משיקים למעגל

מבוא

מטרות השיעור

בסוף שיעור זה תוכלו:

להגדיר מהו משיק למעגל
ליישם את המשפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
לחשב אורכי משיקים ומרחקים באמצעות פיתגורס
ליישם את המשפט: קטעי משיק מנקודה חיצונית שווים
להכיר את הזווית בין משיק למיתר
לפתור בעיות על משולש החוסם מעגל

המשיק למעגל הוא ישר "הנוגע" במעגל בנקודה אחת בלבד. למרות שהוא נוגע רק בנקודה אחת, יש לו תכונות חזקות ויפות שנשתמש בהן רבות.

הרעיון המרכזי

משיקים למעגל — הגדרות ומשפטים

משיק למעגל — ישר הנוגע למעגל בנקודה אחת בלבד, הנקראת נקודת ההשקה.

משפטים מרכזיים:

משיק $⊥$ רדיוס: המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. אם T נקודת ההשקה ו-O המרכז, אז $OT ⊥$ משיק.
ההיפוך: אם ישר מאונך לרדיוס בקצהו שעל המעגל — הוא משיק.
משיקים מנקודה חיצונית שווים: אם PA ו-PB משיקים מ-P, אז PA = PB.
OP חוצה: הישר OP חוצה את $∠ A PB$ ואת $∠ A OB$ .
זווית משיק-מיתר: הזווית בין משיק למיתר בנקודת ההשקה שווה לחצי הקשת שהמיתר חוסם (= זווית היקפית מהצד השני).
$∠ A PB + ∠ A OB = 180°$ (כאשר PA, PB משיקים).

בדיקה מהירה

מהו משיק למעגל?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

רדיוס מעגל הוא 5 ס"מ. משיק נוגע למעגל בנקודה T. מרחק מרכז המעגל O מהמשיק הוא d ס"מ. מהו d?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

חישוב אורך משיק — פיתגורס

שאלה: מעגל ברדיוס 6, OP = 10. מצאו את אורך המשיק PT.

מה נתון

מעגל שמרכזו O ורדיוסו 6. נקודה P מחוץ למעגל

, OP = 10. PT

משיק בנקודה T.

בדיקה מהירה

מהי הזווית בין משיק למעגל לבין הרדיוס בנקודת ההשקה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מעגל שמרכזו O ורדיוסו 6 ס"מ. נקודה P מחוץ למעגל כך ש- $OP = 10$ ס"מ. PT משיק למעגל בנקודה T. מהו אורך PT בס"מ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

חישוב מרחק מהמרכז כשנתון המשיק

שאלה: רדיוס 5, PT = 12. מצאו OP.

מה נתון

רדיוס

= 5, PT = 12 (T

נקודת השקה).

הוכחה — קטעי משיק מנקודה חיצונית שווים

הוכיחו: קטעי משיק מנקודה חיצונית שווים.

מה נתון

PA ו-PB משיקים למעגל O בנקודות A ו-B.

בדיקה מהירה

מנקודה P מחוץ למעגל יוצאים שני משיקים PA ו-PB (A ו-B נקודות השקה). מה נכון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: אם PA ו-PB משיקים למעגל שמרכזו O, אז OP חוצה את ∠APB.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

זווית משיק-מיתר

שאלה: זווית בין משיק למיתר TA היא 40°. מצאו את קשת TA.

מה נתון

משיק למעגל בנקודה T. מיתר TA יוצר עם המשיק זווית

40^{\circ}

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת מהצד השני.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

הזווית בין שני משיקים

שאלה: $∠ A OB = 140°$ . מצאו $∠ A PB$ .

מה נתון

PA ו-PB משיקים למעגל

O. \angle AOB = 140^{\circ}

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $\angle APB + \angle AOB = 180^{\circ}$ כאשר PA ו-PB משיקים למעגל שמרכזו O.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

משולש חוסם מעגל — חישוב קטעי משיקים

שאלה: משולש ABC חוסם מעגל. AB = 10, BC = 8, AC = 12. מצאו AD.

מה נתון

משולש ABC חוסם מעגל

. AB = 10, BC = 8, AC = 12

. נקודות השקה: D על AB, E על BC, F על AC.

שימוש בטריגונומטריה עם משיקים

שאלה: $∠ A PB = 60°$ , רדיוס = 3. מצאו OP.

מה נתון

PA ו-PB משיקים למעגל שרדיוסו

3. \angle APB = 60^{\circ}

משפט משיק-חותך

שאלה: PT = 6, PA = 3. משפט משיק-חותך: מצאו PB.

מה נתון

מנקודה P: משיק PT (T נקודת השקה) וישר חותך

PAB. PT = 6, PA = 3

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בין משיק לחותך

משיק נוגע בנקודה אחת. חותך חוצה את המעגל ופוגש אותו בשתי נקודות.

למה זה קורה?

שניהם ישרים שפוגשים את המעגל, אבל מספר נקודות החיתוך שונה.

