ריבוע סכום וריבוע הפרש

מבוא

מטרות השיעור

להכיר ולזכור את נוסחת ריבוע הסכום: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$
להכיר ולזכור את נוסחת ריבוע ההפרש: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$
ליישם את הנוסחאות לפיתוח ביטויים אלגבריים
להשתמש בנוסחאות לחישובים מהירים של ריבועים

הרעיון המרכזי

נוסחאות כפל מקוצר - ריבועים

ריבוע סכום: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

ריבוע הפרש: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

שימו לב:

האיבר האמצעי הוא תמיד פעמיים מכפלת שני האיברים (2ab)
בריבוע סכום הסימן חיובי, בריבוע הפרש הסימן שלילי
האיבר האחרון ( $b^{2}$ ) תמיד חיובי בשתי הנוסחאות

דוגמאות מפורטות

בדיקה מהירה

מהי נוסחת ריבוע סכום $(a+b)^{2}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 1: ריבוע סכום בסיסי

פתחו: $(x+3)^{2}$

(x + 3)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = x^{2} + 6 x + 9

שלב 1 — מזהים a ו-b

a = x, b = 3

בדיקה מהירה

פתחו את הביטוי $(x+3)^{2}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $(a+b)^{2} = a^{2} + b^{2}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: ריבוע הפרש בסיסי

פתחו: $(x-5)^{2}$

(x - 5)^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2} = x^{2} - 10 x + 25

חשוב: הסימן של האיבר האחרון חיובי (ריבוע תמיד חיובי!)

שלב 1 — מזהים a ו-b

a = x, b = 5

בדיקה מהירה

פתחו את הביטוי $(x-5)^{2}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $(x-3)^{2} = x^{2} - 6x - 9$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מקדם לפני המשתנה

פתחו: $(2a+5)^{2}$

(2 a + 5)^{2} = (2 a)^{2} + 2 \cdot (2 a) \cdot 5 + 5^{2} = 4 a^{2} + 20 a + 25

שלב 1 — מזהים

כאן

a = 2a

ו-

b = 5

דוגמה 4: עם שני משתנים

פתחו: $(3x-4y)^{2}$

(3 x - 4 y)^{2} = 9 x^{2} - 24 x y + 16 y^{2}

שלב 1 — מזהים

a = 3x, b = 4y

תשובה מספרית

מה המקדם של x בפיתוח $(x+7)^{2}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מה האיבר החופשי (ללא x) בפיתוח $(x-8)^{2}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: חישוב מהיר של ריבועים

חשבו: $51^{2}$

5 1^{2} = (50 + 1)^{2} = 2500 + 100 + 1 = 2601

שלב 1 — כותבים כסכום

51 = 50 + 1

תשובה מספרית

חשבו באמצעות כפל מקוצר: $51^{2} = ?$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 6: חישוב מהיר עם הפרש

חשבו: $49^{2}$

4 9^{2} = (50 - 1)^{2} = 2500 - 100 + 1 = 2401

שלב 1 — כותבים כהפרש

49 = 50 - 1

תשובה מספרית

חשבו באמצעות כפל מקוצר: $49^{2} = ?$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 7: פישוט ביטוי עם שני ריבועים

פשטו: $(x+2)^{2} - (x-2)^{2}$

(x + 2)^{2} - (x - 2)^{2} = (x^{2} + 4 x + 4) - (x^{2} - 4 x + 4) = 8 x

שימו לב: ההפרש בין ריבוע סכום לריבוע הפרש תמיד שווה ל-4ab!

שלב 1 — פותחים $(x+2)^{2}$

x^{2} + 4x + 4

דוגמה 8: מציאת איבר חסר

מצאו $k: x^{2} + kx + 16 = (x+4)^{2}$

$(x + 4)^{2} = x^{2} + 8 x + 16$ , לכן k = 8.

שלב 1 — מפתחים את צד ימין

(x+4)^{2} = x^{2} + 8x + 16

תשובה מספרית

בביטוי $x^{2} + kx + 16 = (x+4)^{2}$ , מה הערך של k?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $x^{2} + 10x + 25 = (x+5)^{2}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

איזה מהביטויים הבאים הוא ריבוע של דו-איבר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את האיבר האמצעי

טעות: $(x + 3)^{2} = x^{2} + 9$

נכון: $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$

שכחו את $2 \cdot x \cdot 3 = 6 x$ !

