מצבים הדדיים בין ישרים ונקודת חיתוך

מבוא

מטרות השיעור

לזהות מתי שני ישרים נחתכים, מקבילים או מתלכדים לפי השיפוע והחותך
להבין שמקבילות פירושה קצב שינוי שווה (אותו שיפוע) — ושאז אין נקודת חיתוך
למצוא את נקודת החיתוך של שני ישרים על ידי פתרון מערכת משוואות
לפרש את נקודת החיתוך כנקודת איזון בין שתי תוכניות פיננסיות

הרעיון המרכזי

שלושת המצבים ההדדיים

בהינתן שני ישרים $y = a_{1} x + b_{1}$ ו- $y = a_{2} x + b_{2}$ :

נחתכים (נקודה אחת): השיפועים שונים, $a_{1} \neq = a_{2}$ .
מקבילים (אין נקודת חיתוך): שיפועים שווים וחותכים שונים, $a_{1} = a_{2}$ אך $b_{1} \neq = b_{2}$ .
מתלכדים (אותו ישר): גם השיפועים וגם החותכים שווים, $a_{1} = a_{2}$ וגם $b_{1} = b_{2}$ .

מציאת נקודת חיתוך — פתרון מערכת:

משווים את אגפי ה-y: $a_{1} x + b_{1} = a_{2} x + b_{2}$ .
פותרים את המשוואה ומוצאים את x.
מציבים את x באחת המשוואות כדי למצוא את y.
בודקים בהצבה במשוואה השנייה.

בהקשר כלכלי נקודת החיתוך היא נקודת האיזון — כמות השימוש שבה שתי התוכניות עולות אותו דבר.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי מקבילות (אין נקודת חיתוך)

נסיעת איתמר: $y = 0.3x + 17.5$ ; נסיעת עפרה: $y = 0.3x + 12.3$ . מה המצב ההדדי?

a_{1} = a_{2} = 0.3, b_{1} \neq = b_{2} \Rightarrow מקבילים

שלב 1 — משווים שיפועים

שני השיפועים שווים:

0.3 = 0.3

נכון או לא נכון

נסיעתו של איתמר במונית מתוארת על ידי $y = 0.3x + 17.5$ , ונסיעתה של עפרה על ידי $y = 0.3x + 12.3 (x$ פעימות מונה). נכון או לא נכון: אין מספר פעימות מונה שעבורו ישלמו השניים בדיוק אותו סכום.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מציאת נקודת חיתוך (איזון) — מימון נסיעה לדרבי

בי״ס א: $y = 5x + 1500$ ; בי״ס ב: $y = 8x + 1200$ . מצאו את נקודת החיתוך.

5 x + 1500 = 8 x + 1200 \Rightarrow x = 100, y = 2000

שלב 1 — משווים

5x + 1500 = 8x + 1200

תשובה מספרית

לצורך מימון נסיעה לדרבי כדורסל, הכסף שנאסף בכל בית ספר ליניארי במספר התלמידים x. בי"ס א: $y = 5x + 1500 ($ מנהל נתן 1500 ש"ח, כל תלמיד 5 ש"ח). בי"ס ב: $y = 8x + 1200$ . בכמה תלמידים ששילמו ייאסף בשני בתי הספר אותו סכום (נקודת החיתוך)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

איסוף הכסף למעלית בשני בניינים: בניין א — $y = 3000x + 24000$ , בניין ב — $y = 5000x + 10000 (x$ מספר המשפחות). בנקודה A הסכום שנאסף ומספר המשפחות זהים בשני הבניינים. מהי נקודה A?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: נקודת איזון בין שתי תוכניות גלישה

תוכנית א: $y = 0.4x + 30$ ; תוכנית ב: $y = 0.6x + 10$ . מצאו את נקודת האיזון ופרשו.

0.4 x + 30 = 0.6 x + 10 \Rightarrow x = 100, y = 70

שלב 1 — משווים

0.4x + 30 = 0.6x + 10

תשובה מספרית

שתי תוכניות גלישה: תוכנית א — $y = 0.4x + 30$ , תוכנית ב — $y = 0.6x + 10 (x$ ג'יגה, y שקלים). מצאו את כמות הג'יגה x שבה שתי התוכניות עולות אותו דבר (נקודת האיזון).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: חיתוך עם אותו סכום כולל (אותו y)

בי״ס א: $y = 5x + 1500$ ; בי״ס ב: $y = 8x + 1200$ . בכל בי״ס נאספו 2700 ש״ח. באיזה בי״ס שילמו יותר תלמידים?

2700 = 5 x + 1500 \Rightarrow x = 240; 2700 = 8 x + 1200 \Rightarrow x = 187.5

שלב 1 — בי״ס א

2700 = 5x + 1500 ⟸ 5x = 1200 ⟸ x = 240

תלמידים.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שאותו שיפוע פירושו חיתוך

y = 0.3x + 17.5 ו-y = 0.3x + 12.3 מקבילים — לעולם לא ייפגשו, כי הפרש התשלום קבוע (5.2 ש״ח).

למה זה קורה?

תלמידים מזהים 'אותו קצב שינוי' עם 'נפגשים', אך זה בדיוק התנאי למקבילות.

איך מתקנים?

שיפוע שווה וחותך שונה = ישרים מקבילים, ואין נקודת חיתוך. שיפוע שונה = נחתכים בנקודה אחת.

