צורת קודקוד של פרבולה $f (x) = a (x - p)^{2} + k$

מבוא

מה נלמד היום?

לזהות את הקודקוד (p, k) מצורת הקודקוד
לזהות את ציר הסימטריה x=p
לתאר הזזות אופקיות ואנכיות של הפרבולה ביחס ל- $g (x) = x^{2}$
לכתוב משוואת פרבולה בצורת קודקוד כאשר ידועים הקודקוד ונקודה נוספת

הרעיון המרכזי

צורת הקודקוד

הפונקציה $f (x) = a (x - p)^{2} + k$ נקראת צורת הקודקוד כי ניתן לקרוא ממנה ישירות:

קודקוד: (p, k)
ציר סימטריה: x = p
כיוון פתיחה: a > 0 למעלה, a < 0 למטה

ההזזות ביחס ל- $g (x) = a x^{2}$ :

p > 0: הזזה p יחידות ימינה
p < 0: הזזה |p| יחידות שמאלה
k > 0: הזזה k יחידות למעלה
k < 0: הזזה |k| יחידות למטה

דוגמה 1: זיהוי קודקוד ישיר

מצאו את הקודקוד של $f(x)=(x-3)^{2}+2$

f (x) = (x - 3)^{2} + 2

הפרבולה היא $x^{2}$ שהוזזה 3 ימינה ו-2 למעלה.

שלב 1 — מזהים את הצורה

f(x) = a(x-p)^{2}+k

, כאשר

a=1, p=3, k=2

דוגמה 2: כשיש סימן + בסוגריים

מצאו את הקודקוד של $f(x)=(x+4)^{2}-1$

f (x) = (x + 4)^{2} - 1 = (x - (- 4))^{2} + (- 1)

חשוב: כאשר רואים (x+4), זה אומר p=-4 (הזזה 4 שמאלה, לא ימינה!).

שלב 1 — כתיבה מחדש

(x+4) = (x-(-4))

, לכן

p=-4

בדיקה מהירה

מהו ציר הסימטריה של הפרבולה $f(x)=(x+1)^{2}-5$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: תיאור הזזות

תארו את ההזזות של $f(x)=(x-2)^{2}+3$ ביחס ל- $g(x)=x^{2}$

הקודקוד עבר מ-(0,0) ל-(2,3).

כלל הזכירה:

(x-p): מינוס = ימינה (הפוך מהצפוי!)
+k: פלוס = למעלה (כצפוי)

שלב 1 — מזהים p ו-k

p=2 (

הזזה אופקית)

, k=3 (

הזזה אנכית)

בדיקה מהירה

מהו הקודקוד של הפרבולה $f(x)=(x-3)^{2}+2$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

אילו הזזות יש בפונקציה $f(x)=(x+3)^{2}-1$ ביחס ל- $g(x)=x^{2}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: הזזה עם מקדם

תארו את $f(x)=-2(x-1)^{2}+5$ ביחס ל- $g(x)=-2x^{2}$

f (x) = - 2 (x - 1)^{2} + 5

הפרבולה הפוכה (a<0), צרה, קודקוד ב-(1, 5).

שלב 1 — המקדם

a=-2:

הפרבולה פתוחה כלפי מטה, צרה יותר מ-

x^{2}

בדיקה מהירה

הפונקציה $f(x)=-(x-4)^{2}+10$ מתקבלת מ- $g(x)=-x^{2}$ על ידי:

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: חישוב ערכי פונקציה

חשבו $f(0)$ עבור $f(x)=(x-1)^{2}+3$

f (0) = (0 - 1)^{2} + 3 = 1 + 3 = 4

זוהי נקודת החיתוך עם ציר y: (0, 4).

