יישומי טריגונומטריה

מבוא

מה נלמד היום?

זווית גובה (elevation): הזווית בין קו הראייה כלפי מעלה לקו האופק
זווית שקיפה (depression): הזווית בין קו הראייה כלפי מטה לקו האופק
חישוב גבהים: גובה בניין, עץ, מגדל
חישוב מרחקים: מרחק אופקי, אורך חוט/סולם
בעיות מהעולם האמיתי: שיפוע כביש, רמפה, צל, מסלול טיסה

הרעיון המרכזי

זוויות גובה ושקיפה

זווית גובה (elevation): כשמסתכלים למעלה על עצם — הזווית בין קו הראייה לקו האופק.

זווית שקיפה (depression): כשמסתכלים למטה על עצם — הזווית בין קו הראייה לקו האופק.

עובדה חשובה: זווית הגובה מנקודה A לנקודה B = זווית השקיפה מנקודה B לנקודה A (זוויות מתחלפות בין מקבילים).

דפוסים חוזרים:

בעיה	משולש	נוסחה
גובה מתוך מרחק + זווית	מרחק = סמוך, גובה = נגדי	$h = d \cdot tan α$
מרחק מתוך גובה + זווית	גובה = נגדי, מרחק = סמוך	$d = \frac{h}{t a n α}$
סולם/חוט (יתר) + זווית	סולם = יתר	$h = L \cdot sin α$
שיפוע: אורך + זווית	אורך = יתר, עלייה = נגדי	$Δ h = L \cdot sin α$

אל תשכחו: אם המדידה נעשית מגובה העיניים — הוסיפו את גובה המודד!

בדיקה מהירה

מהי זווית הגובה (elevation)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהי זווית השקיפה (depression)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: זווית הגובה מנקודה A לנקודה B שווה לזווית השקיפה מנקודה B לנקודה A

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

גובה בניין — זווית גובה $30^{\circ}$ , מרחק 50 מ'

h = 50 \cdot tan 30° = \frac{50}{3} \approx 28.87 מ’

הכלל: גובה = מרחק · tan(זווית גובה). זהו הדפוס הנפוץ ביותר!

שלב 1 — ציור

אדם עומד במרחק 50 מ' מבניין. זווית הגובה לראש הבניין

= 30^{\circ}

. המשולש: מרחק (סמוך)

= 50

, גובה (נגדי) = ?, זווית

= 30^{\circ}

בדיקה מהירה

באיזה יחס טריגונומטרי נשתמש כדי לחשב גובה עץ כאשר ידועים המרחק מהעץ וזווית הגובה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

אדם עומד במרחק 50 מ' מבניין ורואה את ראש הבניין בזווית גובה של $30^{\circ}$ . מהו גובה הבניין? (עגלו לשתי ספרות, התעלמו מגובה האדם)

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סולם נשען על קיר — זווית $70^{\circ}$ , אורך 6 מ'

h = 6 \cdot sin 70° \approx 5.64 מ’

הכלל: כשהסולם/חוט הוא היתר, גובה = יתר · sin(זווית).

שלב 1 — ציור

סולם (יתר)

= 6

מ'. זווית עם הקרקע

= 70^{\circ}

. מבוקש: הגובה על הקיר

תשובה מספרית

סולם באורך 6 מ' נשען על קיר בזווית של $70^{\circ}$ עם הקרקע. לאיזה גובה מגיע הסולם על הקיר? (עגלו לשתי ספרות)

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

סולם באורך 8 מ' נשען על קיר ומגיע לגובה 7 מ'. מהי הזווית שהסולם יוצר עם הקרקע? (עגלו למספר שלם)

סטייה מותרת: ±1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

מרחק סירה — זווית שקיפה $25^{\circ}$ , גובה מגדל 40 מ'

d = \frac{40}{t a n 25°} \approx 85.80 מ’

הכלל: מרחק = גובה / tan(זווית שקיפה).

שלב 1 — ציור

ממגדל בגובה 40 מ' רואים סירה בזווית שקיפה

25^{\circ}

. מבוקש: מרחק אופקי

תשובה מספרית

ממגדל בגובה 40 מ' רואים סירה בזווית שקיפה של $25^{\circ}$ . מהו המרחק האופקי של הסירה מבסיס המגדל? (עגלו לשתי ספרות)

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

גובה עם תיקון גובה מודד

H = d \cdot tan α + h_{מודד} = 30 \cdot tan 40° + 1.7 \approx 26.87 מ’

חשוב: אל תשכחו להוסיף את גובה המודד (או גובה העיניים) לתוצאה!

