השוואת מסלולים ותכנון מסלול

מבוא

מטרות השיעור

להשוות בין מסלולים לפי אורך, לפי זמן, לפי מהירות ולפי עלות
להבין שהמסלול הקצר ביותר אינו תמיד המהיר או הזול ביותר
לחשב עלות נסיעה כוללת (דלק + אגרה) ולקבל החלטה מנומקת
לתכנן מסלול לפי דרישה נתונה (אורך, זמן), כולל פתרון משוואה ממעלה ראשונה

הרעיון המרכזי

לפי איזה קריטריון משווים?

לפני שמשווים מסלולים, חשוב לזהות מה הקריטריון שעליו נשאלת השאלה:

הקצר באורך — מחשבים את אורך כל מסלול ובוחרים את הקטן.
המהיר בזמן — מחשבים $t = \frac{d}{v}$ לכל מסלול (כי המהירות עשויה להשתנות!) ובוחרים את הזמן הקצר.
הזול בעלות — מחשבים את העלות הכוללת: $עלות = דלק + אגרה$ .

עיקרון מרכזי: מסלול קצר יותר באורכו אינו בהכרח מהיר יותר — הכול תלוי במהירות בכל מסלול.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: השוואה לפי זמן כשהמהירות זהה

שני מסלולים, 5 ק״מ ו-6 ק״מ, באותה מהירות — מי מהיר יותר?

כשהמהירות קבועה, הזמן פרופורציוני לאורך.

שלב 1 — מזהים שהמהירות זהה

כשהמהירות שווה, הזמן תלוי רק באורך:

t = \frac{d}{v}

דוגמה 2: הקצר באורך אינו בהכרח המהיר

מסלול א': 9 ק״מ ב-30 קמ״ש. מסלול ג': 20 ק״מ ב-80 קמ״ש. מי מהיר יותר?

t_{א} = \frac{9}{30} = 0.3 h, t_{ג} = \frac{20}{80} = 0.25 h

המהירות הגבוהה מנצחת את האורך הגדול!

שלב 1 — זמן מסלול א'

t = \frac{9}{30} = 0.3

שעה

= 18

דקות

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: המסלול הקצר ביותר באורכו הוא תמיד המסלול שזמן הנסיעה בו הוא הקצר ביותר.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

משה ונעה מקיפים בריצה מסלול אצטדיון שאורכו 262.8 מ', 6 פעמים כל אחד. משה רץ במהירות 12 קמ"ש ונעה במהירות 8 קמ"ש. בכמה דקות יותר (בקירוב) מסיימת נעה את הריצה בהשוואה למשה? (עגלו לשני מקומות אחרי הנקודה)

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סידור

לפניכם שלושה מסלולי נסיעה לאותו יעד. סדרו אותם לפי זמן הנסיעה, מהמסלול המהיר ביותר (הזמן הקצר ביותר) אל האיטי ביותר. מסלול א': 12 ק"מ ב-60 קמ"ש. מסלול ב': 9 ק"מ ב-30 קמ"ש. מסלול ג': 20 ק"מ ב-80 קמ"ש.

גררו את הפריטים לסדר הנכון

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: השוואה לפי עלות כוללת

מסלול א': 50 ק״מ, דלק $0.7 ₪/$ ק״מ. מסלול ב': 40 ק״מ, דלק $0.7 ₪/$ ק״מ + אגרה 15 ₪. מי זול יותר?

א : 35 ₪ < ב : 28 + 15 = 43 ₪

אל תשכחו לחבר גם את הדלק וגם את האגרה!

שלב 1 — עלות מסלול א'

50 \cdot 0.7 = 35 ₪

תשובה מספרית

נהג בוחר בין שני מסלולים. מסלול א': 50 ק"מ, עלות דלק 0.7 ₪ לק"מ (ללא אגרה). מסלול ב': 40 ק"מ, עלות דלק 0.7 ₪ לק"מ, ובנוסף אגרת כביש של 15 ₪. מהי עלות הנסיעה במסלול הזול יותר, בשקלים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מציאת מהירות לזמן הגעה זהה (משוואה)

מסלול 1: 30 ק״מ ב-60 קמ״ש. מסלול 2: 40 ק״מ. באיזו מהירות במסלול 2 כדי להגיע באותו זמן?

v = \frac{40}{0.5} = 80 km/h

שלב 1 — זמן מסלול 1

t = \frac{30}{60} = 0.5

שעה

תשובה מספרית

לאותו יעד יש שני מסלולים. במסלול הראשון, שאורכו 30 ק"מ, נוסעים במהירות 60 קמ"ש. המסלול השני אורכו 40 ק"מ. באיזו מהירות (בקמ"ש) צריך לנסוע במסלול השני, כדי שזמן ההגעה ליעד יהיה זהה בשני המסלולים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: תכנון מסלול לפי דרישת אורך

רוצים מסלול ריצה שאורכו בין 5 ל-6 ק״מ. מבין $\frac{\frac{4.8}{5.4}}{\frac{6.3}{7.0}}$ ק״מ — מה מתאים?

רק 5.4 מקיים 5 < 5.4 < 6.

