ל

משוואת הישר y = ax + b והגרף שלה

30%
📖שיעור
50 דקות

משוואת הישר y = ax + b והגרף שלה

בשיעור זה נעבור בין הייצוגים של מודל ליניארי: נפרש את a ואת b במשוואה y=ax+by = ax + b, נתאים גרף למשוואתו, נמצא משוואת ישר מתוך גרף נתון ונסרטט ישר על פי משוואתו — הכול בהקשרים פיננסיים בשקלים.

משוואת הישר y = ax + b והגרף שלה

מבוא

מטרות השיעור

  • לפרש את הפרמטרים a ו-b במשוואה y = ax + b
  • להתאים גרף נתון למשוואה הנכונה לפי השיפוע והחותך
  • למצוא את משוואת הישר מתוך גרף (קריאת החותך וחישוב השיפוע)
  • לסרטט ישר על פי משוואתו, בעזרת החותך וקצב השינוי

הרעיון המרכזי

שלושת הייצוגים של מודל ליניארי

אותו מצב כלכלי אפשר להציג בשלוש דרכים:

  • מילולי — "סכום קבוע התחלתי ועוד תעריף לכל יחידה"
  • אלגברי — y = ax + b
  • גרפי — קו ישר במערכת צירים

הקשר בין הפרמטרים לגרף:

  • b הוא גובה החיתוך עם ציר ה-y (הנקודה (0, b))
  • a הוא השיפוע: על כל צעד אחד ימינה ב-x, הישר עולה ב-a ב-y

מציאת משוואה מתוך גרף: קוראים את b מנקודת החיתוך עם ציר ה-y, ומחשבים בין שתי נקודות.

סרטוט ישר: מסמנים את (0, b), ומשם מתקדמים יחידה אחת ימינה ו-a למעלה כדי לקבל נקודה שנייה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מילולי ⟶ אלגברי (התאמת תבנית)

רונן משלם 80 ש״ח קבוע ועוד 0.25 ש״ח לכל דקה נוספת. כתבו את משוואת החשבון.

1

שלב 1 — מזהים את הסכום הקבוע

80 ש״ח משולמים תמיד, גם ללא דקות — זהו החותך b=80b = 80.
בדיקה מהירה

רונן משלם 80 ש"ח קבוע על חבילת הסלולר, ועוד 0.25 ש"ח על כל דקת אוויר נוספת (x). איזו תבנית מתארת את החשבון y שלו?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: גרף ⟶ אלגברי (מציאת משוואה מנקודות)

גרף הכנסות מהתרמה עובר דרך (0,1000)(0, 1000) ו-(10,1800)(10, 1800). מצאו את משוואת הישר.

1

שלב 1 — קוראים את החותך

הנקודה (0,1000)(0, 1000) על ציר ה-y, ולכן b=1000b = 1000.
תשובה מספרית

גרף ליניארי של הכנסות מהתרמה עובר דרך הנקודות (0,1000)(0, 1000) ו-(10,1800)(10, 1800), כאשר x הוא מספר הכרטיסים ו-y ההכנסה בשקלים. מהו מחיר כרטיס אחד (השיפוע, בשקלים)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

גרף הכנסות מהתרמה עובר דרך (0,1000)(0, 1000) ו-(10,1800)(x(10, 1800) (x — כרטיסים, y — שקלים). מצאו את משוואת הישר, וחשבו מה תהיה ההכנסה אם יימכרו 25 כרטיסים (בשקלים).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: אלגברי ⟶ גרפי (סרטוט ישר)

סרטטו את הישר y=3000x+24000(y = 3000x + 24000 (איסוף כסף למעלית, x מספר משפחות).

y = 3000x + 24000
1

שלב 1 — מסמנים את החותך

ב-x=0x = 0 הסכום הוא 24000, ולכן מסמנים את הנקודה (0,24000)(0, 24000).
בדיקה מהירה

בבניין משותף החליטו להוסיף מעלית. הסכום הראשוני שנחסך היה 24,000 ש"ח, וכל אחת מ-x המשפחות מוסיפה 3,000 ש"ח. איזו משוואה מתארת את הסכום y שנאסף?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: חיתוך עם ציר ה-x לעומת החותך b

מאזן קופת ועד בית הוא y=400x−1000(xy = 400x - 1000 (x חודשים). מתי הישר חוצה את ציר ה-x ומתי את ציר ה-y?