שלב 1 — נתונים

אדם (גובה 1.7 מ') עומד 30 מ' מבניין. זווית גובה

= 40^{\circ}

שיפוע כביש — עלייה לאורך 200 מ'

Δ h = L \cdot sin 8° = 200 \cdot sin 8° \approx 27.84 מ’

הכלל: בשיפוע, אורך הדרך הוא היתר ועליית הגובה היא הניצב הנגדי.

שלב 1 — נתונים

כביש בשיפוע

8^{\circ}

לאורך 200 מ'. מבוקש: עליית הגובה

תשובה מספרית

כביש עולה בשיפוע של $8^{\circ}$ . מה עליית הגובה (במטרים) לאורך 200 מ' של כביש? (עגלו לשתי ספרות)

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

צל — מציאת זווית גובה השמש

α = tan^{- 1} (\frac{15}{20}) = tan^{- 1} (0.75) \approx 37°

הכלל: זווית גובה השמש = tan⁻¹(גובה עצם / אורך צל).

שלב 1 — נתונים

עמוד בגובה 15 מ', צל באורך 20 מ'

תשובה מספרית

צל של עמוד בגובה 15 מ' הוא 20 מ'. מהי זווית גובה השמש? (עגלו למספר שלם)

סטייה מותרת: ±1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

עפיפון — גובה מתוך חוט וזווית

h = 100 \cdot sin 55° \approx 81.92 מ’, d = 100 \cdot cos 55° \approx 57.36 מ’

הכלל: כשידוע אורך חוט (יתר) וזווית — sin נותן גובה, cos נותן מרחק אופקי.

שלב 1 — נתונים

חוט עפיפון

= 100

מ' (יתר), זווית עם הקרקע

= 55^{\circ}

שתי ספינות — מרחק ביניהן

d_{2} - d_{1} = \frac{50}{t a n 15°} - \frac{50}{t a n 30°} \approx 186.6 - 86.6 = 100 מ’

הכלל: כשיש שני עצמים באותו כיוון — מחשבים כל מרחק בנפרד ומחסרים.

שלב 1 — נתונים

מגדלור בגובה 50 מ'. ספינה 1 בזווית שקיפה

30^{\circ}

, ספינה 2 בזווית שקיפה

15^{\circ}

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משתמשים ב- $\sin$ במקום $\tan$ לחישוב גובה ממרחק

טעות: גובה = מרחק · sin α

נכון: $h = d \cdot tan α$ (מרחק = סמוך, גובה = נגדי → tan)

למה זה קורה?

תלמידים בוחרים

\sin

כברירת מחדל כשצריך

\tan

איך מתקנים?

כשנתון מרחק אופקי (סמוך) ומבוקש גובה (נגדי) —

\tan ! \sin

מתאים כשנתון היתר.

טעות נפוצה: שוכחים להוסיף את גובה המודד

טעות: גובה בניין = 30 · tan 40° ≈ 25.17 מ'

נכון: גובה בניין = $30 \cdot tan 40° + 1.7 \approx 26.87$ מ'

למה זה קורה?

תלמידים מחשבים את הגובה מעל קו הראייה ושוכחים שהמודד לא בגובה הקרקע.

איך מתקנים?

גובה הבניין = מרחק

\cdot \tan \alpha +

גובה המודד (גובה העיניים).

טעות נפוצה: מבלבלים בין זווית גובה לזווית שקיפה

טעות: "זווית שקיפה 30° — הזווית בין הקרקע לקו הראייה"

נכון: זווית שקיפה = הזווית בין קו האופק לקו הראייה כלפי מטה

למה זה קורה?

תלמידים לא מבחינים בין מבט כלפי מעלה לכלפי מטה.

איך מתקנים?

גובה = מסתכלים למעלה. שקיפה = מסתכלים למטה. שתיהן נמדדות מקו האופק.

טעות נפוצה: כופלים ב- $\tan$ במקום לחלק

טעות: מרחק = 30 · tan 40° ≈ 25.17 מ'

נכון: מרחק = $\frac{30}{t a n 40°} \approx 35.75$ מ'

למה זה קורה?

כשמבוקש מרחק ונתון גובה, תלמידים כופלים ב-

\tan

במקום לחלק.

איך מתקנים?

\tan \alpha = \frac{h}{d}

, לכן

d = \frac{h}{\tan } \alpha (

חילוק!). אם כופלים מקבלים

h \cdot \tan \alpha

שהוא לא המרחק.

טעות נפוצה: משתמשים בסולם כניצב ולא כיתר

טעות: tan 70° = 6/גובה (6 = סולם, כאילו הוא ניצב)

נכון: $sin 70° = \frac{h}{6}$ (6 = סולם = יתר)

למה זה קורה?