שלב 1 — רושמים את התנאי

5 <

אורך

< 6

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מניחים שהקצר ביותר הוא תמיד המהיר ביותר

מסלול 20 ק״מ ב-80 קמ״ש (15 דק') מהיר ממסלול 9 ק״מ ב-30 קמ״ש (18 דק').

למה זה קורה?

תלמידים בוחרים את המסלול הקצר באורכו בלי לבדוק את המהירות בכל מסלול.

איך מתקנים?

זמן הנסיעה הוא

\frac{d}{v}

— תלוי גם במהירות. מסלול ארוך בכביש מהיר יכול לקחת פחות זמן ממסלול קצר עם פקקים. תמיד חשבו את הזמן בכל מסלול.

טעות נפוצה: משווים לפי קריטריון לא נכון

'הזול ביותר' ≠ 'הקצר ביותר'. בדקו מה בדיוק נשאל.

למה זה קורה?

השאלה מבקשת את הזול ביותר, אבל התלמיד בוחר את הקצר באורך (או להיפך).

איך מתקנים?

קראו היטב מה נדרש — אורך, זמן או עלות — והשוו לפי אותו קריטריון בלבד.

טעות נפוצה: מחשבים רק חלק מהעלות

טעות: עלות מסלול ב' = 15 ₪ (רק אגרה)

נכון: $40 \cdot 0.7 + 15 = 43$ ₪

למה זה קורה?

בעלות נסיעה מחשבים רק את הדלק או רק את האגרה, ושוכחים לחבר את שניהם.

איך מתקנים?

עלות כוללת = עלות דלק (אורך × מחיר לק״מ) + אגרה (אם יש). חברו את כל הרכיבים.

טעות נפוצה: שוכחים להמיר יחידות לפני ההשוואה

0.25 שעה = 15 דקות. השוו דקות לדקות, לא דקות לשעות.

למה זה קורה?

משווים זמנים כשאחד בדקות והשני בשעות, או מחשבים מהירות בלי להמיר דקות לשעות.

איך מתקנים?

לפני השוואה, המירו את כל הזמנים ליחידה אחת (דקות או שעות) ואת כל האורכים ליחידה אחת.

סיכום

מה למדנו?

לפני השוואה — מזהים את הקריטריון: אורך, זמן, מהירות או עלות.
זמן מחשבים בנפרד לכל מסלול: $t = \frac{d}{v}$ (המהירות עשויה להשתנות).
עלות כוללת = דלק + אגרה. מחברים את כל הרכיבים.
המסלול הקצר באורכו אינו בהכרח המהיר או הזול ביותר.
בתכנון מסלול לפי דרישה — מתרגמים לתנאי או למשוואה ופותרים.

מצוין! עכשיו אתם יכולים להשוות מסלולים ולתכנן מסלול בצורה מושכלת. המשיכו לתרגול.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על השוואת מסלולים ותכנון מסלול לפי אורך, זמן, מהירות ועלות.

השוואת מסלולים ותכנון מסלול

השוואת מסלולים ותכנון מסלול

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: השוואה לפי זמן כשהמהירות זהה

שני מסלולים, 5 ק״מ ו-6 ק״מ, באותה מהירות — מי מהיר יותר?

דוגמה 2: הקצר באורך אינו בהכרח המהיר

מסלול א': 9 ק״מ ב-30 קמ״ש. מסלול ג': 20 ק״מ ב-80 קמ״ש. מי מהיר יותר?

דוגמה 3: השוואה לפי עלות כוללת

מסלול א': 50 ק״מ, דלק 0.7₪/0.7 ₪/0.7₪/ק״מ. מסלול ב': 40 ק״מ, דלק 0.7₪/0.7 ₪/0.7₪/ק״מ + אגרה 15 ₪. מי זול יותר?

דוגמה 4: מציאת מהירות לזמן הגעה זהה (משוואה)

מסלול 1: 30 ק״מ ב-60 קמ״ש. מסלול 2: 40 ק״מ. באיזו מהירות במסלול 2 כדי להגיע באותו זמן?

דוגמה 5: תכנון מסלול לפי דרישת אורך

רוצים מסלול ריצה שאורכו בין 5 ל-6 ק״מ. מבין 4.85.46.37.0\frac{\frac{4.8}{5.4}}{\frac{6.3}{7.0}}7.06.3​5.44.8​​ ק״מ — מה מתאים?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מניחים שהקצר ביותר הוא תמיד המהיר ביותר

טעות נפוצה: משווים לפי קריטריון לא נכון

טעות נפוצה: מחשבים רק חלק מהעלות

טעות נפוצה: שוכחים להמיר יחידות לפני ההשוואה

סיכום

תרגול נוסף

מסלול א': 50 ק״מ, דלק $0.7 ₪/$ ק״מ. מסלול ב': 40 ק״מ, דלק $0.7 ₪/$ ק״מ + אגרה 15 ₪. מי זול יותר?

רוצים מסלול ריצה שאורכו בין 5 ל-6 ק״מ. מבין $\frac{\frac{4.8}{5.4}}{\frac{6.3}{7.0}}$ ק״מ — מה מתאים?