איך מתקנים?

משיק = נקודה אחת. חותך = שתי נקודות.

טעות נפוצה: חשיבה שהמשיק מאונך לכל מיתר

המשיק מאונך רק ל-OT (הרדיוס). מיתרים אחרים דרך T — לא מאונכים למשיק.

למה זה קורה?

תלמידים מכלילים את המשפט 'משיק ⊥ רדיוס'.

איך מתקנים?

המשיק מאונך רק לרדיוס (או לקוטר) בנקודת ההשקה — לא לכל מיתר!

טעות נפוצה: שכחה שהמשולש OTP הוא ישר-זווית

$∠ OTP = 90°$ . OP הוא היתר — הצלע הגדולה ביותר.

למה זה קורה?

תלמידים לא מסמנים את הזווית הישרה ושוכחים להשתמש בפיתגורס.

איך מתקנים?

תמיד סמנו:

\angle OTP = 90^{\circ}

. המשולש OTP ישר-זווית ב-T. OP הוא היתר.

טעות נפוצה: בלבול בנוסחת פיתגורס — מי היתר?

OP = היתר. $P T^{2} = O P^{2} - O T^{2}$ , לא $O P^{2} + O T^{2}$ !

למה זה קורה?

תלמידים כותבים

PT^{2} = OT^{2} + OP^{2}

במקום

OP^{2} = OT^{2} + PT^{2}

איך מתקנים?

OP הוא היתר (הצלע הגדולה, ממרכז לנקודה חיצונית)

. OP^{2} = OT^{2} + PT^{2}

טעות נפוצה: חשיבה שמשיק יכול לצאת מנקודה בתוך המעגל

מנקודה פנימית: 0 משיקים. מנקודה על המעגל: 1 משיק. מנקודה חיצונית: 2 משיקים.

למה זה קורה?

תלמידים לא מבינים את ההגבלה הגאומטרית.

איך מתקנים?

מנקודה בתוך המעגל — אין משיק. כל ישר מנקודה פנימית חותך את המעגל בשתי נקודות.

טעות נפוצה: שכחה שקטעי משיק שווים רק מאותה נקודה

PA = PB (שניהם מ-P). אבל $P A \neq = Q A$ (מנקודות שונות).

למה זה קורה?

תלמידים מכלילים את המשפט.

איך מתקנים?

PA = PB

כי שניהם מאותה נקודה P. משיקים מנקודות שונות — לא בהכרח שווים.

טעות נפוצה: בלבול בין זווית משיק-מיתר לזווית בין המשיק לרדיוס

עם הרדיוס: תמיד 90°. עם מיתר: $\frac{קשת}{2}$ — תלוי בקשת.

למה זה קורה?

שתיהן זוויות עם המשיק, אבל ערכן שונה.

איך מתקנים?

משיק-רדיוס

= 90^{\circ} (

תמיד). משיק-מיתר = חצי הקשת (משתנה).

טעות נפוצה: שכחת משפט משיק-חותך

$P T^{2} = P A \cdot PB$ . שימו לב: PA ו-PB הם מרחקים מ-P לנקודות החיתוך.

למה זה קורה?

תלמידים לא מכירים את הנוסחה

PT^{2} = PA \cdot PB

איך מתקנים?

כשיש משיק וחותך מאותה נקודה:

PT^{2} = PA \cdot PB

. זו נוסחה חשובה!

טעות נפוצה: טעות במשולש חוסם — שכחה ששלושה זוגות משיקים שווים

שלושה קודקודים ⟹ שלושה זוגות משיקים. סמנו x, y, z ופתרו מערכת משוואות.

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים לסמן את שלושת הזוגות.

איך מתקנים?

AD = AF, BD = BE, CE = CF

. שלושה זוגות! ההיקף

= 2(x + y + z)

טעות נפוצה: חשיבה ש- $\angle APB = \angle AOB$

$∠ A PB + ∠ A OB = 180°$ . אם $∠ A OB = 140°$ , אז $∠ A PB = 40°$ .

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים שהזוויות משלימות ל-

180^{\circ}

איך מתקנים?

\angle APB + \angle AOB = 180^{\circ} (

לא שוות!). הן משלימות, לא שוות.

טעות נפוצה: בלבול בין השקה חיצונית לפנימית

חיצונית: $d = r_{1} + r_{2}$ . פנימית: $d = ∣ r_{1} - r_{2} ∣$ . אל תחליפו!

למה זה קורה?

תלמידים מחליפים סכום בהפרש.

איך מתקנים?

השקה חיצונית:

d = r_{1} + r_{2}

. השקה פנימית:

d = |r_{1} - r_{2}|

תשובה מספרית

שני מעגלים בעלי מרכזים $O_{1}$ ו- $O_{2}$ ורדיוסים 3 ו-5 משיקים זה לזה חיצונית. מהו מרחק המרכזים $O_{1}O_{2}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

שני מעגלים בעלי רדיוסים 7 ו-3 משיקים זה לזה פנימית. מהו מרחק המרכזים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: שכחה שמרובע OAPB הוא ציקלי

OAPB ציקלי כי $∠ O A P + ∠ OBP = 180°$ . הוא חסום במעגל שקוטרו OP.

