אופטימיזציה ריבועית יישומית — מקסימום ומינימום

מבוא

מטרות השיעור

לתרגם מצב אורייני (גידור, חלוקה) לפונקציה ריבועית
לבנות את פונקציית השטח של מלבן בהיקף קבוע: $S = x (\frac{P}{2} - x)$
למצוא את המקסימום או המינימום של הפונקציה דרך קודקוד הפרבולה
להבין שמבין מלבנים בעלי היקף נתון, לריבוע השטח הגדול ביותר

הרעיון המרכזי

מהיקף קבוע לפונקציית שטח

אם להיקף מלבן יש ערך קבוע P, אז סכום שתי צלעות סמוכות הוא $\frac{P}{2}$ . אם צלע אחת היא x, הצלע השנייה היא $\frac{P}{2} - x$ , ולכן:

S (x) = x (\frac{P}{2} - x) = - x^{2} + \frac{P}{2} x

זוהי פרבולה הנפתחת כלפי מטה (מקדם $x^{2}$ שלילי), ולכן יש לה מקסימום בקודקוד.

מציאת הקודקוד:

ציר הסימטריה: $x = \frac{- b}{2 a}$ , או אמצע הקטע בין השורשים.
מציבים את x זה בחזרה בפונקציה כדי לקבל את הערך המרבי S.

אם מקדם $x^{2}$ חיובי (פרבולה הנפתחת כלפי מעלה) — לקודקוד יש מינימום.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: היקף 48 → שטח מרבי (הדוגמה המרכזית)

גדר באורך 48 מ' לגינה מלבנית — מהו השטח המרבי?

S = x (24 - x), x_{m a x} = 12, S_{m a x} = 12 \cdot 12 = 144 מ^{2}

השטח המרבי מתקבל כשהמלבן הוא ריבוע 12×12.

שלב 1 — חצי היקף

\frac{48}{2} = 24 (

סכום שתי צלעות סמוכות)

בדיקה מהירה

ברשותכם גדר באורך 48 מ', ואתם רוצים לגדר בעזרתה גינה מלבנית. אם אורך צלע אחת הוא x מ', איזו פונקציה מתארת את שטח הגינה S?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

ברשותכם גדר באורך 48 מ' לגידור גינה מלבנית, והשטח מתואר על ידי $S = x(24 - x)$ . מהו השטח המרבי האפשרי, במ"ר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: היקף 40 → שטח מרבי

גדר באורך 40 מ' מקיפה גינה מלבנית — מהו השטח המרבי?

S = x (20 - x), x_{m a x} = 10, S_{m a x} = 100 מ^{2}

שלב 1 — חצי היקף

\frac{40}{2} = 20

תשובה מספרית

גדר באורך 40 מ' מקיפה גינה מלבנית. מהו השטח המרבי שאפשר להקיף, במ"ר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: גידור לצד קיר (שלוש צלעות בלבד)

מכלאה מלבנית לצד קיר, 40 מ' גדר לשלוש צלעות — שטח מרבי?

S = x (40 - 2 x), x_{m a x} = 10, S_{m a x} = 200 מ^{2}

כאן הצורה האופטימלית אינה ריבוע, כי הקיר חוסך צלע אחת!

שלב 1 — מסמנים

שתי צלעות ניצבות לקיר באורך x, צלע מקבילה באורך y

תשובה מספרית

חקלאי בונה מכלאה מלבנית לצד קיר ישר. הקיר משמש כצלע אחת, ולכן צריך לגדר רק שלוש צלעות. ברשותו 40 מ' גדר. אם שתי הצלעות הניצבות לקיר אורכן x מ' כל אחת, מהו השטח המרבי של המכלאה, במ"ר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: בעיית מינימום

מוט באורך 10 מ' מחולק לשני ריבועים — שטח כולל מזערי?

S = 2 x^{2} - 20 x + 100, x_{m i n} = 5, S_{m i n} = 50 מ^{2}

מקדם $x^{2}$ חיובי → לפרבולה מינימום.

שלב 1 — מסמנים

חלק אחד x, השני

10 - x

; הם צלעות שני הריבועים

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחסירים את x מההיקף המלא במקום מחצי ההיקף

טעות: בהיקף 48, S = x(48 - x)

נכון: S = x(24 - x) (כי 48/2 = 24)

למה זה קורה?

שוכחים שסכום שתי צלעות סמוכות הוא חצי ההיקף, לא ההיקף כולו.

איך מתקנים?

לפני בניית הפונקציה חלקו את ההיקף ב-

2. S = x(\frac{P}{2} - x)

, לא

x(P - x)

טעות נפוצה: מחפשים מקסימום בניחוש במקום דרך הקודקוד

ב- $S = - x^{2} + 24 x$ : הקודקוד ב- $x = \frac{- 24}{2 \cdot ( - 1 )} = 12$ .

למה זה קורה?

מציבים ערכים אקראיים ומקווים לפגוע.

איך מתקנים?

הפרבולה היא הכלי: מצאו את ציר הסימטריה

x = -\frac{b}{2a} (

או אמצע הקטע בין השורשים) ואז הציבו.

טעות נפוצה: מבלבלים בין x של הקודקוד לבין ערך השטח

ב-S = x(24-x): x = 12 הוא הצלע, אבל השטח המרבי הוא $S = 12 \cdot 12 = 144$ — לא 12!

למה זה קורה?

עוצרים אחרי מציאת x ולא מציבים.

איך מתקנים?

x של הקודקוד הוא מיקום הצלע. כדי לקבל את השטח המרבי צריך להציב את x בחזרה בפונקציה.

טעות נפוצה: בגידור לצד קיר סופרים ארבע צלעות

טעות: 2x + 2y = 40

נכון: 2x + y = 40 → y = 40 - 2x, ואז S = x(40-2x)

למה זה קורה?

לא שמים לב שהקיר מחליף צלע אחת.

איך מתקנים?

כשהקיר משמש כצלע, מגודרות רק שלוש צלעות:

2x + y = P

, ולכן

y = P - 2x

טעות נפוצה: חושבים שתמיד מקבלים מקסימום

$S = - x^{2} + 24 x$ → מקסימום.

$S = 2 x^{2} - 20 x + 100$ → מינימום.

למה זה קורה?

מזהים פרבולה ומניחים אוטומטית מקסימום.

איך מתקנים?

בדקו את הסימן של מקדם

x^{2}

. שלילי → מקסימום (פתוחה כלפי מטה); חיובי → מינימום (פתוחה כלפי מעלה).

סיכום

מה למדנו?

מתרגמים מצב אורייני לפונקציה ריבועית. בהיקף קבוע: $S = x (\frac{P}{2} - x)$ .
הפונקציה היא פרבולה; הקיצון נמצא בקודקוד $x = \frac{- b}{2 a}$ .
מקדם $x^{2}$ שלילי → מקסימום; חיובי → מינימום.
בהיקף נתון, הריבוע נותן את השטח המרבי (למשל היקף 48 → שטח מרבי 144 בריבוע 12×12).
בגידור לצד קיר מגודרות רק שלוש צלעות: 2x + y = P.
תמיד מציבים את x של הקודקוד בחזרה כדי לקבל את ערך הקיצון.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לבנות פונקציה ריבועית למצב ולמצוא בו מקסימום או מינימום.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על בניית פונקציות ריבועיות ומציאת מקסימום ומינימום!