היקף צורות מורכבות ומשפט פיתגורס

מבוא

במציאות, צורות רבות אינן מצולעים פשוטים או מעגלים שלמים. חלון 'נורמן' מורכב ממלבן וחצי מעגל; חזית אוהל מורכבת ממלבן וגג משולש; מסלול ריצה משלב קטעים ישרים עם קשתות. כדי לחשב את היקף הצורות האלה נפרק את השפה לחלקים פשוטים, נמצא את אורך כל חלק — ולעיתים נזדקק למשפט פיתגורס כדי למצוא אורך של צלע נסתרת.

מטרות השיעור

לפרק את שפת הצורה לקטעים ישרים ולחלקי מעגל (חצי, רבע)
להשתמש במשפט פיתגורס $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ כדי למצוא אורך צלע חסרה
לחשב נכון אורך של קשת: חצי מעגל $π r$ , רבע מעגל $\frac{1}{2} π r$
להיזהר לא לכלול בהיקף קטעים שאינם חלק מהשפה החיצונית

הרעיון המרכזי

פירוק השפה לחלקים

היקף של צורה מורכבת הוא סכום אורכי כל החלקים של השפה החיצונית בלבד. כשצלע ישרה מוחלפת בקשת, היא אינה נספרת — סופרים במקומה את אורך הקשת.

חצי מעגל (רדיוס r): אורך קשת $= π r$

רבע מעגל (רדיוס r): אורך קשת $= \frac{1}{2} π r$

משפט פיתגורס

במשולש ישר-זווית, ריבוע היתר שווה לסכום ריבועי הניצבים:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

כאן c הוא היתר — הצלע הארוכה שמול הזווית הישרה, ו-a, b הם הניצבים. משולשים שימושיים: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (8, 15, 17).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת צלע חסרה בפיתגורס

גשר הולכי רגל: ניצבים 6 מ' ו-8 מ'. מהו אורך החלק האלכסוני (היתר)?

c = 6^{2} + 8^{2} = 100 = 10 m

שלב 1 — מזהים

משולש ישר-זווית, ניצבים

a = 6, b = 8

. מחפשים את היתר c.

תשובה מספרית

כבש (רמפה) לנגישות בנוי כמשולש ישר-זווית. הניצב האופקי באורך 4 מטר והניצב האנכי (הגובה) באורך 3 מטר. מהו אורך הרמפה עצמה (היתר), במטרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: חלון נורמן (מלבן + חצי מעגל)

חלון: מלבן 2 מ' רוחב, 3 מ' גובה, ועליו חצי מעגל (רדיוס 1 מ'). מהו אורך המסגרת?

P = 2 + 3 + 3 + π \cdot 1 \approx 11.14 m

שלב 1 — מזהים את חלקי השפה

בסיס

(2

מ'), שתי צלעות אנכיות

(3

מ' כל אחת), וקשת חצי מעגל. הצלע העליונה של המלבן מוחלפת בקשת ואינה נספרת.

תשובה מספרית

מסלול ריצה מתוכנן בצורה של שלוש צלעות של מלבן וחצי מעגל שסוגר את הצד הפתוח. שתי הצלעות הארוכות של המלבן הן 200 מטר כל אחת, והצלע הקצרה (שאינה מוחלפת בקשת) היא 250 מטר. חצי המעגל סוגר את הצד הפתוח, שקוטרו 250 מטר. מהו אורך המסלול, במטרים? עגלו לשני מקומות אחרי הנקודה (קחו $\pi ≈ 3.14159)$ .

סטייה מותרת: ±1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: ארבעה רבעי מעגל

גינה: ארבעה רבעי מעגל ברדיוס 5 מ' מצטרפים יחד. מהו אורך הגדר סביבם?

4 \cdot \frac{1}{4} (2 π r) = 2 π r = 10 π \approx 31.42 m

שלב 1 — מצרפים את הקשתות

ארבעה רבעי מעגל באותו רדיוס = מעגל שלם אחד.

תשובה מספרית

בגינה עירונית עגולה שתלו פרחים אדומים בשטח שנוצר על ידי ארבעה רבעי מעגלים, שרדיוס כל אחד מהם 4 מטר. סביב הפרחים האדומים בונים גדר לאורך כל הקשתות. מהו אורך הגדר הפנימית, במטרים? עגלו לשני מקומות אחרי הנקודה (קחו $\pi ≈ 3.14159)$ .