שלב 1 — מציבים $x=0$

f(0) = (0-1)^{2}+3

בדיקה מהירה

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הקודקוד של $f(x)=(x+4)^{2}$ הוא $(4, 0)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

הפונקציה $f(x)=(x-2)^{2}+3$ מתקבלת מהפונקציה $g(x)=x^{2}$ על ידי:

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חשבו: $f(5)$ עבור $f(x)=(x-2)^{2}+1$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 6: כתיבת משוואה מקודקוד

כתבו משוואת פרבולה עם קודקוד $(-1, 4)$ ומקדם $a=1$

f (x) = (x - (- 1))^{2} + 4 = (x + 1)^{2} + 4

בדיקה: בקודקוד x=-1: f(-1) = 0 + 4 = 4 ✓

שלב 1 — הצבה בנוסחה

f(x) = a(x-p)^{2}+k = 1 \cdot (x-(-1))^{2}+4

בדיקה מהירה

כתבו את משוואת הפרבולה שקודקודה $(-1, 4)$ ומקדמה $a=1$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 7: מציאת a מקודקוד ונקודה

פרבולה עם קודקוד $(-2, 5)$ עוברת דרך $(0, 9)$ . מצאו את a

9 = a (0 + 2)^{2} + 5 = 4 a + 5

4 a = 4 \Rightarrow a = 1

המשוואה: $f (x) = (x + 2)^{2} + 5$

שלב 1 — כותבים עם a לא ידוע

f(x) = a(x+2)^{2}+5

דוגמה 8: טווח בצורת קודקוד

מצאו את הטווח של $f(x)=-2(x-1)^{2}+6$

כלל:

a > 0: טווח = $y \geq k$ (מינימום ב-k)
a < 0: טווח = $y \leq k$ (מקסימום ב-k)

שלב 1 — סימן a

a=-2<0

, הפרבולה פתוחה כלפי מטה

בדיקה מהירה

מהו הערך המינימלי של $f(x)=(x+2)^{2}-7$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: ציר הסימטריה של $f(x)=3(x-5)^{2}+2$ הוא $x=5$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $f(x)=2(x-1)^{2}+5$ וג $' f(x)=(x-1)^{2}+5$ הן פרבולות עם אותו קודקוד.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בסימן $p: (x+3) → p=3$ במקום $p=-3$

טעות: ״ $f (x) = (x + 3)^{2}$ , לכן הקודקוד הוא (3, 0)״

נכון: (x+3) = (x-(-3)), לכן p=-3 והקודקוד הוא (-3, 0).

למה זה קורה?

תלמידים קוראים את המספר מהסוגריים ישירות, בלי לשים לב לסימן.

איך מתקנים?

(x+3) = (x-(-3))

, לכן

p=-3

! תמיד כתבו בצורה

(x-p)

כדי לזהות את p.

טעות נפוצה: הזזה ימינה כשצריך שמאלה (ולהפך)

טעות: ״ $f (x) = (x - 5)^{2}$ — הפרבולה הוזזה 5 שמאלה״

נכון: p=5 — הפרבולה הוזזה 5 ימינה. הקודקוד ב-(5, 0).

למה זה קורה?

תלמידים לא מבינים שההזזה האופקית הפוכה מהסימן בסוגריים.

איך מתקנים?

(x-p): p

חיובי = ימינה, p שלילי = שמאלה. הסימן בסוגריים הפוך!

טעות נפוצה: בלבול בין הזזה אנכית לאופקית

ב- $f (x) = (x - 3)^{2} + 7$ :

p=3 → הזזה אופקית (3 ימינה)
k=7 → הזזה אנכית (7 למעלה)

למה זה קורה?

תלמידים מתבלבלים איזה מספר אחראי לאיזו הזזה.

איך מתקנים?

p (בתוך הסוגריים) = הזזה אופקית. k (מחוץ לסוגריים) = הזזה אנכית.

טעות נפוצה: שכחה שהמקדם a לא משפיע על מיקום הקודקוד

טעות: ״ל- $f (x) = 2 (x - 1)^{2} + 3$ ול- $g (x) = (x - 1)^{2} + 3$ קודקודים שונים״

נכון: לשתיהן אותו קודקוד: (1, 3). ההבדל רק ברוחב.

למה זה קורה?

תלמידים חושבים ש-a משנה את הקודקוד.

איך מתקנים?

a משפיע על כיוון ורוחב בלבד. הקודקוד (p, k) נקבע רק על ידי p ו-k.