תלמידים לא מזהים שהסולם הוא היתר במשולש.

איך מתקנים?

הסולם/חוט הוא תמיד היתר (הצלע הארוכה ביותר). הגובה והמרחק הם הניצבים.

טעות נפוצה: לא מציירים סרטוט לפני הפתרון

טעות: פתרון ללא ציור → בלבול בצלעות

נכון: ציירו משולש ישר-זווית, סמנו נתונים, ואז בחרו יחס

למה זה קורה?

תלמידים קופצים ישר לנוסחה ללא ציור.

איך מתקנים?

תמיד ציירו סרטוט! סמנו את הזווית הישרה, הזווית הנתונה, והצלעות. זה עוזר לזהות נגדי/סמוך/יתר.

טעות נפוצה: מניחים ששיפוע $= \tan$

טעות: עליית גובה = אורך כביש · tan α

נכון: $Δ h = L \cdot sin α$ (L = אורך כביש = יתר)

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים בין אורך הדרך (יתר) למרחק האופקי (סמוך).

איך מתקנים?

אורך הכביש = יתר

. \sin \alpha =

עלייה/אורך כביש

. \tan \alpha =

עלייה/מרחק אופקי.

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: אם שיפוע הגג הוא $45^{\circ}$ , אז הגובה של הגג שווה לחצי מרוחב הבניין

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: שוכחים שזווית שקיפה = זווית גובה

טעות: חושבים שזווית שקיפה וגובה הן שונות בין שתי נקודות

נכון: זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים (קווי אופק) → שוות

למה זה קורה?

תלמידים לא מנצלים את השוויון בין זווית גובה ושקיפה.

איך מתקנים?

זווית הגובה מ-A ל-

B =

זווית השקיפה מ-B ל-A (זוויות מתחלפות).

טעות נפוצה: לא בודקים סבירות תשובה

טעות: "גובה הבניין = 500 מ'" (ללא בדיקה)

נכון: בדקו: האם תוצאה כזו הגיונית? בניין רגיל < 100 מ'

למה זה קורה?

תלמידים מקבלים תוצאה ולא בודקים אם היא הגיונית.

איך מתקנים?

בניין בגובה 500 מ'? מרחק שלילי? סולם קצר מהגובה? — בדקו!

טעות נפוצה: לא מוצאים את הזווית הנכונה במשולש

טעות: חושבים שזווית שקיפה 25° = הזווית במשולש ליד המגדל (שהיא בעצם 65°)

נכון: זווית שקיפה 25° מהאופק → הזווית שמול הבסיס = 25°, ליד המגדל = 65°

למה זה קורה?

בבעיית שקיפה, הזווית ניתנת מקו האופק ולא מהאנך.

איך מתקנים?

זווית שקיפה/גובה נמדדת מקו האופק. זו הזווית שנכנסת ל-

\tan

טעות נפוצה: מחשבים מרחק בין שני עצמים על ידי חיבור

טעות: מרחק בין ספינות = d₁ + d₂

נכון: מרחק בין ספינות = $d_{2} - d_{1}$ (אם באותו כיוון)

למה זה קורה?

כששני עצמים באותו צד, תלמידים מחברים מרחקים במקום לחסר.

איך מתקנים?

אם שני העצמים באותו כיוון — מחסרים:

\Delta d = d_{2} - d_{1}

טעות נפוצה: שוכחים להמיר יחידות

טעות: מרחק = 50 מ', גובה = 200 ס"מ → tan α = 200/50 = 4

נכון: 200 ס"מ = 2 מ'. $tan α = \frac{2}{50} = 0.04$

למה זה קורה?

תלמידים מערבבים סנטימטרים ומטרים.

איך מתקנים?

ודאו שכל הנתונים באותן יחידות לפני החישוב!

טעות נפוצה: חושבים שצל = גובה כשהשמש ב- $45^{\circ}$

טעות: "צל תמיד שווה לגובה"

נכון: צל = h/tan α. רק כש-α = 45°: צל = h/1 = h

למה זה קורה?

תלמידים מכלילים: רק ב-

45^{\circ}

הצל = הגובה.

איך מתקנים?

צל = גובה רק כש-

\tan \alpha = 1

, כלומר

\alpha = 45^{\circ}

. בכל זווית אחרת הם שונים.

טעות נפוצה: מבלבלים אורך דרך עם מרחק אופקי

טעות: מרחק אופקי = 200 מ' (אורך הכביש)

נכון: מרחק אופקי = $200 \cdot cos 8° \approx 198.06$ מ' (קצת פחות מאורך הכביש)

למה זה קורה?

