrt{7})^{2}$

(7)^{2} = 7

כלל: $(a)^{2} = a$ לכל $a \geq 0$ .

שלב 1 — מזהים את הקשר

שורש ריבועי והעלאה בריבוע הן פעולות הפוכות.

בין אילו שני מספרים שלמים נמצא $\sqrt{50}$ ?

7^{2} = 49 < 50 < 64 = 8^{2}

לכן: $7 < 50 < 8$

בפועל, $50 \approx 7.07$ — קרוב מאוד ל-7.

שלב 1 — מזהים ריבועים שלמים סמוכים

7^{2} = 49

ו-

8^{2} = 64

בדיקה מהירה

בין אילו שני מספרים שלמים נמצא $\sqrt{50}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

האם $\sqrt{-4}$ מוגדר?

שורש ריבועי מוגדר רק עבור $a \geq 0$ .

$- 4$ — לא מוגדר במספרים הממשיים.

שלב 1 — בודקים

האם קיים מספר ממשי s כך ש-

s^{2} = -4

למשוואה $x^{2} = 9$ — כמה פתרונות?

x^{2} = 9 ⟹ x = \pm 3

שימו לב להבדל: $9 = 3$ (ערך אחד, חיובי), אבל למשוואה $x^{2} = 9$ יש שני פתרונות.

שלב 1 — בודקים $x = 3$

3^{2} = 9 ✓

נכון או לא נכון

$\sqrt{-4}$ הוא מספר ממשי. נכון או לא נכון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

המשוואה $x^{2} = 9$ — כמה פתרונות יש לה בקבוצת המספרים הממשיים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

חשבו: $\sqrt{225}$

225 = 15

טיפ: כדי למצוא שורשים של מספרים גדולים, אפשר לפרק: $225 = 9 \times 25$ , לכן $225 = 9 \cdot 25 = 3 \cdot 5 = 15$ .

שלב 1 — מנסים למצוא ריבוע שלם

14^{2} = 196, 15^{2} = 225, 16^{2} = 256

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: $\sqrt{9} = \pm 3$

טעות: $9 = \pm 3$

נכון: $9 = 3$

הפתרונות של $x^{2} = 9$ הם $x = \pm 3$ , אבל $9 = 3$ בלבד.

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים בין פתרון המשוואה

x^{2} = 9

לבין חישוב

\sqrt{9}

איך מתקנים?

\sqrt{9} = 3

בלבד (חיובי). סימן השורש

(√)

מוגדר כך שהתוצאה תמיד אי-שלילית. הפתרונות של

x^{2} = 9

הם

x = \pm 3

, אבל

\sqrt{9} = 3

טעות נפוצה: $\sqrt{a^{2}} = a$

טעות: $(- 3)^{2} = - 3$

נכון: $(- 3)^{2} = 9 = 3 = ∣ - 3∣$

הכלל: $a^{2} = ∣ a ∣$

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים שהשורש הריבועי תמיד נותן ערך אי-שלילי.

איך מתקנים?

הכלל הנכון הוא

\sqrt{a^{2}} = |a|

. אם a שלילי, התוצאה תהיה חיובית.

נכון או לא נכון

$\sqrt{a^{2}} = a$ לכל מספר ממשי a. נכון או לא נכון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: שורש ריבועי של מספר שלילי מוגדר

טעות: $- 16 = - 4$

נכון: $- 16$ — לא מוגדר במספרים הממשיים.

(- 4)^{2} = 16 \neq = - 16

למה זה קורה?

תלמידים לא מבינים למה אי אפשר להוציא שורש ממספר שלילי.

איך מתקנים?

כל מספר ממשי בריבוע הוא אי-שלילי, לכן לא קיים מספר ממשי שבריבוע נותן מספר שלילי.

טעות נפוצה: $\sqrt{4} = \pm 2$ כי $(-2)^{2} = 4$

טעות: $4 = \pm 2$

נכון: $4 = 2$

נכון ש- $(- 2)^{2} = 4$ , אבל ההגדרה של $4$ היא הערך החיובי בלבד.

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שכיוון שגם

-2

בריבוע נותן 4, אז

\sqrt{4} = \pm 2

איך מתקנים?

ההגדרה של

√a

היא הערך האי-שלילי בלבד

. \sqrt{4} = 2

. הסימן ± מופיע רק בפתרון משוואות.

