השפעת שינוי ממדים על ההיקף ושיקולי עלות

מבוא

בחיים האמיתיים אנחנו לא רק מחשבים היקפים — אנחנו מקבלים החלטות. האם כדאי להרחיב את החצר? כמה תעלה התוספת לגדר? איזו הצעת מחיר משתלמת יותר? בשיעור זה נלמד כיצד שינוי בממדים משפיע על ההיקף, ואיך לתרגם זאת לשקלים כדי לבחור את האפשרות הכדאית ביותר.

מטרות השיעור

להבין כיצד הגדלה או הקטנה של ממד משנה את ההיקף
להבחין בין שינוי "בערך מסוים", "פי מספר" ו"באחוזים"
לחשב עלות גדר/חומר מתוך ההיקף ומחיר ליחידת אורך
להשוות בין אפשרויות ולקבוע מהי הכדאית ביותר

הרעיון המרכזי

שלושה סוגי שינוי

שינוי בערך מסוים (למשל "ב-3 מטר"): מוסיפים את הערך לממד. במלבן, הוספה של k לצלע אחת מגדילה את ההיקף ב-2k (כי הצלע נספרת פעמיים).

שינוי פי מספר (למשל "פי 2"): מכפילים את הממד. אם כל הממדים גדלים פי m, גם ההיקף גדל פי m.

שינוי באחוזים (למשל "ב-10%"): מכפילים ב- $(1 + \frac{p}{100})$ . אם כל הצלעות גדלות באותו אחוז, גם ההיקף גדל באותו אחוז.

עלות וכדאיות

עלות גדר או חומר נתונה לרוב למטר. לכן:

עלות = היקף \times מחיר למטר

בהשוואת אפשרויות: אם המחיר למטר זהה — משווים לפי ההיקף בלבד. אם המחיר שונה — חייבים לחשב את המכפלה המלאה לכל אפשרות.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הוספת ערך לצלע אחת

מלבן $14 \times 9$ . מאריכים את הצלע 14 ב-5 מ'. בכמה גדל ההיקף?

Δ P = 2 \cdot 5 = 10 m

שלב 1 — היקף מקורי

2(14+9) = 46

מ'.

בדיקה מהירה

מגרש מלבני שמידותיו 12 מטר על 8 מטר. מאריכים את הצלע הארוכה ב-3 מטר (בלי לשנות את הצלע הקצרה). בכמה מטרים גדל ההיקף?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: הגדלה פי מספר

מעגל ברדיוס 6 מ'. מגדילים את הרדיוס פי 3. מהו ההיקף החדש?

P_{new} = 2 π \cdot 18 = 36 π \approx 113.10 m

שלב 1 — רדיוס חדש

6 \cdot 3 = 18

מ'.

דוגמה 3: הגדלה באחוזים

ריבוע צלע 20 מ'. מגדילים כל צלע ב-15%. מהו ההיקף החדש?

P_{new} = 80 \cdot 1.15 = 92 m

שלב 1 — היקף מקורי

4 \cdot 20 = 80

מ'.

תשובה מספרית

חצר ריבועית שאורך צלעה 20 מטר. מגדילים כל צלע ב-25%. מהו ההיקף החדש, במטרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: השוואת עלויות

הצעה א': גדר 60 מ' ב- $50 ₪/$ מ'. הצעה ב': גדר 70 מ' ב- $40 ₪/$ מ'. מה זול יותר?

3000 ₪ מול 2800 ₪ \Rightarrow ב’ זולה יותר

שלב 1 — עלות א'

60 \cdot 50 = 3000 ₪

דוגמה 5: תוספת עלות באחוזים

גדר היקף 50 מ' ב- $30 ₪/$ מ'. מגדילים את כל הצלעות ב-20%. בכמה תגדל העלות?

Δ = 0.2 \cdot 1500 = 300 ₪

שלב 1 — עלות מקורית

50 \cdot 30 = 1500 ₪

תשובה מספרית

בגינה עגולה שקוטרה 8 מטר בונים גדר חיצונית מסביב לכל הגינה, וגדר פנימית מסביב לערוגת הפרחים האדומים (שהיקפה שווה למעגל שלם ברדיוס 4 מטר). מחיר הגדר הפנימית נמוך ב-10% ממחיר הגדר החיצונית. מחיר הגדר החיצונית הוא 120 ₪ למטר. כמה תעלה בנייתן של שתי הגדרות יחד, בשקלים? עגלו לשני מקומות אחרי הנקודה (קחו $\pi ≈ 3.14159)$ .

סטייה מותרת: ±2

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מכלאה מלבנית לבעלי חיים שמידותיה 15 מטר על 9 מטר מגודרת בגדר שמחירה 40 ₪ למטר. החקלאי מחליט להגדיל את שתי הצלעות ב-20% ולגדר מחדש את כל ההיקף. בכמה שקלים תגדל עלות הגידור לעומת הגדר המקורית?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שהוספה לצלע אחת מגדילה את ההיקף באותו ערך

מלבן 12×8, מאריכים את 12 ב-3: ההיקף גדל ב- $2 \cdot 3 = 6$ , לא ב-3.

