אורך מסלול: קטעים, מעגלים וחלקי מעגל

מבוא

מטרות השיעור

להבין שאורכו של מסלול הוא סכום אורכי החלקים שמהם הוא מורכב
לחשב אורך של קטעים ישרים בעזרת תכונות צורות גיאומטריות (ריבוע, מלבן, מקבילית, טרפז)
לחשב אורך של מעגל שלם ( $2 π r$ ) ושל חלקי מעגל (חצי מעגל, רבע מעגל)
למצוא צלע או אלכסון חסרים בעזרת משפט פיתגורס
לבטא אורך מסלול גם באופן אלגברי, באמצעות נעלם

הרעיון המרכזי

איך מחשבים אורך מסלול?

אורך מסלול = סכום אורכי כל החלקים שמהם הוא מורכב.

מפרקים את המסלול לחלקים מוכּרים, מחשבים את אורך כל חלק בנפרד, ומחברים.

נוסחאות שימושיות:

היקף מעגל: $C = 2 π r = π d$
חצי מעגל (קשת): $π r$
רבע מעגל (קשת): $\frac{1}{2} π r$
משפט פיתגורס (למציאת צלע חסרה במשולש ישר-זווית): $c = a^{2} + b^{2}$

לאורך השיעור נשתמש בקירוב $π \approx 3.14$ ונעגל תוצאות לשני מקומות אחרי הנקודה העשרונית.

בדיקה מהירה

חלק ממסלול הליכה הוא חצי מעגל שרדיוסו r. איזה ביטוי מתאר את אורך הקשת של חצי המעגל?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מסלול לאורך שפת ריבוע

מגרש בצורת ריבוע שאורך צלעו 80 מ' — מהו אורך סיבוב שלם?

P = 4 \cdot 80 = 320 m

שלב 1 — מזהים את הצורה

המסלול עובר לאורך כל ארבע צלעות הריבוע, כלומר הוא היקף הריבוע.

תשובה מספרית

במגרש שכונתי בצורת ריבוע שאורך צלעו 80 מ' סומן מסלול ריצה לאורך גדר המגרש. מהו אורכו של סיבוב שלם אחד סביב המגרש, במטרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מסלול מעגלי

מסלול ריצה מעגלי שרדיוסו 50 מ' — מהו אורך סיבוב שלם?

C = 2 π r = 2 \cdot 3.14 \cdot 50 = 314 m

שלב 1 — מזהים

מסלול מעגלי שלם = היקף המעגל.

דוגמה 3: מסלול עם משפט פיתגורס

הולכים 30 מ' צפונה, פונים בזווית ישרה והולכים 40 מ' — ואז חוזרים בקו ישר. מהו אורך כל המסלול?

c = 3 0^{2} + 4 0^{2} = 2500 = 50

L = 30 + 40 + 50 = 120 m

שלב 1 — מזהים משולש ישר-זווית

הזווית בנקודת הפנייה ישרה, ולכן הקטע החוזר הוא היתר של משולש ישר-זווית עם ניצבים 30 ו-40.

תשובה מספרית

נועה הולכת מנקודה A לנקודה B לאורך רחוב באורך 30 מ', פונה בזווית ישרה והולכת מ-B ל-C לאורך רחוב באורך 40 מ'. מ-C היא חוזרת ל-A בקו ישר (האלכסון). מהו אורך כל המסלול A→B→C→A, במטרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: צורה מורכבת — קטעים ישרים + חצאי מעגל (מסלול אצטדיון)

מסלול אתלטי: שני קטעים ישרים של 100 מ' ובקצוות שני חצאי מעגל שקוטר כל אחד 20 מ'. מהו אורך הסיבוב?

L = 2 \cdot 100 + 2 π \cdot 10 = 200 + 62.8 = 262.8 m

שימו לב: שני חצאי מעגל זהים מצטרפים תמיד למעגל שלם אחד.

שלב 1 — מפרקים את המסלול

שני קטעים ישרים + שני חצאי מעגל זהים.