נכון או לא נכון

$\sqrt{4} = \pm 2$ . נכון או לא נכון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: בלבול בין $√a$ ובין $\frac{a}{2}$

טעות: $16 = 8$ (כי $16 \div 2 = 8$ )

נכון: $16 = 4$ (כי $4^{2} = 16$ )

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שלהוציא שורש זה כמו לחלק ב-2.

איך מתקנים?

שורש ריבועי זה לא חילוק ב-

2! \sqrt{16} = 4

, ולא

\frac{16}{2} = 8

טעות נפוצה: ריבועים שלמים — מספרים זוגיים בלבד

טעות: 49 לא יכול להיות ריבוע שלם כי הוא אי-זוגי.

נכון: $49 = 7^{2}$ — ריבוע שלם! גם $1 = 1^{2}$ , $9 = 3^{2}$ , $25 = 5^{2}$ .

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שרק מספרים זוגיים יכולים להיות ריבועים שלמים.

איך מתקנים?

גם מספרים אי-זוגיים יכולים להיות ריבועים שלמים: 1, 9, 25, 49, 81...

טעות נפוצה: $\sqrt{25} + \sqrt{16} = \sqrt{41}$

טעות: $25 + 16 = 41$

נכון: $25 + 16 = 5 + 4 = 9$

לעומת זאת: $41 \approx 6.4$

למה זה קורה?

תלמידים חושבים ששורש של סכום שווה לסכום השורשים.

איך מתקנים?

\sqrt{a+b} \ne √a + √b

! חשבו כל שורש בנפרד:

\sqrt{25} + \sqrt{16} = 5 + 4 = 9

טעות נפוצה: הערכה גסה — $\sqrt{50} ≈ 25$

טעות: $50 \approx 25$

נכון: $7 < 50 < 8$ , כי $7^{2} = 49 < 50 < 64 = 8^{2}$

למה זה קורה?

תלמידים מחלקים ב-2 במקום לחפש ריבוע שלם קרוב.

איך מתקנים?

\sqrt{50}

נמצא בין

\sqrt{49} = 7

ל-

\sqrt{64} = 8

, לכן

\sqrt{50} ≈ 7.07

טעות נפוצה: $\sqrt{0}$ לא מוגדר

טעות: $0$ לא מוגדר.

נכון: $0 = 0$

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שאפס הוא מקרה מיוחד שבו שורש לא מוגדר.

איך מתקנים?

\sqrt{0} = 0

כי

0^{2} = 0

. שורש ריבועי מוגדר לכל

a \ge 0

, כולל

a = 0

טעות נפוצה: $(√a)^{2} \ne a$

טעות: $(5)^{2} = 5$

נכון: $(5)^{2} = 5$

למה זה קורה?

תלמידים לא מבינים שהעלאה בריבוע מבטלת את השורש.

איך מתקנים?

שורש ריבועי בריבוע מחזיר את המספר המקורי:

(√a)^{2} = a

לכל

a \ge 0

טעות נפוצה: $\sqrt{196} = 16$ כי 196 קרוב ל- $16^{2}$

טעות: $196 = 16$

נכון: $196 = 14$ כי $1 4^{2} = 196$

למה זה קורה?

תלמידים מנחשים במקום לחשב.

איך מתקנים?

16^{2} = 256

, לא 196. צריך לבדוק:

14^{2} = 196

, לכן

\sqrt{196} = 14

טעות נפוצה: אם $x^{2} = 25$ אז $x = 5$

טעות: $x^{2} = 25 ⟹ x = 5$

נכון: $x^{2} = 25 ⟹ x = 5$ או x = -5

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים את הפתרון השלילי.

איך מתקנים?

למשוואה

x^{2} = 25

יש שני פתרונות:

x = 5

ו-

x = -5

. אבל

\sqrt{25} = 5

בלבד!

טעות נפוצה: $\sqrt{9 \cdot 4} = \sqrt{9} \cdot 4$

טעות: $9 \cdot 4 = 3 \cdot 4 = 12$

נכון: $9 \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 3 \cdot 2 = 6$

או: $36 = 6$

למה זה קורה?

תלמידים מוציאים שורש רק מגורם אחד.

איך מתקנים?

\sqrt{9 \cdot 4} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{4} = 3 \cdot 2 = 6

. השורש חל על שני הגורמים.

טעות נפוצה: $\sqrt{400} = 40$

טעות: $400 = 40$

נכון: $400 = 20$ כי $2 0^{2} = 400$

למה זה קורה?

תלמידים מחלקים ב-10 ומכפילים ב-2.

איך מתקנים?

