הגדרת יחסים טריגונומטריים

מבוא

מה נלמד היום?

סינוס: $sin α = \frac{ניצב נגדי}{יתר}$
קוסינוס: $cos α = \frac{ניצב סמוך}{יתר}$
טנגנס: $tan α = \frac{ניצב נגדי}{ניצב סמוך}$
ערכי הזוויות המיוחדות: 30°, 45°, 60°
הכלל לזכירה: SOH-CAH-TOA

הרעיון המרכזי

שלושת היחסים הטריגונומטריים

במשולש ישר-זווית ABC, כאשר $∠ C = 90°$ , AB = c (יתר), BC = a (ניצב), AC = b (ניצב):

יחס	הגדרה	נוסחה ביחס לזווית A
סינוס (sin)	ניצב נגדי / יתר	$sin A = \frac{a}{c}$
קוסינוס (cos)	ניצב סמוך / יתר	$cos A = \frac{b}{c}$
טנגנס (tan)	ניצב נגדי / ניצב סמוך	$tan A = \frac{a}{b}$

כלל הזכירה SOH-CAH-TOA:

Sine = Opposite / Hypotenuse
Cosine = Adjacent / Hypotenuse
Tangent = Opposite / Adjacent

ערכי זוויות מיוחדות:

זווית	sin	cos	tan
30°	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{3}$
45°	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$	1
60°	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$3$

זהויות חשובות:

$sin α = cos (90° - α)$
$tan α = \frac{s i n α}{c o s α}$
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$

בדיקה מהירה

במשולש ישר-זווית, מהו היחס הטריגונומטרי $\sin \alpha$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

במשולש ישר-זווית, מהו היחס הטריגונומטרי $\cos \alpha$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

במשולש ישר-זווית, מהו היחס הטריגונומטרי $\tan \alpha$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

חישוב $\sin$ במשולש $3-4-5$

sin α = \frac{3}{5} = 0.6

הכלל: sin = ניצב נגדי (מול הזווית) חלקי יתר (הצלע הארוכה ביותר).

שלב 1 — זיהוי הנתונים

במשולש ישר-זווית, הניצבים 3 ו-4. נמצא את היתר ואת

\sin \alpha

כאשר

\alpha

מול הניצב באורך 3

תשובה מספרית

במשולש ישר-זווית $ABC, \angle C = 90^{\circ}, AB = 10, BC = 6$ . חשבו: $\sin A = ? ($ רשמו תשובה עשרונית)

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

חישוב $\cos$ במשולש $5-12-13$

cos A = \frac{A C}{A B} = \frac{12}{13} \approx 0.923

הכלל: cos = ניצב סמוך (צמוד לזווית) חלקי יתר.

שלב 1 — זיהוי

במשולש ישר-זווית

ABC, \angle C = 90^{\circ}, BC = 5, AC = 12, AB = 13

. נחשב

\cos A

חישוב $\tan$ במשולש $8-15$

tan A = \frac{BC}{A C} = \frac{8}{15} \approx 0.533

הכלל: tan = ניצב נגדי חלקי ניצב סמוך. שימו לב — אין צורך ביתר!

שלב 1 — זיהוי

במשולש ישר-זווית

, \angle C = 90^{\circ}, BC = 8, AC = 15

. נחשב

\tan A

ערכי $\sin$ ו- $\cos$ של $30^{\circ}$

sin 30° = \frac{1}{2} = 0.5, cos 30° = \frac{3}{2} \approx 0.866

טיפ: שימו לב ש-sin 30° = cos 60° ו-cos 30° = sin 60° (זוויות משלימות!).

שלב 1 — בניית המשולש

במשולש

30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}

עם יתר

= 2:

הניצב מול

30^{\circ} = 1

, הניצב מול

60^{\circ} = \sqrt{3}

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $\cos 30^{\circ} = \sin 60^{\circ}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

ערכי $\sin$ ו- $\cos$ של $45^{\circ}$

sin 45° = cos 45° = \frac{2}{2} \approx 0.707

הכלל: ב-45° הניצבים שווים, לכן sin = cos.

