שטח של צורות מורכבות

מבוא

בעולם האמיתי רוב המשטחים אינם מלבן או עיגול מושלמים: רצפת חדר בצורת האות ר', מדרכה שמקיפה בריכה, כיכר עם מגרש משחקים במרכזה. את כל אלה אפשר לחשב אם נזכור עיקרון אחד פשוט — כל צורה מורכבת מתפרקת לצורות בסיסיות שאנחנו כבר יודעים לחשב. נחלק את הצורה לחלקים, נחשב כל חלק, ונחבר או נחסר לפי המצב.

מטרות השיעור

לפרק צורה מורכבת למלבנים, משולשים, עיגולים וחלקי עיגול
לחשב שטח כסכום של שטחים (כשהצורה מורכבת מחלקים)
לחשב שטח כהפרש של שטחים (כשחלק מהצורה הוסר או "חתוך")
ליישם זאת בהקשרים אורייניים ולחשב עלות בש״ח

הרעיון המרכזי

שתי שיטות: סכום והפרש

שיטת הסכום: כשהצורה בנויה מכמה חלקים שאינם חופפים — מחלקים אותה לצורות בסיסיות זרות, מחשבים את שטח כל אחת, ומחברים. $S = S_{1} + S_{2} + \dots$

שיטת ההפרש: כשמתוך צורה גדולה הוסר חלק (חור, חיתוך) — מחשבים את שטח הצורה השלמה ומחסרים את שטח החלק שהוסר. $S = S_{שלם} - S_{מוסר}$

חלקי עיגול

חצי עיגול: $S = \frac{π r ^{2}}{2}$
רבע עיגול: $S = \frac{π r ^{2}}{4}$
טבעת (עיגול גדול פחות עיגול קטן): $S = π R^{2} - π r^{2} = π (R^{2} - r^{2})$

זכרו לחלק את שטח העיגול השלם במספר המתאים לפי חלק העיגול.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שטח כסכום של מלבנים (צורת ר')

רצפה בצורת ר': מלבן 5 מ $' \times 3$ מ' ומלבן 2 מ $' \times 2$ מ'

S = 5 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 15 + 4 = 19 מ^{2}

שלב 1 — מפרקים לשני מלבנים

מלבן ראשון

5 \times 3

, מלבן שני

2 \times 2

דוגמה 2: שטח כהפרש של מלבנים (מדרכה סביב בריכה)

מתחם 12 מ $' \times 9$ מ', בריכה 8 מ $' \times 5$ מ' — מהו שטח המדרכה?

S = 12 \cdot 9 - 8 \cdot 5 = 108 - 40 = 68 מ^{2}

שלב 1 — שטח המתחם כולו

12 \cdot 9 = 108

מ״ר

דוגמה 3: מלבן עם שני משולשים שהוסרו + עלות

גינה 12 מ $' \times 8$ מ', שני משולשים (ניצבים 3 ו-4) הוסרו, דשא 80 ₪ למ״ר

S = 96 - 12 = 84 מ^{2} \Rightarrow 84 \cdot 80 = 6720 ₪

שלב 1 — שטח המלבן

12 \cdot 8 = 96

מ״ר

דוגמה 4: כיכר עיגולית עם מגרש מלבני (הפרש) + עלות

עיגול $r = 10$ מ', מגרש מלבני 12 מ $' \times 8$ מ', אספלט 70 ₪ למ״ר

S = π r^{2} - 12 \cdot 8 = 314 - 96 = 218 מ^{2}

שלב 1 — שטח העיגול

\pi \cdot 10^{2} = 3.14 \cdot 100 = 314

מ״ר

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

מסביב לבריכת שחייה מלבנית שממדיה 8 מ $' \times 5$ מ' יש מדרכה, וכל המתחם (בריכה + מדרכה) הוא מלבן שממדיו 12 מ $' \times 9$ מ'. מהו שטח המדרכה, במ"ר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בגינה מלבנית שממדיה 12 מ $' \times 8$ מ' שותלים דשא, אך בשתי פינות נגדיות מסירים שני משולשים ישרי-זווית זהים שאורכי ניצביהם 3 מ' ו-4 מ'. עלות הדשא היא 80 ₪ למ"ר. כמה יעלה לכסות בדשא את השטח שנותר, בש"ח?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: מסגרת תמונה (הפרש מלבנים בסמ"ר)

מסגרת חיצונית 50 ס״מ $\times 40$ ס״מ, תמונה 40 ס״מ $\times 30$ ס״מ

S = 50 \cdot 40 - 40 \cdot 30 = 2000 - 1200 = 800 ס״מ^{2}

שלב 1 — שטח המלבן החיצוני

50 \cdot 40 = 2000

סמ״ר

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

מסביב לבריכת שחייה מלבנית שממדיה 8 מ $' \times 5$ מ' מרצפים מדרכה ברוחב אחיד, כך שהמתחם כולו הוא מלבן 12 מ $' \times 9$ מ'. עלות ריצוף המדרכה היא 95 ₪ למ"ר. מהי עלות ריצוף המדרכה, בש"ח?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בכיכר שצורתה עיגול שרדיוסו 10 מ' בנו מגרש גלגיליות מלבני שממדיו 12 מ $' \times 8$ מ'. את שאר הכיכר ציפו באספלט שעולה 70 ₪ למ"ר. מהי עלות ציפוי האספלט, בש"ח? השתמשו ב- $\pi ≈ 3.14$ .

