שינוי נושא בנוסחה וחישובי אחוזים

מבוא

הצעות מחיר וחשבונות רבים נכתבים כנוסחה המקשרת בין כמה גדלים: תשלום עבור צבע כפונקציה של מספר החדרים ומחירי הצבע, חשבון חשמל כפונקציה של הצריכה, מחיר אחרי הנחה כפונקציה של המחיר המקורי. בשיעור זה נלמד שלוש מיומנויות: לזהות מה כל משתנה מייצג, להציב כדי למצוא ערך חסר (לעיתים בפתרון משוואה), ולשנות את "נושא" הנוסחה כדי לבטא משתנה אחד באמצעות האחרים. בנוסף נחזק את חישובי האחוזים, ובמיוחד אחוז שינוי במחיר.

מטרות השיעור

לזהות את משמעות כל משתנה בנוסחה פיננסית
למצוא ערך של משתנה חסר על ידי הצבה ופתרון משוואה
לבטא משתנה אחד באמצעות האחרים — שינוי נושא נוסחה
לחשב אחוז מתוך שלם ואחוז שינוי (הנחה או התייקרות) במחיר

הרעיון המרכזי

שינוי נושא נוסחה

"נושא" הנוסחה הוא המשתנה המבודד באגף אחד. כדי לשנות נושא מבצעים את אותה פעולה הפוכה על שני האגפים, בסדר הנכון:

קודם מחסרים את האיבר הקבוע, ורק אז מחלקים במקדם.
כשהמשתנה מוכפל בכמה גורמים (למשל 7n) — מחלקים בכל הגורמים יחד.
הפעולה ההפוכה חלה על האגף כולו, לא על איבר בודד.

אחוז שינוי במחיר

הנחה של p%: המחיר החדש הוא $(100 - p) %$ מהמקורי, כלומר מכפילים ב- $\frac{100 - p}{100}$ .
התייקרות של p%: מכפילים ב- $\frac{100 + p}{100}$ .
אפשר תמיד גם לחשב את גובה השינוי בש״ח ולחסר או להוסיף אותו למחיר המקורי.

לאורך השיעור נשתמש בשתי נוסחאות אותנטיות:

צביעת חדרים: M = n(7x + 15y) — M התשלום הכולל לצבע, n מספר החדרים, x מחיר ליטר צבע לתקרה, y מחיר ליטר צבע לקירות.

חשבון חשמל: C = 0.4E + 25 — C בש״ח, E בקילוואט-שעה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי משתנים והצבה

לפי $M = n(7x + 15y)$ , כמה עולה צבע לחדר אחד כש- $x = 10, y = 15$ ?

M = 1 \cdot (7 \cdot 10 + 15 \cdot 15) = 295

שלב 1 — מזהים

n = 1 (

חדר אחד)

, x = 10 (

תקרה)

, y = 15 (

קירות).

בדיקה מהירה

התשלום עבור צבע לצביעת n חדרים זהים נתון בנוסחה $M = n(7x + 15y)$ , כאשר x הוא המחיר לליטר צבע לתקרה ו-y המחיר לליטר צבע לקירות. מה מייצג המשתנה M בנוסחה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

לפי הנוסחה $M = n(7x + 15y)$ , קבלן הציע מחיר לליטר צבע לתקרה $x = 10$ ש"ח ולליטר צבע לקירות $y = 15$ ש"ח. מהו התשלום M עבור צביעת חדר אחד $(n = 1)$ , בש"ח?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מציאת משתנה חסר בפתרון משוואה

בחשבון החשמל $C = 0.4E + 25$ , החשבון הוא 65 ש״ח. מהי הצריכה E?

E = \frac{65 - 25}{0.4} = 100

שלב 1 — מציבים

65 = 0.4E + 25

תשובה מספרית

לפי הנוסחה $C = 0.4E + 25 (C$ בש"ח, E בקילוואט-שעה), בחודש מסוים היה החשבון 65 ש"ח. כמה קילוואט-שעה נצרכו (E)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: שינוי נושא נוסחה (משתנה לינארי)

בטאו את E באמצעות C בנוסחה $C = 0.4E + 25$

$E = \frac{C - 25}{0.4}$ — קודם מחסרים 25, ורק אז מחלקים את כל המונה ב-0.4.

שלב 1 — מחסרים את האיבר הקבוע

C - 25 = 0.4E

דוגמה 4: חישוב הנחה באחוזים

טלפון עלה 2,000 ש״ח וירד ב-15%. מהו המחיר החדש?

$0.85 \cdot 2000 = 1700$ — אחוז ההנחה אינו המחיר הסופי!

שלב 1 — מחשבים את ההנחה

15% מתוך

2{,}000 = 0.15 \cdot 2{,}000 = 300

ש״ח.

דוגמה 5: שינוי נושא עם מכפלה וסוגריים

בטאו את x באמצעות M, n ו-y בנוסחה $M = n(7x + 15y)$

$x = \frac{M - 15 n y}{7 n}$ — מחלקים בשני הגורמים יחד (7 וגם n).