שלב 1 — בניית המשולש

במשולש

45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}

עם ניצבים

= 1:

היתר

= \sqrt{2}

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $\sin 30^{\circ} = 0.5$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $\tan 45^{\circ} = 1$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהו הערך של $\sin 45^{\circ}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

מציאת $\cos$ מתוך $\sin$ בעזרת הזהות

cos α = 1 - sin^{2} α = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} = \frac{4}{5} = 0.8

הכלל: הזהות $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ מאפשרת למצוא יחס אחד מתוך השני.

שלב 1 — נתון

\sin \alpha = \frac{3}{5}

. מצאו

\cos \alpha

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $\sin ^{2}\alpha + \cos ^{2}\alpha = 1$ לכל זווית חדה $\alpha$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

מציאת $\tan$ מתוך $\sin$

tan α = \frac{s i n α}{c o s α} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}

דרך נוספת: ניצב נגדי = 5, יתר = 13, ניצב סמוך = 12 (פיתגורס). tan = 5/12.

שלב 1 — נתון

\sin \alpha = \frac{5}{13}

. מצאו

\tan \alpha

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $\tan \alpha = \sin \frac{\alpha }{\cos } \alpha$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

חישוב $\tan 60^{\circ}$

tan 60° = \frac{s i n 60°}{c o s 60°} = \frac{3 /2}{1/2} = 3 \approx 1.732

שימו לב: tan 60° > 1 כי הניצב הנגדי גדול מהסמוך.

שלב 1 — ערכי $60^{\circ}$

\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2,} \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}

בדיקה מהירה

מהו הערך של $\cos 60^{\circ}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חשבו: $\sin 60^{\circ} = ? ($ רשמו תשובה עשרונית, עגלו לשתי ספרות)

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין ניצב נגדי לניצב סמוך

טעות: במשולש ישר-זווית ABC, $∠ C = 90°$ , כתבו $sin A = \frac{A C}{A B}$

נכון: $sin A = \frac{BC}{A B}$ (BC הוא הניצב הנגדי ל-A, לא AC)

למה זה קורה?

תלמידים לא מזהים נכון איזה ניצב נגדי ואיזה סמוך ביחס לזווית הנתונה.

איך מתקנים?

הניצב הנגדי הוא מול הזווית, הניצב הסמוך הוא ליד הזווית (לא היתר!).

טעות נפוצה: מבלבלים בין $\sin$ ל- $\cos$

טעות: $cos 30° = \frac{1}{2}$

נכון: $cos 30° = \frac{3}{2}$ , ו- $sin 30° = \frac{1}{2}$

למה זה קורה?

תלמידים מחליפים בין סינוס (נגדי/יתר) לקוסינוס (סמוך/יתר).

איך מתקנים?

SOH-CAH-TOA! \sin = \frac{Opposite}{Hypotenuse}, \cos = \frac{Adjacent}{Hypotenuse}

טעות נפוצה: שוכחים שהיתר תמיד במכנה של $\sin$ ו- $\cos$

טעות: $sin A = \frac{יתר}{ניצב נגדי}$

נכון: $sin A = \frac{ניצב נגדי}{יתר}$

למה זה קורה?

תלמידים שמים לפעמים את היתר במונה.

איך מתקנים?

\sin

ו-

\cos

תמיד קטנים מ-1 (לזוויות חדות), כי היתר הוא הצלע הארוכה ביותר ותמיד במכנה.

טעות נפוצה: מבלבלים ערכי $30^{\circ}$ ו- $60^{\circ}$

טעות: $sin 30° = \frac{3}{2}$

נכון: $sin 30° = \frac{1}{2}$ , ו- $sin 60° = \frac{3}{2}$

למה זה קורה?

תלמידים מחליפים בין

\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}

ל-

\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}

איך מתקנים?