למה זה קורה?

תלמידים רבים חושבים שריבוע סכום = סכום הריבועים.

איך מתקנים?

זכרו:

(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

. האיבר האמצעי 2ab הוא חלק חיוני מהנוסחה!

טעות נפוצה: סימן שגוי באיבר האחרון של ריבוע הפרש

טעות: $(x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x - 9$

נכון: $(x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x + 9$

$(- 3)^{2} = 9$ ולא -9!

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שהמינוס משפיע גם על האיבר האחרון.

איך מתקנים?

זכרו:

b^{2}

תמיד חיובי! ריבוע של כל מספר הוא חיובי.

טעות נפוצה: שגיאה בריבוע של מקדם

טעות: $(2 x + 3)^{2} = 2 x^{2} + 12 x + 9$

נכון: $(2 x + 3)^{2} = 4 x^{2} + 12 x + 9$

$(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ ולא $2 x^{2}$ !

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים להעלות בריבוע גם את המקדם.

איך מתקנים?

כש-a יש מקדם, מעלים בריבוע את כל הביטוי:

(2x)^{2} = 4x^{2}

, לא

2x^{2}

טעות נפוצה: מבלבלים בין ריבוע סכום להפרש ריבועים

ריבוע סכום: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ (תלת-איבר)

הפרש ריבועים: $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ (מכפלה של שני דו-איברים)

אלה נוסחאות שונות לגמרי!

למה זה קורה?

הנוסחאות דומות ותלמידים מתבלבלים ביניהן.

איך מתקנים?

(a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2} (

שלושה איברים), בעוד

a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b) (

הפרש ריבועים).

טעות נפוצה: שוכחים לכפול ב-2 את האיבר האמצעי

טעות: $(x + 4)^{2} = x^{2} + 4 x + 16$

נכון: $(x + 4)^{2} = x^{2} + 8 x + 16$

$2 \cdot x \cdot 4 = 8 x$ , לא 4x!

למה זה קורה?

תלמידים כותבים ab במקום 2ab.

איך מתקנים?

תמיד בדקו: האם כפלתם ב-2? האיבר האמצעי הוא 2ab ולא ab.

טעות נפוצה: מפתחים $(a+b)^{2}$ כ- $a^{2}+b^{2}$ במספרים

טעות: $5^{2} = 3^{2} + 2^{2} = 13$

נכון: $5^{2} = 25$ , ובנוסחה: $(3 + 2)^{2} = 9 + 12 + 4 = 25$

למה זה קורה?

בחישוב מספרי, תלמידים מפרקים את הריבוע לריבועי האיברים.

איך מתקנים?

בדקו:

5^{2} = 25

, אבל

3^{2}+2^{2} = 9+4 = 13

. הם לא שווים!

טעות נפוצה: סימן שגוי באיבר האמצעי

טעות: $(x - 4)^{2} = x^{2} + 8 x + 16$

נכון: $(x - 4)^{2} = x^{2} - 8 x + 16$

הסימן של 2ab מושפע מהמינוס!

למה זה קורה?

תלמידים כותבים פלוס במקום מינוס בריבוע הפרש.

איך מתקנים?

בריבוע הפרש

(a-b)^{2}

, האיבר האמצעי שלילי:

-2ab

טעות נפוצה: לא מזהים ריבוע של דו-איבר בכיוון ההפוך

$x^{2} + 10 x + 25$ — זה $(x + 5)^{2}$ !

כלל: אם $c = (b /2 a)^{2}$ אז $a x^{2} + b x + c$ הוא ריבוע שלם.

למה זה קורה?

תלמידים לא מזהים מתי תלת-איבר הוא ריבוע של דו-איבר.

איך מתקנים?

בדקו: האם האיבר החופשי הוא ריבוע שלם? האם האיבר האמצעי

= 2 \cdot

שורש הראשון·שורש האחרון?