שלב 1 — פותחים סוגריים

M = 7nx + 15ny

תשובה מספרית

לפי הנוסחה $M = n(7x + 15y)$ , צובעים 10 חדרים $(n = 10)$ . המחיר לליטר צבע לתקרה הוא $x = 10$ ש"ח, והתשלום הכולל היה $M = 2{,}650$ ש"ח. מהו המחיר לליטר צבע לקירות (y), בש"ח?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבצעים פעולה הפוכה על חלק מהאגף בלבד

$E = \frac{C - 25}{0.4}$ , ולא $\frac{C}{0.4} - 25$ .

למה זה קורה?

מחלקים רק איבר אחד במקדם במקום את כל האגף (כל המונה).

איך מתקנים?

הפעולה ההפוכה חלה על האגף כולו. כשמחלקים ב-0.4, מחלקים את כל

(C - 25)

, לא רק את C.

טעות נפוצה: סדר שגוי של הפעולות ההפוכות

ב-C = 0.4E + 25: קודם C - 25, ואז חלוקה ב-0.4.

למה זה קורה?

מחלקים במקדם לפני שמחסרים את האיבר הקבוע.

איך מתקנים?

ראשית מחסרים את האיבר הקבוע

(25)

, ורק אחר כך מחלקים במקדם

(0.4)

טעות נפוצה: אחוז ההנחה הוא המחיר הסופי

המחיר החדש הוא 2000 - 300 = 1700 ש״ח, ולא 300 ש״ח.

למה זה קורה?

מחשבים 15% מתוך 2,000 ומדווחים 300 ש״ח כמחיר החדש.

איך מתקנים?

15% הם גובה ההנחה בלבד. את ההנחה מחסרים מהמחיר המקורי, או מכפילים ב-85%.

טעות נפוצה: שוכחים לחלק בכל הגורמים

מ-7nx = M - 15ny מקבלים $x = \frac{M - 15 n y}{7 n}$ , מחלקים ב-7 וגם ב-n.

למה זה קורה?

כשהמשתנה מוכפל בכמה גורמים

(7n)

, מחלקים רק באחד מהם.

איך מתקנים?

כשהמשתנה מוכפל ב-7 וגם ב-n, מחלקים את האגף בכל הגורם 7n.

סיכום

מה למדנו?

שינוי נושא בנוסחה וחישובי אחוזים:

זיהוי משתנים — קוראים מה כל אות מייצגת ובאילו יחידות.
הצבה — מציבים ערכים ידועים ומחשבים את החסר; לעיתים פותרים משוואה.
שינוי נושא — פעולה הפוכה על שני האגפים, בסדר הנכון: קודם חיסור, אחר כך חלוקה, ותמיד על האגף כולו.
כשהמשתנה מוכפל בכמה גורמים — מחלקים בכולם יחד.
אחוז שינוי: הנחה של p% פירושה מכפילים ב- $\frac{100 - p}{100}$ ; אחוז ההנחה אינו המחיר הסופי.

עכשיו אתם יודעים לקרוא נוסחה פיננסית, לשנות את נושאה ולחשב אחוזי שינוי!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על שינוי נושא בנוסחה וחישובי אחוזים!

שינוי נושא בנוסחה וחישובי אחוזים

שינוי נושא בנוסחה וחישובי אחוזים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי משתנים והצבה

לפי M=n(7x+15y)M = n(7x + 15y)M=n(7x+15y), כמה עולה צבע לחדר אחד כש-x=10,y=15x = 10, y = 15x=10,y=15?

דוגמה 2: מציאת משתנה חסר בפתרון משוואה

בחשבון החשמל C=0.4E+25C = 0.4E + 25C=0.4E+25, החשבון הוא 65 ש״ח. מהי הצריכה E?

דוגמה 3: שינוי נושא נוסחה (משתנה לינארי)

בטאו את E באמצעות C בנוסחה C=0.4E+25C = 0.4E + 25C=0.4E+25

דוגמה 4: חישוב הנחה באחוזים

טלפון עלה 2,000 ש״ח וירד ב-15%. מהו המחיר החדש?

דוגמה 5: שינוי נושא עם מכפלה וסוגריים

בטאו את x באמצעות M, n ו-y בנוסחה M=n(7x+15y)M = n(7x + 15y)M=n(7x+15y)

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבצעים פעולה הפוכה על חלק מהאגף בלבד

טעות נפוצה: סדר שגוי של הפעולות ההפוכות

טעות נפוצה: אחוז ההנחה הוא המחיר הסופי

טעות נפוצה: שוכחים לחלק בכל הגורמים

סיכום

תרגול נוסף

לפי $M = n(7x + 15y)$ , כמה עולה צבע לחדר אחד כש- $x = 10, y = 15$ ?

בחשבון החשמל $C = 0.4E + 25$ , החשבון הוא 65 ש״ח. מהי הצריכה E?

בטאו את E באמצעות C בנוסחה $C = 0.4E + 25$

בטאו את x באמצעות M, n ו-y בנוסחה $M = n(7x + 15y)$