שטח של מצולעים ועיגול

מבוא

שטח הוא מדד לגודל המשטח שצורה תופסת — כמה ריצוף צריך לרצפת חדר, כמה דשא לשתול בערוגה, או כמה צבע נדרש לקיר. בשיעור זה נאסוף את כל הנוסחאות המרכזיות לחישוב שטח של צורות גאומטריות בסיסיות, ונלמד להשתמש בהן בהקשרים מהחיים. לאורך הדרך נקפיד על יחידות השטח (מ״ר, סמ״ר) ונחבר כל חישוב למחיר בש״ח, כי בסופו של דבר השטח הוא מה שקובע את העלות.

מטרות השיעור

להכיר את נוסחאות השטח של משולש, מקבילית, מלבן, ריבוע, מעוין וטרפז
להכיר את נוסחת שטח העיגול $S = π r^{2}$ ולהבדיל אותה מההיקף
להשתמש בגובה המאונך לבסיס (ולא בצלע נטויה) בחישובי שטח
ליישם את הנוסחאות בהקשרים אורייניים: ריצוף, דשא וחישוב עלות בש״ח

הרעיון המרכזי

נוסחאות שטח של מצולעים

מלבן: $S = a \cdot b$ (מכפלת שתי צלעות סמוכות)
ריבוע: $S = a^{2}$ (צלע בריבוע)
מקבילית: $S = b \cdot h$ (בסיס כפול גובה לבסיס)
משולש: $S = \frac{b \cdot h}{2}$ (בסיס כפול גובה, חלקי 2)
מעוין: $S = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}$ (מכפלת האלכסונים חלקי 2)
טרפז: $S = \frac{( a + b ) \cdot h}{2}$ (סכום הבסיסים כפול הגובה, חלקי 2)

שטח העיגול והמרת יחידות

שטח עיגול שרדיוסו r: $S = π r^{2}$

שימו לב: ההיקף הוא $2 π r$ אבל השטח הוא $π r^{2}$ — ברדיוס בריבוע.

המרת יחידות שטח: מאחר ש- $1 מ = 100 ס״מ$ , מתקבל $1 מ^{2} = 100 \cdot 100 = 10000 ס״מ^{2}$ . כלומר מ״ר אחד שווה ל-10,000 סמ״ר.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ריצוף סלון מלבני וחישוב עלות

סלון 5 מ $' \times 3$ מ', ריצוף 80 ₪ למ״ר — מה העלות?

S = 5 \cdot 3 = 15 מ^{2} \Rightarrow 15 \cdot 80 = 1200 ₪

שלב 1 — מזהים את הצורה

הסלון מלבן עם צלעות 5 מ' ו-3 מ'.

דוגמה 2: שטח טרפז של ערוגת דשא

טרפז: בסיסים 10 מ' ו-6 מ', גובה 4 מ'

S = \frac{( 10 + 6 )}{2} \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32 מ^{2}

שלב 1 — נוסחת הטרפז

S = (\frac{a + b}{2}) \cdot h

דוגמה 3: שטח מעוין לפי אלכסונים

מעוין שאלכסוניו 6 ס״מ ו-8 ס״מ

S = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 ס״מ^{2}

שלב 1 — נוסחת המעוין

S = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2}

דוגמה 4: משולש ישר-זווית והדשא הסינתטי

גינה משולש ישר-זווית, ניצבים 6 מ' ו-8 מ', דשא 50 ₪ למ״ר

S = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 מ^{2} \Rightarrow 24 \cdot 50 = 1200 ₪

שלב 1 — מזהים בסיס וגובה

במשולש ישר-זווית שני הניצבים הם הבסיס והגובה.

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

משפחת כהן רוצה לרצף את הסלון שצורתו מלבן וממדיו 5 מ $' \times 3$ מ'. מהו שטח הסלון, במ"ר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

במרכז סורג חלון יש קישוט בצורת מעוין, שאורכי אלכסוניו 6 ס"מ ו-8 ס"מ. מהו שטח המעוין, בסמ"ר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: שטח עיגול וריצוף כיכר

כיכר עיגולית שרדיוסה 10 מ', ריצוף 70 ₪ למ״ר

S = π r^{2} = 3.14 \cdot 100 = 314 מ^{2} \Rightarrow 314 \cdot 70 = 21980 ₪

שלב 1 — נוסחת שטח העיגול

S = \pi \cdot r^{2}

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

בכיכר ציבורית יש ערוגת דשא בצורת טרפז, שאורכי הבסיסים המקבילים שלה הם 10 מ' ו-6 מ' והגובה ביניהם 4 מ'. עלות שתילת דשא היא 45 ₪ למ"ר. כמה יעלה לשתול דשא בכל הערוגה, בש"ח?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מתכננים כיכר עירונית בצורת עיגול שרדיוסו 10 מ', ומרצפים את כולה. מחיר הריצוף הוא 70 ₪ למ"ר. כמה תעלה ריצוף הכיכר, בש"ח? השתמשו ב- $\pi ≈ 3.14$ ועגלו לשקל השלם.