סטייה מותרת: ±70

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחברים ממדים במקום לזהות סכום או הפרש

במדרכה סביב בריכה השטח הוא 108 - 40, ולא 108 + 40.

למה זה קורה?

תלמידים מחברים את כל המספרים הנתונים בלי לחשוב אם יש לחבר או לחסר שטחים.

איך מתקנים?

קודם ציירו ופרקו את הצורה. החליטו לכל חלק אם הוא מתווסף (סכום) או מוסר (הפרש), ורק אז חשבו.

טעות נפוצה: מחברים חלק שהוסר במקום לחסר אותו

מגרש מלבני שמתוכו הוסר חצי עיגול: $S = S_{מלבן} - \frac{π r ^{2}}{2}$ .

למה זה קורה?

כשבריכה או חלון 'חתוכים' מהצורה, מוסיפים את שטחם בטעות.

איך מתקנים?

חלק חסר תמיד מחוסר. אם הצורה היא 'מלבן פחות עיגול', מחסרים את שטח העיגול.

טעות נפוצה: שימוש בעיגול שלם במקום בחצי או ברבע

חצי עיגול שרדיוסו 4: $S = \frac{π \cdot 4 ^{2}}{2} = 8 π$ , ולא $16 π$ .

למה זה קורה?

שוכחים לחלק את שטח העיגול לפי חלק העיגול הנתון.

איך מתקנים?

חצי עיגול

= \frac{\pi r^{2}}{2}

, רבע עיגול

= \frac{\pi r^{2}}{4}

. שימו לב לאיזה חלק של העיגול מתכוונים.

טעות נפוצה: ספירה כפולה של חלק חופף

בצורת ר', חלקו לשני מלבנים שאינם חופפים — אל תכללו את אזור הפינה בשני המלבנים.

למה זה קורה?

מפרקים את הצורה לחלקים שנחתכים זה עם זה, ומחשבים שטח משותף פעמיים.

איך מתקנים?

חלקו את הצורה לחלקים זרים (שאינם חופפים). כל נקודה במשטח צריכה להיספר בדיוק פעם אחת.

סיכום

מה למדנו?

חישוב שטח של צורה מורכבת:

ציירו ופרקו את הצורה לצורות בסיסיות.
החליטו אם זה סכום (חלקים מתווספים) או הפרש (חלק הוסר).
חשבו כל שטח בנפרד וחברו או חסרו.
תרגמו את השטח לעלות בש״ח.

חלקי עיגול: חצי עיגול $\frac{π r ^{2}}{2}$ , רבע עיגול $\frac{π r ^{2}}{4}$ , טבעת $π (R^{2} - r^{2})$ .

טיפ זהב: חלקו תמיד לחלקים זרים, כדי לא לספור שטח פעמיים.

כל הכבוד! עכשיו שום צורה לא מורכבת מדי בשבילכם.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על שטח של צורות מורכבות בהקשרים מהחיים!

שטח של צורות מורכבות

שטח של צורות מורכבות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שטח כסכום של מלבנים (צורת ר')

רצפה בצורת ר': מלבן 5 מ′×3' \times 3′×3 מ' ומלבן 2 מ′×2' \times 2′×2 מ'

דוגמה 2: שטח כהפרש של מלבנים (מדרכה סביב בריכה)

מתחם 12 מ′×9' \times 9′×9 מ', בריכה 8 מ′×5' \times 5′×5 מ' — מהו שטח המדרכה?

דוגמה 3: מלבן עם שני משולשים שהוסרו + עלות

גינה 12 מ′×8' \times 8′×8 מ', שני משולשים (ניצבים 3 ו-4) הוסרו, דשא 80 ₪ למ״ר

דוגמה 4: כיכר עיגולית עם מגרש מלבני (הפרש) + עלות

עיגול r=10r = 10r=10 מ', מגרש מלבני 12 מ′×8' \times 8′×8 מ', אספלט 70 ₪ למ״ר

בדיקה מהירה

דוגמה 5: מסגרת תמונה (הפרש מלבנים בסמ"ר)

מסגרת חיצונית 50 ס״מ ×40\times 40×40 ס״מ, תמונה 40 ס״מ ×30\times 30×30 ס״מ

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחברים ממדים במקום לזהות סכום או הפרש

טעות נפוצה: מחברים חלק שהוסר במקום לחסר אותו

טעות נפוצה: שימוש בעיגול שלם במקום בחצי או ברבע

טעות נפוצה: ספירה כפולה של חלק חופף

סיכום

תרגול נוסף

רצפה בצורת ר': מלבן 5 מ $' \times 3$ מ' ומלבן 2 מ $' \times 2$ מ'

מתחם 12 מ $' \times 9$ מ', בריכה 8 מ $' \times 5$ מ' — מהו שטח המדרכה?

גינה 12 מ $' \times 8$ מ', שני משולשים (ניצבים 3 ו-4) הוסרו, דשא 80 ₪ למ״ר

עיגול $r = 10$ מ', מגרש מלבני 12 מ $' \times 8$ מ', אספלט 70 ₪ למ״ר

מסגרת חיצונית 50 ס״מ $\times 40$ ס״מ, תמונה 40 ס״מ $\times 30$ ס״מ