\sin

עולה מ-

0^{\circ}

ל-

90^{\circ}: \sin 30^{\circ} < \sin 60^{\circ}

. לכן

\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} (

הקטן) ו-

\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} (

הגדול).

טעות נפוצה: חושבים ש- $\tan$ תמיד קטן מ-1

טעות: "tan של זווית חדה תמיד קטן מ-1"

נכון: $tan 60° = 3 \approx 1.73 > 1$

למה זה קורה?

תלמידים מכלילים מ-

\sin

ו-

\cos (

שתמיד

\le 1

לזוויות חדות) גם ל-

\tan

איך מתקנים?

\tan

יכול להיות כל מספר חיובי

! \tan 60^{\circ} = \sqrt{3} ≈ 1.73 > 1

. כש-

\alpha > 45^{\circ}

, הניצב הנגדי גדול מהסמוך.

טעות נפוצה: שוכחים ש- $\tan = \frac{\sin }{\cos }$

טעות: מחשבים tan בנפרד כשכבר ידועים sin ו-cos

נכון: $tan α = \frac{s i n α}{c o s α}$ — אפשר פשוט לחלק!

למה זה קורה?

תלמידים לא מקשרים בין שלושת היחסים.

איך מתקנים?

\tan \alpha = \sin \frac{\alpha }{\cos } \alpha

. זה נובע ישירות מההגדרות: (נגדי/יתר) / (סמוך/יתר) = נגדי/סמוך.

טעות נפוצה: לא מזהים זוויות משלימות

טעות: חושבים ש-sin 30° ו-cos 60° הם ערכים שונים

נכון: $sin 30° = cos 60° = \frac{1}{2}$ (זוויות משלימות)

למה זה קורה?

תלמידים לא יודעים שבמשולש ישר-זווית

, \sin

של זווית אחת

= \cos

של הזווית השנייה.

איך מתקנים?

\sin \alpha = \cos (90^{\circ} - \alpha )

. שתי הזוויות החדות משלימות ל-

90^{\circ}

טעות נפוצה: מיישמים טריגונומטריה על משולש שאינו ישר-זווית

טעות: משתמשים ב- $sin A = \frac{a}{c}$ במשולש כלשהו

נכון: ההגדרה $sin A = \frac{נגדי}{יתר}$ חלה רק כש- $∠ C = 90°$

למה זה קורה?

תלמידים משתמשים ב-

\sin , \cos , \tan

ישירות במשולש כלשהו.

איך מתקנים?

ההגדרות

SOH-CAH-TOA

חלות רק על משולש ישר-זווית! למשולשים אחרים יש חוק הסינוסים וחוק הקוסינוסים.

טעות נפוצה: מבלבלים את ה- $\sin$ של הזווית עם הזווית עצמה

טעות: $sin 30° = 30$

נכון: $sin 30° = 0.5$

למה זה קורה?

תלמידים כותבים

\sin 30^{\circ} = 30

או

\sin 45^{\circ} = 45

איך מתקנים?

\sin

הוא יחס (מספר), לא הזווית עצמה

! \sin 30^{\circ} = 0.5

, לא 30.

טעות נפוצה: חושבים ש- $\sin (2\alpha ) = 2 \cdot \sin (\alpha )$

טעות: $sin (60°) = 2 \cdot sin (30°) = 2 \cdot 0.5 = 1$

נכון: $sin (60°) = \frac{3}{2} \approx 0.866$

למה זה קורה?

תלמידים מפזרים את הפונקציה כמו מקדם.

איך מתקנים?

\sin

היא פונקציה, לא מקדם

! \sin (2 \cdot 30^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}

, אבל

2 \cdot \sin 30^{\circ} = 2 \cdot 0.5 = 1

טעות נפוצה: טעות בזיהוי היתר

טעות: במשולש עם צלעות 5, 12, 13 — כותבים שהיתר הוא 12

נכון: היתר = 13 (הצלע הארוכה ביותר, מול הזווית הישרה)

למה זה קורה?

