מציאת ממד חסר לפי השטח

מבוא

עד עכשיו חישבנו שטח מתוך הממדים. עכשיו נעבוד בכיוון ההפוך: השטח ידוע, ואנחנו מחפשים ממד חסר — אורך צלע, גובה או רדיוס. זהו מצב נפוץ מאוד: יודעים כמה דשא נשתל או כמה עלה הריצוף, וצריך לשחזר את מידות המגרש. נשתמש בנוסחאות השטח כמשוואות, נבודד את הנעלם, ולעיתים אף נפתור משוואה ממעלה שנייה ונשתמש בשורש ריבועי.

מטרות השיעור

לבודד ממד חסר מתוך נוסחת שטח (חלוקה)
להשתמש בשורש ריבועי כדי למצוא צלע ריבוע או רדיוס מתוך השטח
לפתור משוואה ממעלה שנייה כאשר ממד אחד מבוטא דרך השני
לחשב קודם את השטח מתוך עלות נתונה בש״ח, ואז למצוא את הממד

הרעיון המרכזי

שלושה סוגי 'כיוון הפוך'

1. בידוד על ידי חלוקה — כשהשטח מכפלה של ממד ידוע בנעלם: $a \cdot b = S \Rightarrow b = \frac{S}{a}$

2. שורש ריבועי — כשהנעלם בריבוע (ריבוע או עיגול): $a^{2} = S \Rightarrow a = S, π r^{2} = S \Rightarrow r = \frac{S}{π}$

3. משוואה ממעלה שנייה — כשממד אחד מבוטא דרך השני: $x (x + k) = S \Rightarrow x^{2} + k x - S = 0$

כשנתונה עלות במקום שטח

אם נתונה עלות ומחיר למ״ר, מחשבים קודם את השטח: $S = \frac{עלות}{מחיר למ ^{2}}$

ורק אז ממשיכים למצוא את הממד החסר. אורך תמיד חיובי — פוסלים פתרון שלילי במשוואה ריבועית.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: בידוד צלע במלבן

מלבן ששטחו 24 מ״ר וצלע אחת 6 מ' — מהי הצלע השנייה?

6 b = 24 \Rightarrow b = 4 מ

שלב 1 — נוסחת השטח

6 \cdot b = 24

דוגמה 2: שורש ריבועי בריבוע

חצר ריבועית ששטחה 49 מ״ר — מהי הצלע?

a^{2} = 49 \Rightarrow a = 49 = 7 מ

שלב 1 — נוסחת הריבוע

a^{2} = 49

דוגמה 3: רדיוס מתוך שטח עיגול

משטח עגול ששטחו $64\pi$ מ״ר — מהו הרדיוס?

π r^{2} = 64 π \Rightarrow r^{2} = 64 \Rightarrow r = 8 מ

שלב 1 — נוסחת שטח העיגול

\pi \cdot r^{2} = 64\pi

דוגמה 4: עלות תחילה, ואז ממד חסר

ריצוף עלה 3,200 ₪ ב-80 ₪ למ״ר, צלע אחת 8 מ' — מהי הצלע השנייה?

S = \frac{3200}{80} = 40 \Rightarrow b = \frac{40}{8} = 5 מ

שלב 1 — שטח מתוך עלות

S = \frac{3200}{80} = 40

מ״ר

בדיקה מהירה

שטחה של חצר ריבועית הוא 49 מ"ר. מהו אורך צלע החצר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

ערוגה משולשת ששטחה 30 מ"ר ואורך בסיסה 12 מ'. מהו הגובה לבסיס זה, במ'?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: משוואה ממעלה שנייה

מגרש מלבני ששטחו 84 מ״ר, צלע ארוכה גדולה ב-5 מ' מהקצרה

x^{2} + 5 x - 84 = 0 \Rightarrow x = 7

שלב 1 — מסמנים

צלע קצרה x, צלע ארוכה

x + 5

דוגמה 6: עלות + משוואה ריבועית

ריצוף אולם עלה 4,800 ₪ ב-40 ₪ למ״ר, צלע גדולה ב-2 מ' מהשנייה

x^{2} + 2 x - 120 = 0 \Rightarrow x = 10

שלב 1 — שטח מתוך עלות

S = \frac{4800}{40} = 120

מ״ר

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

בכיכר עירונית שתלו פרחים במשטח עגול ששטחו $64\pi$ מ"ר. מהו רדיוס המשטח, במ'?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מגרש מלבני ששטחו 84 מ"ר. הצלע הארוכה גדולה ב-5 מ' מהצלע הקצרה. מהו אורך הצלע הקצרה, במ'?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחלקים ב-2 במקום להוציא שורש בריבוע

טעות: ריבוע בשטח 49 ⇐ צלע = 49/2 = 24.5

נכון: צלע $= 49 = 7$

למה זה קורה?

