הקשר בין היקף לשטח

מבוא

מטרות השיעור

למצוא שטח של צורה כאשר נתון ההיקף (ונתון נוסף במידת הצורך)
למצוא היקף של צורה כאשר נתון השטח (ונתון נוסף במידת הצורך)
להבין מתי ההיקף לבדו מספיק (ריבוע) ומתי דרוש נתון נוסף (מלבן)
לזהות איזה גרף מתאר את התלות בצלע: שטח → פרבולה, היקף → קו ישר

הרעיון המרכזי

המעבר בין היקף לשטח עובר דרך הצלע

מהיקף לשטח (ריבוע): צלע = P/4, ואז $S = (P /4)^{2}$ .

משטח להיקף (ריבוע): צלע $= S$ , ואז $P = 4 S$ .

במלבן צריך נתון נוסף: מההיקף לבדו אי אפשר לדעת את השטח, כי מלבנים שונים בעלי אותו היקף הם בעלי שטחים שונים. לכן ניתן נתון נוסף, למשל אורך צלע אחת.

הגרפים (עבור ריבוע שאורך צלעו x):

שטח כתלות בצלע: $S = x^{2}$ → פרבולה (זרוע עולה עבור $x \geq 0$ )
היקף כתלות בצלע: P = 4x → קו ישר דרך הראשית

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מהיקף ריבוע לשטח

היקף גינה ריבועית 36 מ' — מהו שטחה?

a = \frac{36}{4} = 9, S = 9^{2} = 81 מ^{2}

שלב 1 — מוצאים את הצלע

צלע

= \frac{36}{4} = 9

מ'

דוגמה 2: משטח ריבוע להיקף

שטח חצר ריבועית 144 מ״ר — מהו ההיקף (אורך הגדר)?

a = 144 = 12, P = 4 \cdot 12 = 48 מ’

שלב 1 — שורש ריבועי

צלע

= \sqrt{144} = 12

מ'

דוגמה 3: במלבן צריך נתון נוסף — מהיקף לשטח

היקף מלבן 20 מ', צלע אחת 6 מ' — מהו השטח?

a + b = 10, b = 10 - 6 = 4, S = 6 \cdot 4 = 24 מ^{2}

מההיקף לבדו לא היה אפשר — נדרש נתון נוסף.

שלב 1 — חצי היקף = סכום שתי צלעות

אורך + רוחב

= \frac{20}{2} = 10

מ'

דוגמה 4: במלבן צריך נתון נוסף — משטח להיקף

שטח חדר 48 מ״ר, צלע אחת 6 מ' — מהו ההיקף (לפנלים)?

b = \frac{48}{6} = 8, P = 2 (6 + 8) = 28 מ’

שלב 1 — מוצאים את הצלע השנייה

רוחב

= \frac{48}{6} = 8

מ'

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

היקף גינה ריבועית הוא 36 מ'. מהו שטח הגינה, במ"ר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

היקף גינה מלבנית הוא 20 מ', ואחת מצלעותיה אורכה 6 מ'. מהו שטח הגינה, במ"ר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

שטחו של חדר מלבני הוא 48 מ"ר, ואורך אחת מצלעותיו 6 מ'. רוצים להתקין פנלים מסביב לחדר. מהו אורך הפנלים הדרוש (היקף החדר), במ'?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: זיהוי הגרף — שטח כתלות בצלע

ריבוע שצלעו x — איזה גרף מתאר את השטח כתלות ב-x?

$S = x^{2}$ — פרבולה, לא קו ישר.

שלב 1 — כותבים את הפונקציה

S = x^{2}

דוגמה 6: זיהוי הגרף — היקף כתלות בצלע

אותו ריבוע — איזה גרף מתאר את ההיקף כתלות ב-x?

P = 4x — קו ישר. ההיקף גדל באופן קבוע, השטח גדל מהר יותר ויותר.

שלב 1 — כותבים את הפונקציה

P = 4x

בדיקה מהירה

לפניכם ריבוע שאורך צלעו x. איזה גרף מתאר את שטח הריבוע כתלות באורך הצלע x?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

אותו ריבוע שאורך צלעו x. איזה גרף מתאר את היקף הריבוע כתלות באורך הצלע x?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שמהיקף מלבן אפשר לחשב שטח בלי נתון נוסף

מלבנים בעלי היקף 20: למשל 6×4 (שטח 24) או 7×3 (שטח 21) — שטחים שונים עם אותו היקף!

למה זה קורה?

במלבן יש שני ממדים, וההיקף לבדו אינו קובע אותם.

איך מתקנים?

במלבן צריך נתון נוסף (למשל צלע אחת). רק בריבוע ההיקף לבדו קובע את הצלע ולכן את השטח.

טעות נפוצה: מחליפים בין הגרפים של שטח והיקף

שטח: $S = x^{2}$ → פרבולה.

היקף: P = 4x → קו ישר.

למה זה קורה?

חושבים שגם השטח וגם ההיקף הם קו ישר, או שניהם פרבולה.

איך מתקנים?

עבור ריבוע: שטח

S = x^{2} →

פרבולה; היקף

P = 4x →

קו ישר. ההבדל הוא במעלת הפונקציה.

טעות נפוצה: מעלים את ההיקף בריבוע במקום את הצלע

טעות: $S = 3 6^{2} = 1296$

נכון: $a = 36/4 = 9, S = 9^{2} = 81$ מ"ר

למה זה קורה?

קופצים ישר מההיקף לשטח.

איך מתקנים?

עברו דרך הצלע: צלע

= \frac{P}{4}

, ורק אז

S =

צלע

^{2}

. לא

S = P^{2}

טעות נפוצה: שוכחים להמיר יחידות לפני חישוב השטח

צלע 200 ס"מ = 2 מ'. שטח $= 2^{2} = 4$ מ"ר (ולא 200² = 40,000 בלי המרה).

למה זה קורה?

מערבבים ס״מ ומ' באותו חישוב.

איך מתקנים?

המירו לפני העלאה בריבוע. זכרו: 100 ס״מ

= 1

מ', ולכן 1 מ״ר

= 10{,}000

סמ״ר.

טעות נפוצה: במעבר משטח להיקף מחלקים ב-2 במקום שורש (בריבוע)

שטח 144: צלע $= 144 = 12$ (ולא 144/2 = 72).

למה זה קורה?

מבלבלים בין הפעולות.

איך מתקנים?

בריבוע: צלע

= √

שטח (שורש ריבועי), לא שטח

/2

סיכום

מה למדנו?

המעבר בין היקף לשטח עובר דרך הצלע.
ריבוע: מהיקף — צלע = P/4 ואז $S = (P /4)^{2}$ ; משטח — צלע $= S$ ואז $P = 4 S$ .
מלבן: דרוש נתון נוסף (כמו צלע אחת), כי היקף שווה אינו קובע שטח שווה.
גרפים: שטח כתלות בצלע → פרבולה ( $S = x^{2}$ ); היקף כתלות בצלע → קו ישר (P=4x).
המרת יחידות לפני חישוב: 1 מ' = 100 ס"מ, 1 מ"ר = 10,000 סמ"ר.

מצוין! אתם יודעים לעבור בין היקף לשטח ולזהות את הגרף המתאים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הקשר בין היקף לשטח ועל זיהוי הגרפים!