בבעיות שיפוע, תלמידים לא מבחינים בין אורך הכביש למרחק האופקי.

איך מתקנים?

אורך הכביש = יתר. מרחק אופקי = ניצב סמוך. הם שונים!

טעות נפוצה: לא מזהים שצריך שני משולשים

טעות: מנסים לפתור בעיית שני צופים עם משולש אחד

נכון: בנו שני משולשים, רשמו שתי משוואות tan, ופתרו מערכת

למה זה קורה?

בבעיות עם שני צופים או שתי נקודות, תלמידים מנסים לפתור עם משולש אחד.

איך מתקנים?

כשיש שני צופים/נקודות — בנו שני משולשים ישרי-זווית ושלבו את המשוואות.

טעות נפוצה: שיפוע אחוזי ≠ זווית

טעות: שיפוע 10% = זווית 10°

נכון: שיפוע 10% → $α = tan^{- 1} (0.1) \approx 5.7°$

למה זה קורה?

תלמידים חושבים ששיפוע

10\% =

זווית

10^{\circ}

איך מתקנים?

שיפוע

10\% = \tan \alpha = 0.1

, לכן

\alpha = \tan ^{-1}(0.1) ≈ 5.7^{\circ} (

לא

10^{\circ}!)

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: שיפוע של 100% פירושו זווית של $45^{\circ}$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

סיכום יישומי טריגונומטריה

זווית גובה — מבט כלפי מעלה מקו האופק זווית שקיפה — מבט כלפי מטה מקו האופק

נוסחאות עיקריות:

גובה: $h = d \cdot tan α$
מרחק: $d = \frac{h}{t a n α}$
גובה מיתר (סולם/חוט): $h = L \cdot sin α$
שיפוע: $Δ h = L \cdot sin α$

שלבי פתרון:

ציירו סרטוט וסמנו נתונים
זהו את המשולש הישר-זווית
זהו נגדי/סמוך/יתר ביחס לזווית
בחרו יחס מתאים ופתרו
אל תשכחו לתקן לגובה המודד (אם צריך)
בדקו סבירות!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על יישומי טריגונומטריה!

יישומי טריגונומטריה

יישומי טריגונומטריה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

גובה בניין — זווית גובה 30∘30^{\circ}30∘, מרחק 50 מ'

סולם נשען על קיר — זווית 70∘70^{\circ}70∘, אורך 6 מ'

מרחק סירה — זווית שקיפה 25∘25^{\circ}25∘, גובה מגדל 40 מ'

גובה עם תיקון גובה מודד

שיפוע כביש — עלייה לאורך 200 מ'

צל — מציאת זווית גובה השמש

עפיפון — גובה מתוך חוט וזווית

שתי ספינות — מרחק ביניהן

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משתמשים ב-sin⁡\sinsin במקום tan⁡\tantan לחישוב גובה ממרחק

טעות נפוצה: שוכחים להוסיף את גובה המודד

טעות נפוצה: מבלבלים בין זווית גובה לזווית שקיפה

טעות נפוצה: כופלים ב-tan⁡\tantan במקום לחלק

טעות נפוצה: משתמשים בסולם כניצב ולא כיתר

טעות נפוצה: לא מציירים סרטוט לפני הפתרון

טעות נפוצה: מניחים ששיפוע =tan⁡= \tan=tan

טעות נפוצה: שוכחים שזווית שקיפה = זווית גובה

טעות נפוצה: לא בודקים סבירות תשובה

טעות נפוצה: לא מוצאים את הזווית הנכונה במשולש

טעות נפוצה: מחשבים מרחק בין שני עצמים על ידי חיבור

טעות נפוצה: שוכחים להמיר יחידות

טעות נפוצה: חושבים שצל = גובה כשהשמש ב-45∘45^{\circ}45∘

טעות נפוצה: מבלבלים אורך דרך עם מרחק אופקי

טעות נפוצה: לא מזהים שצריך שני משולשים

טעות נפוצה: שיפוע אחוזי ≠ זווית

סיכום

תרגול נוסף

גובה בניין — זווית גובה $30^{\circ}$ , מרחק 50 מ'

סולם נשען על קיר — זווית $70^{\circ}$ , אורך 6 מ'

מרחק סירה — זווית שקיפה $25^{\circ}$ , גובה מגדל 40 מ'

טעות נפוצה: משתמשים ב- $\sin$ במקום $\tan$ לחישוב גובה ממרחק

טעות נפוצה: כופלים ב- $\tan$ במקום לחלק

טעות נפוצה: מניחים ששיפוע $= \tan$

טעות נפוצה: חושבים שצל = גובה כשהשמש ב- $45^{\circ}$