סטייה מותרת: ±1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בין שטח להיקף

טעות: שטח עיגול $= 2 π r$

נכון: שטח עיגול $= π r^{2}$ (ההיקף הוא $2 π r$ )

למה זה קורה?

תלמידים מחברים את הצלעות במקום להכפיל אותן, או משתמשים בנוסחת ההיקף

2\pi r

לחישוב שטח עיגול.

איך מתקנים?

שטח נמדד ביחידות ריבועיות (מ״ר). למלבן מכפילים צלעות; לעיגול משתמשים ב-

\pi r^{2}

ולא ב-

2\pi r

טעות נפוצה: שוכחים לחלק ב-2 במשולש ובטרפז

טעות: שטח משולש $= b \cdot h$

נכון: שטח משולש $= \frac{b \cdot h}{2}$

למה זה קורה?

זוכרים בסיס כפול גובה (כמו במקבילית) ולא מחלקים ב-2.

איך מתקנים?

משולש וטרפז הם 'חצי' צורות: בשניהם הנוסחה כוללת חלוקה ב-2.

טעות נפוצה: שימוש בצלע נטויה במקום בגובה

במקבילית עם בסיס 10 וצלע נטויה 6 וגובה 5: השטח הוא $10 \cdot 5 = 50$ , ולא $10 \cdot 6$ .

למה זה קורה?

לוקחים את אורך הצלע המשופעת של מקבילית או טרפז כ'גובה'.

איך מתקנים?

הגובה הוא הקטע המאונך לבסיס. אם נתונה צלע נטויה, לעיתים צריך למצוא את הגובה בעזרת משפט פיתגורס.

טעות נפוצה: במעוין מכפילים צלעות במקום אלכסונים

מעוין שאלכסוניו 6 ו-8: השטח הוא $\frac{6 \cdot 8}{2} = 24$ , ולא מכפלת צלעותיו.

למה זה קורה?

מחילים על המעוין את נוסחת המלבן (צלע כפול צלע).

איך מתקנים?

במעוין השטח הוא מכפלת האלכסונים חלקי

2: \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2}

. הצלעות שוות זו לזו ואינן נותנות את השטח ישירות.

סיכום

מה למדנו?

נוסחאות השטח המרכזיות:

מלבן $a \cdot b$ , ריבוע $a^{2}$ , מקבילית $b \cdot h$
משולש $\frac{b \cdot h}{2}$ , טרפז $\frac{( a + b ) h}{2}$ , מעוין $\frac{d _{1} d _{2}}{2}$
עיגול $π r^{2}$

טיפים:

הקפידו על יחידות: שטח תמיד ביחידות ריבועיות, ו- $1 מ^{2} = 10000 ס״מ^{2}$ .
הגובה תמיד מאונך לבסיס — בדקו אם נתונה צלע נטויה.
אחרי חישוב השטח, העלות בש״ח = שטח × מחיר למ״ר.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לחשב שטח של כל צורה בסיסית ולתרגם אותו לעלות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב שטח של מצולעים ועיגול בהקשרים מהחיים!

שטח של מצולעים ועיגול

שטח של מצולעים ועיגול

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ריצוף סלון מלבני וחישוב עלות

סלון 5 מ′×3' \times 3′×3 מ', ריצוף 80 ₪ למ״ר — מה העלות?

דוגמה 2: שטח טרפז של ערוגת דשא

טרפז: בסיסים 10 מ' ו-6 מ', גובה 4 מ'

דוגמה 3: שטח מעוין לפי אלכסונים

מעוין שאלכסוניו 6 ס״מ ו-8 ס״מ

דוגמה 4: משולש ישר-זווית והדשא הסינתטי

גינה משולש ישר-זווית, ניצבים 6 מ' ו-8 מ', דשא 50 ₪ למ״ר

בדיקה מהירה

דוגמה 5: שטח עיגול וריצוף כיכר

כיכר עיגולית שרדיוסה 10 מ', ריצוף 70 ₪ למ״ר

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בין שטח להיקף

טעות נפוצה: שוכחים לחלק ב-2 במשולש ובטרפז

טעות נפוצה: שימוש בצלע נטויה במקום בגובה

טעות נפוצה: במעוין מכפילים צלעות במקום אלכסונים

סיכום

תרגול נוסף

סלון 5 מ $' \times 3$ מ', ריצוף 80 ₪ למ״ר — מה העלות?