מבלבלים בין 'חצי' (חלוקה ב-2) לבין שורש ריבועי.

איך מתקנים?

בריבוע השטח הוא הצלע בריבוע, אז הצלע

= √(

שטח). למשל

\sqrt{49} = 7

, ולא

\frac{49}{2}

טעות נפוצה: שוכחים את החלוקה ב-2 כשמבודדים גובה במשולש

משולש בשטח 30 ובסיס 12: $h = \frac{2 \cdot 30}{12} = 5$ (ולא 30/12).

למה זה קורה?

מתייחסים לנוסחת המשולש כאילו הייתה

S = b \cdot h

איך מתקנים?

מנוסחת המשולש

S = \frac{b \cdot h}{2}

נובע

h = \frac{2S}{b}

. אל תשכחו להכפיל ב-2.

טעות נפוצה: לא פוסלים את הפתרון השלילי

מ- $x^{2} + 5 x - 84 = 0$ מתקבל x = 7 או x = -12; פוסלים את -12.

למה זה קורה?

מקבלים שני פתרונות במשוואה ריבועית ומדווחים על שניהם.

איך מתקנים?

אורך הוא תמיד חיובי. הפתרון השלילי של המשוואה אינו רלוונטי ויש לפסול אותו.

טעות נפוצה: מנסים לפתור לפי עלות בלי לחשב שטח

ריצוף 3,200 ₪ ב-80 ₪ למ״ר: קודם S = 3200/80 = 40, ואז מוצאים את הצלע.

למה זה קורה?

מציבים את העלות במקום השטח בנוסחה.

איך מתקנים?

העלות אינה השטח. חשבו קודם שטח = עלות / מחיר למ״ר, ורק אז מצאו את הממד.

סיכום

מה למדנו?

מציאת ממד חסר מתוך שטח:

מכפלה עם נעלם אחד ⇐ חלוקה: b = S/a
נעלם בריבוע ⇐ שורש ריבועי: $a = S$ , $r = S / π$
ממד דרך ממד ⇐ משוואה ריבועית: x(x+k) = S

טיפים:

אם נתונה עלות — חשבו קודם שטח = עלות / מחיר למ״ר.
אורך תמיד חיובי — פסלו פתרון שלילי.
בדקו את התשובה על ידי הצבה חזרה בנוסחת השטח.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לעבוד גם בכיוון ההפוך — מהשטח אל הממדים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מציאת ממד חסר מתוך השטח!

מציאת ממד חסר לפי השטח

מציאת ממד חסר לפי השטח

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: בידוד צלע במלבן

מלבן ששטחו 24 מ״ר וצלע אחת 6 מ' — מהי הצלע השנייה?

דוגמה 2: שורש ריבועי בריבוע

חצר ריבועית ששטחה 49 מ״ר — מהי הצלע?

דוגמה 3: רדיוס מתוך שטח עיגול

משטח עגול ששטחו 64π64\pi64π מ״ר — מהו הרדיוס?

דוגמה 4: עלות תחילה, ואז ממד חסר

ריצוף עלה 3,200 ₪ ב-80 ₪ למ״ר, צלע אחת 8 מ' — מהי הצלע השנייה?

בדיקה מהירה

דוגמה 5: משוואה ממעלה שנייה

מגרש מלבני ששטחו 84 מ״ר, צלע ארוכה גדולה ב-5 מ' מהקצרה

דוגמה 6: עלות + משוואה ריבועית

ריצוף אולם עלה 4,800 ₪ ב-40 ₪ למ״ר, צלע גדולה ב-2 מ' מהשנייה

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחלקים ב-2 במקום להוציא שורש בריבוע

טעות נפוצה: שוכחים את החלוקה ב-2 כשמבודדים גובה במשולש

טעות נפוצה: לא פוסלים את הפתרון השלילי

טעות נפוצה: מנסים לפתור לפי עלות בלי לחשב שטח

סיכום

תרגול נוסף

משטח עגול ששטחו $64\pi$ מ״ר — מהו הרדיוס?