טעות נפוצה: שכחו סוגריים כשיש מינוס לפני ריבוע

טעות: $(x + 2)^{2} - (x - 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4 x + 4 = 8$

נכון: $(x + 2)^{2} - (x - 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} - 4 x + 4) = 8 x$

למה זה קורה?

בחישוב

(x+a)^{2} - (x-a)^{2}

שוכחים לפתוח סוגריים בחיסור.

איך מתקנים?

כשמחסרים ביטוי, חובה לשים סוגריים ולהפוך את כל הסימנים!

טעות נפוצה: חושבים ש- $(a-b)^{2}$ שונה מ- $(b-a)^{2}$

(3 - 5)^{2} = (- 2)^{2} = 4

(5 - 3)^{2} = 2^{2} = 4

שניהם שווים!

למה זה קורה?

תלמידים לא מבינים שריבוע מבטל סימן שלילי.

איך מתקנים?

(a-b)^{2} = (b-a)^{2}

כי

(a-b) = -(b-a)

וריבוע מבטל את המינוס.

טעות נפוצה: שגיאה בפיתוח עם שברים

טעות: $(x /2 + 3)^{2} = x^{2} /2 + 3 x + 9$

נכון: $(x /2 + 3)^{2} = x^{2} /4 + 3 x + 9$

$(x /2)^{2} = x^{2} /4$ , לא $x^{2} /2$ !

למה זה קורה?

תלמידים מתקשים כשהאיברים כוללים שברים.

איך מתקנים?

אותם כללים חלים גם על שברים:

(\frac{x}{2}+3)^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 3x + 9

טעות נפוצה: מיישמים את הנוסחה על סכום של שלושה איברים

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 a c + 2 b c

יש שלושה איברים מעורבים, לא רק אחד!

למה זה קורה?

תלמידים חושבים ש-

(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab

איך מתקנים?

הנוסחה עובדת רק על דו-איבר! לשלושה איברים:

(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc

טעות נפוצה: שוכחים ש- $(a+b)^{2}$ לא שווה ל- $a^{2}+b^{2}+ab$

טעות: $(a + b)^{2} = a^{2} + ab + b^{2}$

נכון: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

יש 2 לפני ab!

למה זה קורה?

תלמידים כותבים ab במקום 2ab.

איך מתקנים?

המקדם של האיבר המעורב הוא 2, לא 1. תמיד 2ab!

טעות נפוצה: חישוב שגוי של 2ab כש-a או b מורכבים

טעות: $2 \cdot (3 x) \cdot (2 y) = 6 x y$

נכון: $2 \cdot (3 x) \cdot (2 y) = 12 x y$

למה זה קורה?

כשהאיברים כוללים מקדמים, תלמידים שוכחים לכפול הכול.

איך מתקנים?

2 \cdot (3x) \cdot (2y) = 12xy

, לא 6xy. כפלו כל המספרים:

2 \cdot 3 \cdot 2 = 12

טעות נפוצה: בלבול בין $(2x)^{2}$ ל- $2x^{2}$

טעות: $(2 x)^{2} = 2 x^{2}$

נכון: $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$

למה זה קורה?

תלמידים לא מבינים ש-

(2x)^{2}

מעלה בריבוע את הביטוי כולו.

איך מתקנים?

(2x)^{2} = 2^{2} \cdot x^{2} = 4x^{2}

. הריבוע חל על 2 וגם על x!

טעות נפוצה: שכחה להכפיל את המקדם 2 בזהות

טעות: $(x + 3)^{2} = x^{2} + 3 x + 9$

נכון: $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ (שימו לב: 2 cdot x cdot 3 = 6x)

למה זה קורה?

תלמידים כותבים

(a+b)^{2} = a^{2} + ab + b^{2}

במקום

a^{2} + 2ab + b^{2}

איך מתקנים?

המקדם 2 הוא קריטי! הוא נובע מכך שיש שני מכפלות מעורבות:

a \cdot b + b \cdot a = 2ab

סיכום

מה למדנו?