טעות נפוצה: מבלבלים בין נקודת חיתוך של שני ישרים לחיתוך עם הצירים

נקודת החיתוך של y = 5x + 1500 ו-y = 8x + 1200 היא (100, 2000) — לא החותכים (0, 1500) או (0, 1200).

למה זה קורה?

המילה 'חיתוך' מופיעה בשני ההקשרים, ותלמידים קוראים את הנקודה מהמקום הלא נכון.

איך מתקנים?

נקודת החיתוך של שני ישרים היא היכן ששתי המשוואות נותנות אותם x ו-y, ולא היכן שישר אחד חוצה ציר.

טעות נפוצה: שוכחים לחשב את y אחרי מציאת x

ב-x = 100 חייבים להציב: $y = 5 \cdot 100 + 1500 = 2000$ . הנקודה היא (100, 2000), לא רק "100".

למה זה קורה?

אחרי שמוצאים את x בפתרון המערכת, תלמידים עוצרים ולא מוצאים את הקואורדינטה השנייה.

איך מתקנים?

נקודת חיתוך היא זוג (x, y). אחרי שמצאתם את x, הציבו אותו באחת המשוואות כדי למצוא את y.

טעות נפוצה: מניחים שהזול לפני נקודת האיזון נשאר הזול אחריה

בתוכניות y = 0.4x + 30 ו-y = 0.6x + 10: עד 100 ג'יגה ב זולה, ומעל 100 ג'יגה א זולה. כדאי לבדוק נקודה משני צידי האיזון.

למה זה קורה?

תלמידים בודקים תוכנית אחת בנקודה אחת ומכלילים לכל הערכים.

איך מתקנים?

לפני ואחרי נקודת האיזון התשובה מתהפכת. התוכנית עם השיפוע הקטן יותר משתלמת לכמויות גדולות.

סיכום

מה למדנו?

מצבים הדדיים בין שני ישרים $y = a_{1} x + b_{1}$ ו- $y = a_{2} x + b_{2}$ :

נחתכים — $a_{1} \neq = a_{2}$ (נקודה אחת).
מקבילים — $a_{1} = a_{2}$ , $b_{1} \neq = b_{2}$ (אין חיתוך).
מתלכדים — $a_{1} = a_{2}$ , $b_{1} = b_{2}$ (אותו ישר).

נקודת חיתוך (איזון): משווים $a_{1} x + b_{1} = a_{2} x + b_{2}$ , מוצאים x, מציבים למציאת y, ובודקים.

טיפים:

שיפוע שווה ⟵⟶ קצב שינוי שווה ⟵⟶ מקבילים.
נקודת חיתוך היא זוג (x, y) — אל תשכחו את y.
בדקו נקודה משני צידי האיזון כדי לדעת איזו תוכנית כדאית יותר ומתי.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לזהות מצבי ישרים ולמצוא נקודות איזון.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מצבים הדדיים בין ישרים ועל מציאת נקודות חיתוך!

מצבים הדדיים בין ישרים ונקודת חיתוך

מצבים הדדיים בין ישרים ונקודת חיתוך

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי מקבילות (אין נקודת חיתוך)

נסיעת איתמר: y=0.3x+17.5y = 0.3x + 17.5y=0.3x+17.5; נסיעת עפרה: y=0.3x+12.3y = 0.3x + 12.3y=0.3x+12.3. מה המצב ההדדי?

דוגמה 2: מציאת נקודת חיתוך (איזון) — מימון נסיעה לדרבי

בי״ס א: y=5x+1500y = 5x + 1500y=5x+1500; בי״ס ב: y=8x+1200y = 8x + 1200y=8x+1200. מצאו את נקודת החיתוך.

דוגמה 3: נקודת איזון בין שתי תוכניות גלישה

תוכנית א: y=0.4x+30y = 0.4x + 30y=0.4x+30; תוכנית ב: y=0.6x+10y = 0.6x + 10y=0.6x+10. מצאו את נקודת האיזון ופרשו.

דוגמה 4: חיתוך עם אותו סכום כולל (אותו y)

בי״ס א: y=5x+1500y = 5x + 1500y=5x+1500; בי״ס ב: y=8x+1200y = 8x + 1200y=8x+1200. בכל בי״ס נאספו 2700 ש״ח. באיזה בי״ס שילמו יותר תלמידים?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שאותו שיפוע פירושו חיתוך

טעות נפוצה: מבלבלים בין נקודת חיתוך של שני ישרים לחיתוך עם הצירים

טעות נפוצה: שוכחים לחשב את y אחרי מציאת x

טעות נפוצה: מניחים שהזול לפני נקודת האיזון נשאר הזול אחריה

סיכום

תרגול נוסף

נסיעת איתמר: $y = 0.3x + 17.5$ ; נסיעת עפרה: $y = 0.3x + 12.3$ . מה המצב ההדדי?

בי״ס א: $y = 5x + 1500$ ; בי״ס ב: $y = 8x + 1200$ . מצאו את נקודת החיתוך.

תוכנית א: $y = 0.4x + 30$ ; תוכנית ב: $y = 0.6x + 10$ . מצאו את נקודת האיזון ופרשו.

בי״ס א: $y = 5x + 1500$ ; בי״ס ב: $y = 8x + 1200$ . בכל בי״ס נאספו 2700 ש״ח. באיזה בי״ס שילמו יותר תלמידים?