תלמידים לא תמיד מזהים שהיתר הוא הצלע שמול הזווית הישרה.

איך מתקנים?

היתר הוא תמיד הצלע הארוכה ביותר, מול הזווית של

90^{\circ}

טעות נפוצה: שוכחים ש- $\cos$ יורד כשהזווית עולה

טעות: $cos 60° > cos 30°$

נכון: $cos 60° = 0.5 < cos 30° \approx 0.866$

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שגם

\cos

עולה כמו

\sin

כשהזווית גדלה.

איך מתקנים?

\sin

עולה מ-

0^{\circ}

ל-

90^{\circ}

, אבל

\cos

יורד

! \cos 0^{\circ} = 1, \cos 30^{\circ} ≈ 0.87, \cos 60^{\circ} = 0.5, \cos 90^{\circ} = 0

טעות נפוצה: חושבים ש- $\sin ^{2}\alpha$ פירושו $\sin (\alpha ^{2})$

טעות: $sin^{2} 30° = sin (900°)$

נכון: $sin^{2} 30° = (sin 30°)^{2} = (0.5)^{2} = 0.25$

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים בין העלאה בריבוע של הערך לריבוע של הזווית.

איך מתקנים?

\sin ^{2}\alpha = (\sin \alpha )^{2}

, כלומר מחשבים קודם

\sin \alpha

ואז מעלים בריבוע.

טעות נפוצה: לא משתמשים בפיתגורס כשצריך

טעות: "אי אפשר לחשב sin A כי לא נתון היתר"

נכון: מצאו קודם את היתר: $c = a^{2} + b^{2}$ , ואז חשבו $sin A = a / c$

למה זה קורה?

תלמידים מנסים לחשב יחס טריגונומטרי ללא הצלע השלישית.

איך מתקנים?

אם חסרה צלע — השתמשו קודם בפיתגורס

! a^{2} + b^{2} = c^{2}

טעות נפוצה: כותבים $\sin$ בלי זווית

טעות: $sin = \frac{1}{2}$

נכון: $sin 30° = \frac{1}{2}$

למה זה קורה?

תלמידים כותבים

\sin = 0.5

בלי לציין של איזו זווית.

איך מתקנים?

\sin

הוא פונקציה שמקבלת זווית. תמיד כתבו

\sin \alpha =

... או

\sin 30^{\circ} =

...

טעות נפוצה: מערבבים בין $\tan \alpha$ ל- $\frac{1}{\tan } \alpha$

טעות: $tan A = \frac{A C}{BC}$ (הפוך)

נכון: $tan A = \frac{BC}{A C}$ (נגדי ל-A חלקי סמוך ל-A)

למה זה קורה?

תלמידים מחליפים בין

\tan A

ל-

\tan B

בלי שים לב.

איך מתקנים?

\tan A =

נגדי-ל-

A /

סמוך-ל-A. אם מחליפים את הניצבים, מקבלים

\tan B = \frac{1}{\tan } A

סיכום

שלושת היחסים הטריגונומטריים

סינוס: $sin α = \frac{ניצב נגדי}{יתר}$
קוסינוס: $cos α = \frac{ניצב סמוך}{יתר}$
טנגנס: $tan α = \frac{ניצב נגדי}{ניצב סמוך} = \frac{s i n α}{c o s α}$

זוויות מיוחדות: $sin 30° = \frac{1}{2}$ , $sin 45° = \frac{2}{2}$ , $sin 60° = \frac{3}{2}$

זהות חשובה: $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$

זכרו: SOH-CAH-TOA — חל רק על משולש ישר-זווית!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על היחסים הטריגונומטריים!