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים שבמלבן כל צלע נספרת פעמיים.

איך מתקנים?

הוספה של k לצלע אחת מגדילה את ההיקף ב-2k, לא ב-k. רק אם מוסיפים גם לצלע הסמוכה — צריך לחשב בנפרד.

טעות נפוצה: מוסיפים אחוז כערך מוחלט

היקף 32, הגדלה 10%: $32 \cdot 1.1 = 35.2$ , ולא 32 + 10 = 42.

למה זה קורה?

תלמידים כותבים

P + p

במקום להכפיל ב-

(1 + \frac{p}{100})

איך מתקנים?

הגדלה ב-p% של כל הצלעות מגדילה את ההיקף פי

(1 + \frac{p}{100})

. למשל

+10\%

פירושו

\times 1.1

, לא

+10

טעות נפוצה: מבלבלים בין 'פי מספר' ל'בערך'

צלע 10: "פי 2" ⟸ 20. "ב-2" ⟸ 12. תוצאות שונות לגמרי!

למה זה קורה?

'פי 2' ו'ב-2' נשמעים דומה אך פועלים אחרת.

איך מתקנים?

'פי 2' מכפיל את הממד

( \times 2). '

ב-2 מטר' מוסיף 2 מטר. במלבן 'ב-2 מטר' לצלע מוסיף 4 מטר להיקף.

טעות נפוצה: קובעים כדאיות לפי ההיקף בלבד

60 מ' ב-50 ₪ (3000 ₪) יקר יותר מ-70 מ' ב-40 ₪ (2800 ₪), למרות שההיקף קטן יותר!

למה זה קורה?

כשהמחיר למטר שונה, ההיקף לבדו אינו מספיק.

איך מתקנים?

עלות = היקף × מחיר למטר. השוו את המכפלה המלאה, לא רק את ההיקפים.

סיכום

מה למדנו?

שלושה סוגי שינוי בממד:

בערך k: במלבן, צלע אחת ⟸ ההיקף גדל ב-2k
פי m: אם כל הממדים ⟸ ההיקף גדל פי m
ב-p%: אם כל הצלעות ⟸ ההיקף גדל פי $(1 + \frac{p}{100})$

עלות וכדאיות: $עלות = היקף \times מחיר למטר$

מחיר זהה ⟸ משווים לפי ההיקף
מחיר שונה ⟸ משווים את המכפלה המלאה

טיפ: קראו היטב — "פי", "ב-" ו"אחוז" מובילים לחישובים שונים. ובהשוואת עלויות, אל תשכחו את המחיר למטר!

כל הכבוד! סיימתם את היחידה ואתם יודעים לקבל החלטות מושכלות על בסיס חישובי היקף.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על השפעת שינוי ממדים על ההיקף ועל שיקולי עלות.

השפעת שינוי ממדים על ההיקף ושיקולי עלות

השפעת שינוי ממדים על ההיקף ושיקולי עלות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הוספת ערך לצלע אחת

מלבן 14×914 \times 914×9. מאריכים את הצלע 14 ב-5 מ'. בכמה גדל ההיקף?

דוגמה 2: הגדלה פי מספר

מעגל ברדיוס 6 מ'. מגדילים את הרדיוס פי 3. מהו ההיקף החדש?

דוגמה 3: הגדלה באחוזים

ריבוע צלע 20 מ'. מגדילים כל צלע ב-15%. מהו ההיקף החדש?

דוגמה 4: השוואת עלויות

הצעה א': גדר 60 מ' ב-50₪/50 ₪/50₪/מ'. הצעה ב': גדר 70 מ' ב-40₪/40 ₪/40₪/מ'. מה זול יותר?

דוגמה 5: תוספת עלות באחוזים

גדר היקף 50 מ' ב-30₪/30 ₪/30₪/מ'. מגדילים את כל הצלעות ב-20%. בכמה תגדל העלות?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שהוספה לצלע אחת מגדילה את ההיקף באותו ערך

טעות נפוצה: מוסיפים אחוז כערך מוחלט

טעות נפוצה: מבלבלים בין 'פי מספר' ל'בערך'

טעות נפוצה: קובעים כדאיות לפי ההיקף בלבד

סיכום

תרגול נוסף

מלבן $14 \times 9$ . מאריכים את הצלע 14 ב-5 מ'. בכמה גדל ההיקף?

הצעה א': גדר 60 מ' ב- $50 ₪/$ מ'. הצעה ב': גדר 70 מ' ב- $40 ₪/$ מ'. מה זול יותר?

גדר היקף 50 מ' ב- $30 ₪/$ מ'. מגדילים את כל הצלעות ב-20%. בכמה תגדל העלות?