טעות נפוצה: חישוב שגוי: $(x-p)^{2}$ כ- $x^{2}-p^{2}$

טעות: $(x - 3)^{2} = x^{2} - 9$

נכון: $(x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x + 9$

זכרו: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

למה זה קורה?

תלמידים מפשטים את הסוגריים לא נכון.

איך מתקנים?

(x-p)^{2} = x^{2}-2px+p^{2}

, לא

x^{2}-p^{2}

טעות נפוצה: חשיבה שהקודקוד תמיד על ציר x

דוגמה: $f (x) = (x - 1)^{2} + 5$ — קודקוד (1, 5), גבוה מעל ציר x.

למה זה קורה?

בפרבולה הבסיסית

f(x)=x^{2}

הקודקוד

(0,0)

על ציר x, ותלמידים מכלילים.

איך מתקנים?

הקודקוד (p, k) יכול להיות בכל מקום במישור — מעל, על, או מתחת לציר x.

טעות נפוצה: בלבול בין ערך מינימלי למקסימלי

טעות: ״הערך המינימלי של $f (x) = - (x - 2)^{2} + 10$ הוא 10״

נכון: a=-1 < 0, לכן 10 הוא הערך המקסימלי, לא המינימלי.

למה זה קורה?

תלמידים לא שמים לב לסימן a.

איך מתקנים?

a>0 → k

הוא ערך מינימלי

. a<0 → k

הוא ערך מקסימלי.

טעות נפוצה: שכחה לחשב את ההפרש בסוגריים

טעות: $f (5) = 5^{2} + 1 = 26$ עבור $f (x) = (x - 2)^{2} + 1$

נכון: $f (5) = (5 - 2)^{2} + 1 = 9 + 1 = 10$

למה זה קורה?

תלמידים מציבים x ישירות בלי לחסר p.

איך מתקנים?

f(x) = (x-p)^{2}+k

. כשמציבים

x=a

, חשבו קודם

(a-p)

טעות נפוצה: חשיבה שהזזה ימינה = חיבור בסוגריים

לזכור: הזזה ימינה ב-3 → $(x - 3)^{2}$ (מינוס!)

הזזה שמאלה ב-3 → $(x + 3)^{2} = (x - (- 3))^{2}$ (פלוס!)

למה זה קורה?

אינטואיציה: 'ימינה' = 'חיובי' = 'חיבור'. אבל הסוגריים עובדים הפוך.

איך מתקנים?

הזזה p ימינה

→ (x-p)

. הזזה שמאלה

→ (x+|p|)=(x-(-|p|))

טעות נפוצה: חישוב f(p) שגוי

נכון: בצורת קודקוד, f(p) = k תמיד. זוהי נקודת הקודקוד!

למה זה קורה?

תלמידים לא מבינים ש-

f(p) = k

איך מתקנים?

בקודקוד

x=p: f(p) = a(p-p)^{2}+k = a \cdot 0+k = k

טעות נפוצה: בלבול בין הצורה $f(x)=x^{2}+k$ לבין $f(x)=(x-k)^{2}$

$x^{2} + 3$ : הזזה 3 למעלה. קודקוד: (0, 3).

$(x - 3)^{2}$ : הזזה 3 ימינה. קודקוד: (3, 0).

למה זה קורה?

שני השינויים נראים דומים אבל עושים דברים שונים.

איך מתקנים?

x^{2}+k =

הזזה אנכית ב-

k. (x-k)^{2} =

הזזה אופקית ב-k.

טעות נפוצה: חשיבה שכל פרבולה חותכת את ציר x

דוגמה: $f (x) = (x - 2)^{2} + 4$

הערך המינימלי הוא 4 > 0, לכן אין חיתוך עם ציר x.

למה זה קורה?

תלמידים זוכרים שלמשוואה ריבועית יש שני פתרונות.

איך מתקנים?

אם הקודקוד מעל ציר x ו-

a>0

, הפרבולה לא חותכת את ציר x.

טעות נפוצה: בלבול בכתיבת משוואה: $x-(-p) = x-p$

קודקוד ב-(-3, 2):

f (x) = (x - (- 3))^{2} + 2 = (x + 3)^{2} + 2

לא $(x - 3)^{2} + 2$ !