נוסחאות כפל מקוצר - ריבועים:

ריבוע סכום: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$
ריבוע הפרש: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

נקודות חשובות:

האיבר האמצעי תמיד 2ab (לא לשכוח את ה-2!)
בריבוע הפרש: רק האיבר האמצעי שלילי, האחרון חיובי
אפשר להשתמש לחישוב מהיר: $5 1^{2} = (50 + 1)^{2} = 2601$
אפשר לזהות ריבוע שלם: $x^{2} + 10 x + 25 = (x + 5)^{2}$

כל הכבוד! עכשיו אתם שולטים בנוסחאות ריבוע סכום וריבוע הפרש!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על יישום הנוסחאות!

ריבוע סכום וריבוע הפרש

ריבוע סכום וריבוע הפרש

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ריבוע סכום בסיסי

פתחו: (x+3)2(x+3)^{2}(x+3)2

דוגמה 2: ריבוע הפרש בסיסי

פתחו: (x−5)2(x-5)^{2}(x−5)2

דוגמה 3: מקדם לפני המשתנה

פתחו: (2a+5)2(2a+5)^{2}(2a+5)2

דוגמה 4: עם שני משתנים

פתחו: (3x−4y)2(3x-4y)^{2}(3x−4y)2

דוגמה 5: חישוב מהיר של ריבועים

חשבו: 51251^{2}512

דוגמה 6: חישוב מהיר עם הפרש

חשבו: 49249^{2}492

דוגמה 7: פישוט ביטוי עם שני ריבועים

פשטו: (x+2)2−(x−2)2(x+2)^{2} - (x-2)^{2}(x+2)2−(x−2)2

דוגמה 8: מציאת איבר חסר

מצאו k:x2+kx+16=(x+4)2k: x^{2} + kx + 16 = (x+4)^{2}k:x2+kx+16=(x+4)2

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את האיבר האמצעי

טעות נפוצה: סימן שגוי באיבר האחרון של ריבוע הפרש

טעות נפוצה: שגיאה בריבוע של מקדם

טעות נפוצה: מבלבלים בין ריבוע סכום להפרש ריבועים

טעות נפוצה: שוכחים לכפול ב-2 את האיבר האמצעי

טעות נפוצה: מפתחים (a+b)2(a+b)^{2}(a+b)2 כ-a2+b2a^{2}+b^{2}a2+b2 במספרים

טעות נפוצה: סימן שגוי באיבר האמצעי

טעות נפוצה: לא מזהים ריבוע של דו-איבר בכיוון ההפוך

טעות נפוצה: שכחו סוגריים כשיש מינוס לפני ריבוע

טעות נפוצה: חושבים ש-(a−b)2(a-b)^{2}(a−b)2 שונה מ-(b−a)2(b-a)^{2}(b−a)2

טעות נפוצה: שגיאה בפיתוח עם שברים

טעות נפוצה: מיישמים את הנוסחה על סכום של שלושה איברים

טעות נפוצה: שוכחים ש-(a+b)2(a+b)^{2}(a+b)2 לא שווה ל-a2+b2+aba^{2}+b^{2}+aba2+b2+ab

טעות נפוצה: חישוב שגוי של 2ab כש-a או b מורכבים

טעות נפוצה: בלבול בין (2x)2(2x)^{2}(2x)2 ל-2x22x^{2}2x2

טעות נפוצה: שכחה להכפיל את המקדם 2 בזהות

סיכום

תרגול נוסף

פתחו: $(x+3)^{2}$

פתחו: $(x-5)^{2}$

פתחו: $(2a+5)^{2}$

פתחו: $(3x-4y)^{2}$

חשבו: $51^{2}$

חשבו: $49^{2}$

פשטו: $(x+2)^{2} - (x-2)^{2}$

מצאו $k: x^{2} + kx + 16 = (x+4)^{2}$

טעות נפוצה: מפתחים $(a+b)^{2}$ כ- $a^{2}+b^{2}$ במספרים

טעות נפוצה: חושבים ש- $(a-b)^{2}$ שונה מ- $(b-a)^{2}$

טעות נפוצה: שוכחים ש- $(a+b)^{2}$ לא שווה ל- $a^{2}+b^{2}+ab$

טעות נפוצה: בלבול בין $(2x)^{2}$ ל- $2x^{2}$