\sqrt{400} = 20

כי

20^{2} = 400

. טיפ:

\sqrt{400} = \sqrt{4 \cdot 100} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{100} = 2 \cdot 10 = 20

סיכום

מה למדנו היום?

שורש ריבועי: $a$ הוא המספר האי-שלילי s כך ש- $s^{2} = a$ .

ריבועים שלמים חשובים:

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
$n^{2}$	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225

כללים חשובים:

$a^{2} = ∣ a ∣$ (תמיד ערך אי-שלילי)
$(a)^{2} = a$ עבור $a \geq 0$
$a$ מוגדר רק עבור $a \geq 0$
$9 = 3$ (ערך אחד!), אבל $x^{2} = 9 ⟹ x = \pm 3$

כל הכבוד! עכשיו אתם מבינים את ההגדרה של שורש ריבועי!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הגדרת שורש ריבועי וריבועים שלמים!

הגדרת שורש ריבועי

הגדרת שורש ריבועי

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

חשבו: 4,9,16\sqrt{4}, \sqrt{9}, \sqrt{16}4​,9​,16​

חשבו: 0,1,100\sqrt{0}, \sqrt{1}, \sqrt{100}0​,1​,100​

חשבו: (−52)\sqrt{(-5}^{2})(−5​2)

חשבו: (7)2(\sqrt{7})^{2}(7​)2

בין אילו שני מספרים שלמים נמצא 50\sqrt{50}50​?

האם −4\sqrt{-4}−4​ מוגדר?

למשוואה x2=9x^{2} = 9x2=9 — כמה פתרונות?

חשבו: 225\sqrt{225}225​

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: 9=±3\sqrt{9} = \pm 39​=±3

טעות נפוצה: a2=a\sqrt{a^{2}} = aa2​=a

טעות נפוצה: שורש ריבועי של מספר שלילי מוגדר

טעות נפוצה: 4=±2\sqrt{4} = \pm 24​=±2 כי (−2)2=4(-2)^{2} = 4(−2)2=4

טעות נפוצה: בלבול בין √a√a√a ובין a2\frac{a}{2}2a​

טעות נפוצה: ריבועים שלמים — מספרים זוגיים בלבד

טעות נפוצה: 25+16=41\sqrt{25} + \sqrt{16} = \sqrt{41}25​+16​=41​

טעות נפוצה: הערכה גסה — 50≈25\sqrt{50} ≈ 2550​≈25

טעות נפוצה: 0\sqrt{0}0​ לא מוגדר

טעות נפוצה: (√a)2≠a(√a)^{2} \ne a(√a)2=a

טעות נפוצה: 196=16\sqrt{196} = 16196​=16 כי 196 קרוב ל-16216^{2}162

טעות נפוצה: אם x2=25x^{2} = 25x2=25 אז x=5x = 5x=5

טעות נפוצה: 9⋅4=9⋅4\sqrt{9 \cdot 4} = \sqrt{9} \cdot 49⋅4​=9​⋅4

טעות נפוצה: 400=40\sqrt{400} = 40400​=40

סיכום

תרגול נוסף

חשבו: $\sqrt{4}, \sqrt{9}, \sqrt{16}$

חשבו: $\sqrt{0}, \sqrt{1}, \sqrt{100}$

חשבו: $\sqrt{(-5}^{2})$

חשבו: $(\sqrt{7})^{2}$

בין אילו שני מספרים שלמים נמצא $\sqrt{50}$ ?

האם $\sqrt{-4}$ מוגדר?

למשוואה $x^{2} = 9$ — כמה פתרונות?

חשבו: $\sqrt{225}$

טעות נפוצה: $\sqrt{9} = \pm 3$

טעות נפוצה: $\sqrt{a^{2}} = a$

טעות נפוצה: $\sqrt{4} = \pm 2$ כי $(-2)^{2} = 4$

טעות נפוצה: בלבול בין $√a$ ובין $\frac{a}{2}$

טעות נפוצה: $\sqrt{25} + \sqrt{16} = \sqrt{41}$

טעות נפוצה: הערכה גסה — $\sqrt{50} ≈ 25$

טעות נפוצה: $\sqrt{0}$ לא מוגדר

טעות נפוצה: $(√a)^{2} \ne a$

טעות נפוצה: $\sqrt{196} = 16$ כי 196 קרוב ל- $16^{2}$

טעות נפוצה: אם $x^{2} = 25$ אז $x = 5$

טעות נפוצה: $\sqrt{9 \cdot 4} = \sqrt{9} \cdot 4$

טעות נפוצה: $\sqrt{400} = 40$