למה זה קורה?

מינוס של מינוס מבלבל.

איך מתקנים?

x-(-3) = x+3

. תמיד הורידו סוגריים בזהירות.

טעות נפוצה: בלבול בין $a(x-p)^{2}$ ל- $(a(x-p))^{2}$

- 2 (x - 1)^{2} = - 2 \cdot (x - 1)^{2}

לא: $(- 2 (x - 1))^{2} = 4 (x - 1)^{2}$

למה זה קורה?

תלמידים לא יודעים על מה a כופל.

איך מתקנים?

a כופל את כל הריבוע:

a \cdot (x-p)^{2}

. לא

(a \cdot (x-p))^{2} = a^{2}(x-p)^{2}

טעות נפוצה: חשיבה שהזזות תמיד שומרות על חיתוך עם ציר y באותו מקום

$f (x) = x^{2}$ : f(0)=0

$g (x) = (x - 3)^{2}$ : g(0)=9 (לא 0!)

למה זה קורה?

תלמידים לא מבינים שהזזה אופקית משנה את חיתוך ציר y.

איך מתקנים?

חיתוך עם ציר

y = f(0)

. חשבו

f(0)

מחדש לכל פונקציה.

טעות נפוצה: טעות במעבר מצורה כללית לצורת קודקוד

$f (x) = x^{2} + 6 x + 5$ : קודקוד $x_{0} = - 3$ , $y_{0} = 9 - 18 + 5 = - 4$

f (x) = (x + 3)^{2} - 4

למה זה קורה?

תלמידים עושים שגיאות בהשלמה לריבוע.

איך מתקנים?

בצורה

f(x)=ax^{2}+bx+c

, הקודקוד הוא

x_{0}=-\frac{b}{2a}

. חשבו

y_{0}=f(x_{0})

ואז

f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}

בדיקה מהירה

מהו הטווח של $f(x)=-2(x-1)^{2}+6$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הפרבולה $f(x)=(x-2)^{2}+4$ חותכת את ציר x.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $f(x)=(x-3)^{2}-9$ חותכת את ציר x.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

לאיזה כיוון פתוחה הפרבולה $f(x)=-3(x-2)^{2}+5$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הפונקציה $f(x)=x^{2}-6$ שקולה להזזה של $g(x)=x^{2}$ כ-6 יחידות למטה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

סיכום: צורת הקודקוד $f(x)=a(x-p)^{2}+k$

מהנוסחה קוראים ישירות:

פרמטר	משמעות
a	כיוון ורוחב (a>0 למעלה, a<0 למטה)
p	הזזה אופקית (ערך x של הקודקוד)
k	הזזה אנכית (ערך y של הקודקוד)
(p, k)	הקודקוד
x = p	ציר הסימטריה

הטווח:

a > 0: $y \geq k$
a < 0: $y \leq k$

ההזזות ביחס ל- $g (x) = a x^{2}$ :

p > 0: ימינה | p < 0: שמאלה
k > 0: למעלה | k < 0: למטה

צורת קודקוד של פרבולה f(x)=a(x−p)²+k

צורת קודקוד של פרבולה f(x)=a(x−p)2+k

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמה 1: זיהוי קודקוד ישיר

מצאו את הקודקוד של f(x)=(x−3)2+2f(x)=(x-3)^{2}+2f(x)=(x−3)2+2

דוגמה 2: כשיש סימן + בסוגריים

מצאו את הקודקוד של f(x)=(x+4)2−1f(x)=(x+4)^{2}-1f(x)=(x+4)2−1

בדיקה מהירה

דוגמה 3: תיאור הזזות

תארו את ההזזות של f(x)=(x−2)2+3f(x)=(x-2)^{2}+3f(x)=(x−2)2+3 ביחס ל-g(x)=x2g(x)=x^{2}g(x)=x2

דוגמה 4: הזזה עם מקדם

תארו את f(x)=−2(x−1)2+5f(x)=-2(x-1)^{2}+5f(x)=−2(x−1)2+5 ביחס ל-g(x)=−2x2g(x)=-2x^{2}g(x)=−2x2