תשובה מספרית

מסלול ריצה אתלטי בנוי משני קטעים ישרים ארוכים באורך 100 מ' כל אחד, ובשני קצותיו שני חצאי מעגל זהים שקוטר כל אחד מהם 20 מ' (כך שיחד הם יוצרים מעגל שלם). מהו אורך סיבוב שלם אחד של המסלול, במטרים $? (\pi ≈ 3.14$ , עגלו לשני מקומות אחרי הנקודה)

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: ייצוג אלגברי של אורך מסלול

שלוש צלעות של ריבוע שאורך צלעו x, והצלע הרביעית הוחלפה בחצי מעגל שקוטרו x. בטאו את אורך המסלול.

L = 3 x + π \cdot \frac{x}{2} = 3 x + \frac{π x}{2} \approx 4.57 x

שלב 1 — שלוש צלעות ישרות

3 \cdot x = 3x

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין רדיוס לקוטר בחישוב קשת

טעות: חצי מעגל שקוטרו 20 → $π \cdot 20 = 62.8$

נכון: $r = 10, π \cdot 10 = 31.4$

למה זה קורה?

כשנתון הקוטר, תלמידים מציבים אותו ישירות בנוסחה במקום הרדיוס, ומחשבים חצי מעגל לפי

\pi d

במקום

\pi r

איך מתקנים?

ראשית מצאו את הרדיוס:

r = \frac{d}{2}

. אורך חצי מעגל הוא

\pi r

. אם נתון קוטר 20, אז

r = 10

ואורך חצי המעגל הוא

\pi \cdot 10 ≈ 31.4 (

לא

\pi \cdot 20)

טעות נפוצה: מחברים את הניצבים במקום להשתמש בפיתגורס

טעות: c = 30 + 40 = 70

נכון: $c = 3 0^{2} + 4 0^{2} = 50$

למה זה קורה?

כדי למצוא אלכסון או צלע משופעת, תלמידים מחברים את שני הניצבים

(a + b)

במקום לחשב את היתר.

איך מתקנים?

היתר תמיד קצר מסכום הניצבים. השתמשו במשפט פיתגורס:

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

. למשל

\sqrt{30^{2} + 40^{2}} = 50

, ולא

30 + 40 = 70

טעות נפוצה: סופרים קטע שכבר 'נסגר' על ידי הקשת

בריבוע שצלעו x עם חצי מעגל במקום צלע: המסלול הוא $3 x + \frac{π x}{2}$ — שלוש צלעות בלבד, לא ארבע.

למה זה קורה?

במסלול שבו צלע הוחלפה בחצי מעגל, תלמידים מוסיפים גם את הצלע (הקוטר) וגם את חצי המעגל, ובכך סופרים פעמיים.

איך מתקנים?

אם חצי המעגל מחליף צלע, הצלע עצמה אינה חלק מהמסלול. ספרו רק את החלקים שהולכים בהם בפועל.

טעות נפוצה: מבלבלים בין אורך קשת לשטח

אורך חצי מעגל: $π r$ | שטח חצי עיגול: $\frac{1}{2} π r^{2}$

למה זה קורה?

הנוסחה

\pi r^{2} (

שטח עיגול) דומה ל-

\pi r (

חצי קשת), ותלמידים מציבים את הלא נכונה.

איך מתקנים?

לאורך מסלול משתמשים תמיד בנוסחאות היקף/קשת:

2\pi r, \pi r

. הנוסחה

\pi r^{2}

נותנת שטח (יחידות מ

^{2})

, ואינה רלוונטית לאורך.

סיכום

מה למדנו?

אורך מסלול = סכום אורכי החלקים. מפרקים לחלקים מוכּרים, מחשבים כל אחד ומחברים.
קטעים ישרים: משתמשים בתכונות הצורות (צלעות שוות בריבוע, צלעות נגדיות שוות במלבן ובמקבילית).
מעגל וחלקי מעגל: $C = 2 π r$ , חצי מעגל $π r$ , רבע מעגל $\frac{1}{2} π r$ .
צלע או אלכסון חסרים: משפט פיתגורס $c = a^{2} + b^{2}$ .
אפשר לבטא אורך מסלול גם אלגברית באמצעות נעלם, ולא רק כמספר.
שני חצאי מעגל זהים = מעגל שלם אחד.

עכשיו אתם מוכנים לחשב אורך של כל מסלול! המשיכו לתרגול.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב אורך מסלולים מורכבים מקטעים ומחלקי מעגל.