למה זה קורה?

תלמידים לא מזהים שהוא חסום במעגל.

איך מתקנים?

\angle OAP = \angle OBP = 90^{\circ}

. סכום זוויות נגדיות

= 180^{\circ}

. לכן OAPB חסום במעגל שקוטרו OP.

טעות נפוצה: שכחת ההיפוך — אנכות ⟹ משיק

כדי להוכיח שישר הוא משיק: הראו שהוא מאונך לרדיוס בנקודה על המעגל.

למה זה קורה?

תלמידים זוכרים רק את הכיוון הראשון.

איך מתקנים?

גם ההיפוך נכון: אם ישר מאונך לרדיוס בקצהו שעל המעגל — הוא משיק. זה עוזר להוכיח שישר הוא משיק.

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: אם ישר מאונך לרדיוס בקצהו שעל המעגל, אז הישר הוא משיק למעגל.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: טעות בזווית בין שני משיקים לאותו מעגל

$∠ A PB = 180° - ∠ A OB$ . דרך קשתות: $∠ A PB = \frac{קשת גדולה - קשת קטנה}{2}$ .

למה זה קורה?

תלמידים משתמשים בנוסחה שגויה.

איך מתקנים?

\angle APB = 180^{\circ} - \angle AOB

. או:

\angle APB = 180^{\circ} - (

קשת AB הקטנה). שימו לב לקשת הנכונה.

טעות נפוצה: שימוש בנוסחת משיק-חותך כשאין משיק

משיק וחותך: $P T^{2} = P A \cdot PB$ . שני חותכים: $P A \cdot PB = PC \cdot P D$ .

למה זה קורה?

תלמידים מיישמים את הנוסחה גם כשיש שני חותכים.

איך מתקנים?

PT^{2} = PA \cdot PB

רק כש-PT משיק. כששני ישרים חותכים:

PA \cdot PB = PC \cdot PD

טעות נפוצה: שכחה לבדוק שהנקודה חיצונית

OP > r: 2 משיקים. OP = r: P על המעגל, משיק 1. OP < r: בתוך, 0 משיקים.

למה זה קורה?

המשפט על שני משיקים שווים תקף רק לנקודה מחוץ למעגל.

איך מתקנים?

בדקו תמיד: האם P מחוץ למעגל? אם

OP > r

אז כן — ויש שני משיקים.

סיכום

סיכום השיעור

משיק $⊥$ רדיוס בנקודת ההשקה (ולהיפך).
משיקים מנקודה חיצונית שווים: PA = PB.
$∠ A PB + ∠ A OB = 180°$ במרובע OAPB.
זווית משיק-מיתר = חצי הקשת = זווית היקפית נגדית.
משפט משיק-חותך: $P T^{2} = P A \cdot PB$ .
משולש חוסם: שלושה זוגות משיקים שווים, היקף = 2(x + y + z).

משיקים למעגל

משיקים למעגל

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

חישוב אורך משיק — פיתגורס

חישוב מרחק מהמרכז כשנתון המשיק

הוכחה — קטעי משיק מנקודה חיצונית שווים

זווית משיק-מיתר

הזווית בין שני משיקים

משולש חוסם מעגל — חישוב קטעי משיקים

שימוש בטריגונומטריה עם משיקים

משפט משיק-חותך

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בין משיק לחותך

טעות נפוצה: חשיבה שהמשיק מאונך לכל מיתר

טעות נפוצה: שכחה שהמשולש OTP הוא ישר-זווית

טעות נפוצה: בלבול בנוסחת פיתגורס — מי היתר?

טעות נפוצה: חשיבה שמשיק יכול לצאת מנקודה בתוך המעגל

טעות נפוצה: שכחה שקטעי משיק שווים רק מאותה נקודה

טעות נפוצה: בלבול בין זווית משיק-מיתר לזווית בין המשיק לרדיוס

טעות נפוצה: שכחת משפט משיק-חותך

טעות נפוצה: טעות במשולש חוסם — שכחה ששלושה זוגות משיקים שווים

טעות נפוצה: חשיבה ש-∠APB=∠AOB\angle APB = \angle AOB∠APB=∠AOB

טעות נפוצה: בלבול בין השקה חיצונית לפנימית

טעות נפוצה: שכחה שמרובע OAPB הוא ציקלי

טעות נפוצה: שכחת ההיפוך — אנכות ⟹ משיק

טעות נפוצה: טעות בזווית בין שני משיקים לאותו מעגל

טעות נפוצה: שימוש בנוסחת משיק-חותך כשאין משיק

טעות נפוצה: שכחה לבדוק שהנקודה חיצונית

סיכום

טעות נפוצה: חשיבה ש- $\angle APB = \angle AOB$