הגדרת יחסים טריגונומטריים

הגדרת יחסים טריגונומטריים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

חישוב sin⁡\sinsin במשולש 3−4−53-4-53−4−5

חישוב cos⁡\coscos במשולש 5−12−135-12-135−12−13

חישוב tan⁡\tantan במשולש 8−158-158−15

ערכי sin⁡\sinsin ו-cos⁡\coscos של 30∘30^{\circ}30∘

ערכי sin⁡\sinsin ו-cos⁡\coscos של 45∘45^{\circ}45∘

מציאת cos⁡\coscos מתוך sin⁡\sinsin בעזרת הזהות

מציאת tan⁡\tantan מתוך sin⁡\sinsin

חישוב tan⁡60∘\tan 60^{\circ}tan60∘

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין ניצב נגדי לניצב סמוך

טעות נפוצה: מבלבלים בין sin⁡\sinsin ל-cos⁡\coscos

טעות נפוצה: שוכחים שהיתר תמיד במכנה של sin⁡\sinsin ו-cos⁡\coscos

טעות נפוצה: מבלבלים ערכי 30∘30^{\circ}30∘ ו-60∘60^{\circ}60∘

טעות נפוצה: חושבים ש-tan⁡\tantan תמיד קטן מ-1

טעות נפוצה: שוכחים ש-tan⁡=sin⁡cos⁡\tan = \frac{\sin }{\cos }tan=cossin​

טעות נפוצה: לא מזהים זוויות משלימות

טעות נפוצה: מיישמים טריגונומטריה על משולש שאינו ישר-זווית

טעות נפוצה: מבלבלים את ה-sin⁡\sinsin של הזווית עם הזווית עצמה

טעות נפוצה: חושבים ש-sin⁡(2α)=2⋅sin⁡(α)\sin (2\alpha ) = 2 \cdot \sin (\alpha )sin(2α)=2⋅sin(α)

טעות נפוצה: טעות בזיהוי היתר

טעות נפוצה: שוכחים ש-cos⁡\coscos יורד כשהזווית עולה

טעות נפוצה: חושבים ש-sin⁡2α\sin ^{2}\alphasin2α פירושו sin⁡(α2)\sin (\alpha ^{2})sin(α2)

טעות נפוצה: לא משתמשים בפיתגורס כשצריך

טעות נפוצה: כותבים sin⁡\sinsin בלי זווית

טעות נפוצה: מערבבים בין tan⁡α\tan \alphatanα ל-1tan⁡α\frac{1}{\tan } \alphatan1​α

סיכום

תרגול נוסף

חישוב $\sin$ במשולש $3-4-5$

חישוב $\cos$ במשולש $5-12-13$

חישוב $\tan$ במשולש $8-15$

ערכי $\sin$ ו- $\cos$ של $30^{\circ}$

ערכי $\sin$ ו- $\cos$ של $45^{\circ}$

מציאת $\cos$ מתוך $\sin$ בעזרת הזהות

מציאת $\tan$ מתוך $\sin$

חישוב $\tan 60^{\circ}$

טעות נפוצה: מבלבלים בין $\sin$ ל- $\cos$

טעות נפוצה: שוכחים שהיתר תמיד במכנה של $\sin$ ו- $\cos$

טעות נפוצה: מבלבלים ערכי $30^{\circ}$ ו- $60^{\circ}$

טעות נפוצה: חושבים ש- $\tan$ תמיד קטן מ-1

טעות נפוצה: שוכחים ש- $\tan = \frac{\sin }{\cos }$

טעות נפוצה: מבלבלים את ה- $\sin$ של הזווית עם הזווית עצמה

טעות נפוצה: חושבים ש- $\sin (2\alpha ) = 2 \cdot \sin (\alpha )$

טעות נפוצה: שוכחים ש- $\cos$ יורד כשהזווית עולה

טעות נפוצה: חושבים ש- $\sin ^{2}\alpha$ פירושו $\sin (\alpha ^{2})$

טעות נפוצה: כותבים $\sin$ בלי זווית

טעות נפוצה: מערבבים בין $\tan \alpha$ ל- $\frac{1}{\tan } \alpha$