דוגמה 5: חישוב ערכי פונקציה

חשבו f(0)f(0)f(0) עבור f(x)=(x−1)2+3f(x)=(x-1)^{2}+3f(x)=(x−1)2+3

בדיקה מהירה

דוגמה 6: כתיבת משוואה מקודקוד

כתבו משוואת פרבולה עם קודקוד (−1,4)(-1, 4)(−1,4) ומקדם a=1a=1a=1

דוגמה 7: מציאת a מקודקוד ונקודה

פרבולה עם קודקוד (−2,5)(-2, 5)(−2,5) עוברת דרך (0,9)(0, 9)(0,9). מצאו את a

דוגמה 8: טווח בצורת קודקוד

מצאו את הטווח של f(x)=−2(x−1)2+6f(x)=-2(x-1)^{2}+6f(x)=−2(x−1)2+6

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בסימן p:(x+3)→p=3p: (x+3) → p=3p:(x+3)→p=3 במקום p=−3p=-3p=−3

טעות נפוצה: הזזה ימינה כשצריך שמאלה (ולהפך)

טעות נפוצה: בלבול בין הזזה אנכית לאופקית

טעות נפוצה: שכחה שהמקדם a לא משפיע על מיקום הקודקוד

טעות נפוצה: חישוב שגוי: (x−p)2(x-p)^{2}(x−p)2 כ-x2−p2x^{2}-p^{2}x2−p2

טעות נפוצה: חשיבה שהקודקוד תמיד על ציר x

טעות נפוצה: בלבול בין ערך מינימלי למקסימלי

טעות נפוצה: שכחה לחשב את ההפרש בסוגריים

טעות נפוצה: חשיבה שהזזה ימינה = חיבור בסוגריים

טעות נפוצה: חישוב f(p) שגוי

טעות נפוצה: בלבול בין הצורה f(x)=x2+kf(x)=x^{2}+kf(x)=x2+k לבין f(x)=(x−k)2f(x)=(x-k)^{2}f(x)=(x−k)2

טעות נפוצה: חשיבה שכל פרבולה חותכת את ציר x

טעות נפוצה: בלבול בכתיבת משוואה: x−(−p)=x−px-(-p) = x-px−(−p)=x−p

טעות נפוצה: בלבול בין a(x−p)2a(x-p)^{2}a(x−p)2 ל-(a(x−p))2(a(x-p))^{2}(a(x−p))2

טעות נפוצה: חשיבה שהזזות תמיד שומרות על חיתוך עם ציר y באותו מקום

טעות נפוצה: טעות במעבר מצורה כללית לצורת קודקוד

בדיקה מהירה

בדיקה מהירה

סיכום

צורת קודקוד של פרבולה $f (x) = a (x - p)^{2} + k$

מצאו את הקודקוד של $f(x)=(x-3)^{2}+2$

מצאו את הקודקוד של $f(x)=(x+4)^{2}-1$

תארו את ההזזות של $f(x)=(x-2)^{2}+3$ ביחס ל- $g(x)=x^{2}$

תארו את $f(x)=-2(x-1)^{2}+5$ ביחס ל- $g(x)=-2x^{2}$

חשבו $f(0)$ עבור $f(x)=(x-1)^{2}+3$

כתבו משוואת פרבולה עם קודקוד $(-1, 4)$ ומקדם $a=1$

פרבולה עם קודקוד $(-2, 5)$ עוברת דרך $(0, 9)$ . מצאו את a

מצאו את הטווח של $f(x)=-2(x-1)^{2}+6$

טעות נפוצה: בלבול בסימן $p: (x+3) → p=3$ במקום $p=-3$

טעות נפוצה: חישוב שגוי: $(x-p)^{2}$ כ- $x^{2}-p^{2}$

טעות נפוצה: בלבול בין הצורה $f(x)=x^{2}+k$ לבין $f(x)=(x-k)^{2}$

טעות נפוצה: בלבול בכתיבת משוואה: $x-(-p) = x-p$

טעות נפוצה: בלבול בין $a(x-p)^{2}$ ל- $(a(x-p))^{2}$