1

שלב 1 — חיתוך עם ציר ה-y

מציבים x=0:y=−1000x = 0: y = -1000. הנקודה (0,−1000)(0, -1000) — זהו החותך b (חוב התחלתי).

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כותבים y=bx+ay = bx + a במקום y=ax+by = ax + b

טעות: y = 80x + 0.25 (80 ש״ח לכל דקה)

נכון: y = 0.25x + 80 (0.25 ש״ח לדקה, 80 ש״ח קבוע)

למה זה קורה?

תלמידים מציבים את המספר הראשון שמופיע בסיפור כמקדם של x, בלי לבדוק אם הוא קצב או סכום קבוע.

איך מתקנים?

המקדם של x הוא תמיד התעריף ליחידה (השיפוע a). הסכום הקבוע הוא החותך b ועומד בנפרד.

טעות נפוצה: מבלבלים בין החותך b לחיתוך עם ציר ה-x

בישר y = 400x - 1000:

החותך b = -1000 בנקודה (0, -1000).

חיתוך עם ציר ה-x בנקודה (2.5, 0) — ערך שונה לגמרי.

למה זה קורה?

שתי הנקודות נקראות 'חיתוך', ותלמידים קוראים את הערך מהציר הלא נכון.

איך מתקנים?

החותך b נמצא היכן שהישר חוצה את ציר ה-y (כאשר x=0)x = 0). החיתוך עם ציר ה-x הוא היכן ש-y=0y = 0.

טעות נפוצה: מסרטטים שיפוע שגוי או מחברים לראשית

עבור y = 3000x + 24000: מ-(0, 24000) זזים משפחה אחת ימינה ו-3000 למעלה ל-(1, 27000) — ולא מחברים לראשית (0,0).

למה זה קורה?

תלמידים מסמנים רק את החותך ומותחים ממנו קו לראשית, או 'מנחשים' את נטיית הישר.

איך מתקנים?

מסרטטים את (0,b)(0, b), ואז זזים יחידה אחת ימינה ו-a למעלה לנקודה שנייה. השיפוע הוא Δy\Delta y ל-Δx\Delta x של יחידה אחת.

טעות נפוצה: מתאימים גרף לפי החותך בלבד ומתעלמים מהשיפוע

y = 70x + 1000 ו-y = 80x + 1000 חולקים חותך 1000, אך לישר השני שיפוע גדול יותר ולכן הוא תלול יותר.

למה זה קורה?

כששתי משוואות חולקות אותו חותך, תלמידים בוחרים שרירותית בלי להשוות את התלילות.

איך מתקנים?

כשהחותכים שווים, מבחינים בין הגרפים לפי השיפוע: שיפוע גדול יותר ⟵ ישר תלול יותר.

סיכום

מה למדנו?

מודל ליניארי y = ax + b בשלושה ייצוגים:

  1. מילולי ⟶ אלגברי: תעריף ליחידה ⟵ a, סכום קבוע ⟵ b.
  2. גרף ⟶ אלגברי: b מן החיתוך עם ציר ה-y, .
  3. אלגברי ⟶ גרף: מסמנים (0, b) ומתקדמים בשיפוע a.

זכרו:

  • המקדם של x הוא תמיד השיפוע — לא הסכום הקבוע.
  • החותך b על ציר ה-y; חיתוך עם ציר ה-x הוא היכן ש-y = 0.
  • כשנקודה חורגת מהגרף המצויר — נוח יותר להשתמש במשוואה האלגברית.

כל הכבוד! עכשיו אתם עוברים בחופשיות בין מילים, משוואה וגרף.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מעבר בין הייצוגים של מודל ליניארי!

חזרה ליחידה: מודל ליניארי בהקשר כלכלי
תרגול