סטייה מותרת: ±0.1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: היקף מעוין מתוך האלכסונים

מעוין שאלכסוניו 6 ס״מ ו-8 ס״מ. מהו ההיקף?

side = 3^{2} + 4^{2} = 5, P = 4 \cdot 5 = 20 cm

שלב 1 — תכונת האלכסונים

אלכסוני מעוין חוצים זה את זה בניצב, ולכן חצאי האלכסונים הם 3 ו-4, והם ניצבים של משולש ישר-זווית.

דוגמה 5: חזית אוהל (מלבן + גג משולש)

חזית: רוחב 8 מ', דפנות 3 מ', גג בגובה נוסף 3 מ'. מהו ההיקף?

P = 8 + 3 + 3 + 5 + 5 = 24 m

שלב 1 — מדרון הגג בפיתגורס

חצי רוחב

= 4

מ', גובה הגג

= 3

מ'. מדרון

= \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{25} = 5

מ'.

תשובה מספרית

חזית של אוהל בצורת בית: מלבן ברוחב 6 מטר עם שתי דפנות אנכיות בגובה 4 מטר, ומעליו גג משולש. קודקוד הגג נמצא מעל אמצע הרוחב, בגובה נוסף של 4 מטר מעל קצה הדפנות. מחשבים את אורך הסרט שמקיף את כל חזית האוהל. מהו אורך הסרט, במטרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כוללים את הצלע שהוחלפה בקשת

טעות: בסיס + 2 צלעות + צלע עליונה + קשת.

נכון: בסיס + 2 צלעות + קשת חצי מעגל ( $π r$ ) בלבד.

למה זה קורה?

תלמידים מחברים את כל ארבע צלעות המלבן ועוד את היקף חצי המעגל, ושוכחים שהצלע העליונה כבר אינה חלק מהשפה.

איך מתקנים?

כשצלע מוחלפת בקשת, סופרים רק את הקשת. למלבן עם חצי מעגל למעלה: שלוש צלעות מלבן + קשת בלבד.

טעות נפוצה: מבלבלים בין הניצבים ליתר בפיתגורס

ניצבים 6 ו-8: $c = 6^{2} + 8^{2} = 100 = 10$ .

לא $8^{2} - 6^{2}$ ולא 6 + 8!

למה זה קורה?

תלמידים מציבים את היתר באחד מאגפי a או b, ומקבלים אורך שגוי.

איך מתקנים?

היתר c תמיד מול הזווית הישרה והוא הצלע הארוכה ביותר. הנוסחה:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

, ולכן

c = \sqrt{a^{2}+b^{2}}

טעות נפוצה: לוקחים קשת שלמה במקום חלק ממנה

חצי מעגל ברדיוס 3: $π \cdot 3 \approx 9.42$ , ולא $2 π \cdot 3 \approx 18.85$ .

למה זה קורה?

תלמידים מחשבים

2\pi r

עבור חצי מעגל, או היקף מלא עבור רבע מעגל.

איך מתקנים?

חצי מעגל:

\pi r

. רבע מעגל:

(\frac{1}{2})\pi r

. תמיד שאלו את עצמכם איזה חלק מהמעגל לפניכם.

טעות נפוצה: שוכחים את הקטעים הישרים ברבע מעגל

מגזר רבע מעגל ברדיוס 10: $\frac{1}{2} π \cdot 10 + 2 \cdot 10 \approx 15.71 + 20 = 35.71$ .

למה זה קורה?

ברבע מעגל 'מלא' (כמו פרוסת עוגה) השפה כוללת גם שני רדיוסים, לא רק את הקשת.

איך מתקנים?

היקף של מגזר רבע מעגל = קשת + שני רדיוסים

= (\frac{1}{2})\pi r + 2r

. בדקו אם הרדיוסים הם חלק מהשפה.

סיכום

מה למדנו?

כדי לחשב היקף של צורה מורכבת:

מפרקים את השפה החיצונית לחלקים: קטעים ישרים וחלקי מעגל
אם חסר אורך של צלע — משתמשים במשפט פיתגורס $c = a^{2} + b^{2}$
מחשבים אורך קשת: חצי מעגל $π r$ , רבע מעגל $\frac{1}{2} π r$
מחברים רק את חלקי השפה — לא קטעים פנימיים או צלעות שהוחלפו

טיפ: סמנו על השרטוט כל חלק של השפה לפני שמחברים, כדי לא לשכוח או לספור פעמיים.

כל הכבוד! עכשיו אתם יכולים לחשב היקף של כל צורה מורכבת.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על היקף צורות מורכבות ושימוש במשפט פיתגורס.